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數學是什么

數學是由什么構成的？它是一項發明還是發現？它對我們來說是與生俱來的，還是后天習得的？談到數學的本質，仍有許多問題有待解決……

數學的支柱

對于我們大多數人來說，數學意味著數字。對數字的使用無疑是人類數學之旅的起點。除此之外，我們在此基礎上還建立起了令人敬畏的、更為廣泛的數學大廈。

眾所周知，算術是加法、減法、除法、乘法等運算。6000年前，我們最先發展起來抽象地理解和使用數字的能力，然而，直到19世紀中葉，隨著集合論的發展，算術運算嚴謹的邏輯規則才被設計出來。

你將在第2章和第3章中了解到集合論中關于零和無窮大理論的發展歷程，在第4章和第5章中了解數字本身，其中涉及素數、數字系統的基本單位以及其他特別有趣的數字，如π、φ、e和i等。

從17世紀開始發展的概率論以算術規則為基礎，創建了自己的一套法則，以處理我們周圍無處不在的偶然和不確定性事件。它最初應用于偶然性博弈，20世紀，隨著統計方法在大數據分析中的應用以及量子理論的發展，概率論被賦予了新的意義。這表明現實本身也是由偶然性決定的。

第6章的主題是概率論和統計學，第9章將討論數字與現實之間的關系，在那里，你將會找到更多概率論與量子理論的聯系。

除了關于數字的理論外，“高等”數學還有三大重要支柱：

1．幾何學：它可能是人們最熟悉的。它從空間開始：形式幾何學討論空間中物體位置相互聯系的規則，例如，三個物體形成一個三角形。但它是對物體的靜態描述。

2．分析學：高等數學的第二大支柱。它用來分析隨時間移動而變化的物體。值得注意的是，它包括由積分和微分構成的微積分學，以及與該主題相關的許多復雜的變分原理。

3．代數學：它使我們可以用數字、符號和方程式表示知識并運用它們，因此，它是高等數學最廣泛的支柱。它涵蓋了許多深奧的主題，例如群論（群的研究，其中群是滿足某些性質的元素集合）、圖論（研究物體如何相互連接，例如互聯網上的計算機或大腦中的神經元）和拓撲學（研究能夠連續變形的圖形的數學，其中這種變形不會破壞圖形）。

盡管每一個龐大的主題都值得用一本書的體量來書寫，但是通過此書，你可以完整地領會到這些主題所給出的見解與發現的問題。特別是在第7章和第8章中，你可以了解數學中尚未解決的重大問題以及數學在日常生活中的應用。

不過，在此之前，讓我們先來看看數學最困難的一個哲學問題：數學的一切從何而來？

數學：是發明還是發現？

每當我們奔跑著去接球或在繁忙的交通中飛奔時，我們都會無意識地用到數學。我們可以感知的是，自然界是復雜且不可預測的，包括棲息地的改變、捕食者的襲擊和食物耗盡等情況。一個生命體能否生存，有賴于它對周圍環境的理解能力，無論是通過倒計時計算出天黑的時長、通過三角分析找出脫離危險的最快途徑，還是評估最有可能有食物的地方，這些都是在使用數學：使用數字、三角學和微積分評估位置和運動以及權衡各種可能性。

這顯示出了一個既深刻又難以證實的真理：現實在某種意義上是數學的。倫敦大學的計算神經學家和物理學家卡爾·弗里斯頓注意到，數學是簡明、簡潔和對稱的。如果你把數學當作一種語言，那么它將輕而易舉地勝過其他所有對世界的描述方式。

但我們并不是唯一具有“數學”能力的生命體。從海豚到黏液霉菌，進化樹上的生物似乎都在用數學的方法分析世界，破譯其模式和規律以求得生存。弗里斯頓認為，如果環境是根據數學原理展開的，那么大腦的解剖結構也必須遵循這些數學原理。

但是，人類的大腦以其看似獨特的符號表征和抽象思維能力，已經比其他生命體更進一步了。我們已經讓數學成為一種有意識的活動，而且這種活動在一定程度上需要學習。文化將我們的本能感知轉化為一種可識別的、有意識的數學能力，其確切時刻已湮滅在時間的迷霧中，被人們所遺忘。20世紀70年代，考古學家在考察南非勒邦博山脈西側峭壁上的邊境洞穴時，發現了一系列帶有缺口的骨頭，其中包括一塊刻有“29”這樣標記的狒狒腓骨。這個發現表明：大約在4萬年前，它們似乎已經成為計數的一種輔助手段。這也是我們在表示和使用數字方面形成有意識行為最古老的證據。

公元前4000年左右，在底格里斯——幼發拉底河谷深厚的美索不達米亞文化中，計數和測量系統達到了新的高度。在今天被我們稱作伊拉克的地方，這里第一次用一致的數字符號記錄日、月和年，測量土地面積和糧食數量，甚至記錄重量。當人類著手探索海洋和研究天空時，我們開始發展用于導航和跟蹤天體的數字方法。

這種有意識的數學是文化發展的必然產物：一項有助于理解世界，從事諸如貿易和旅行等事情的發明。在數學工具的幫助下，我們在過去6000年里建立了一座巨大的數學知識金字塔。大約公元前300年，古希臘數學家歐幾里得將幾何規則規范化；大約1000年后，印度和阿拉伯的數學家開始創建我們今天所熟悉的數字系統，并開發了數量符號的表示和操作工具——代數學。

即使17世紀啟蒙時代現代數學高度繁榮，這也只能在實踐中促進我們對事物的理解。例如，艾薩克·牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨的微積分讓我們可以計算出地球和空間運動物體的軌跡。勒內·笛卡爾發明的坐標系提供了幾何圖形的代數表示。新興的關于偶然性和概率的理論幫助我們應對不確定性和信息缺失。

但數學自那以后已經擴展到更加抽象的領域，它告訴我們一些不能僅通過觀察就能理解的事情。當數學發展到這個程度時，它已經越來越不像一項發明、一個純粹人類大腦的產物，而更像一個被揭示的真理、一個有待發現的真相。

例如，在20世紀初，數學家大衛·希爾伯特將傳統三維空間的代數擴展為無限維代數，這似乎是一個純粹抽象的發展，幾乎沒有現實的應用。但幾十年后，事實證明，量子力學中粒子的狀態用這樣的“希爾伯特空間”來描述是最好的。對于量子力學，我們還沒有直觀的物理學解釋，基礎數學仍然是我們理解它的關鍵。

對于今天的許多物理學家來說，數學對現實世界的成功描述表明它在宇宙組織中扮演著主要角色。其他人不會看得這么遠，他們認為我們只是發明了數學，用于滿足在不同背景下使用不同方式描述世界的需要。

人們會注意到以下一系列事件。歐幾里得提出的最著名的幾何公理是平行線永遠不會相交。但是，平行線在某些情況下是可以相交的，例如，在地球表面，所有的經線都在南北兩極交匯。德國數學家伯恩哈德·黎曼等人對這種非歐幾何進行了探索，發現（或發明）了一個具有豐富內容的數學分支。愛因斯坦用它來描述廣義相對論。廣義相對論中的大質量物體會造成時空彎曲，這種彎曲需要用黎曼幾何來描述，而不是用歐幾里得幾何。

愛丁堡大學的認知哲學家安迪·克拉克認為，宇宙充滿了各種各樣的模式、規律和行為方式。任何想要構建數學的生命體都需要將數學建立在一定的法則上，這些法則用來限制他們遇到問題時所采取的行為方式。遵循這個邏輯，如果數學是一個組織原則，那么它是被我們強加在世界上的。

20世紀30年代，奧地利數學家庫爾特·哥德爾提出了一種令人意想不到但相當精確的數學理論——哥德爾不完全性定理。這個定理表明，總是存在數學自身永遠無法解決的問題（見第3章）。這也表明，數學作為一個普遍真理，我們對它進行全面陳述還為時過早。在本書的最后，我們將重述這些思想，但這離數學家們所認為的證明還相去甚遠。

我們的數學頭腦

我們具有與生俱來的數學能力，可以不自覺地運用數學的方法處理遇到的困難，從而更好地生存。然而，我們是如何具有使用數字能力的呢？這是一個更有趣的問題。它是后天習得的，還是先天就具有的？

1997年，認知心理學家斯坦尼斯·德阿納提出人們一出生就具有數量意識，與具有顏色意識相同：進化賦予人類和其他動物“數感”，一種能夠立即感知一堆物體數量的能力。三個紅色彈珠會令人產生數字“3”的感覺，就像產生紅色的感覺一樣。

很快，越來越多的證據被收集起來，以支持這種數字能力“先天論”的觀點。例如，實驗表明，6個月大的嬰兒可以區分哪一組點的數目更多。其他研究表明，人類有一個內置的心理數軸，幫助我們本能地在空間上表示數字，數值從左到右遞增。實驗顯示，其他如黑猩猩和雞等一些動物，都可以分辨出少量的數字。這個實驗似乎也為數字能力“先天論”的觀點提供了補充證據。

數字的發展

數字的發展

但是不久后，一些研究人員認為這些結論有問題。例如，受試者可能不是根據數字，而是根據諸如空間分布或覆蓋面積等其他屬性來區分幾組點的不同。以色列海法大學的塔利·萊博維奇指出，我們發現對這些事物的評估是有意義的：在打獵或被狩獵時，你需要迅速行動，這意味著你需要使用所有可用的線索。

很快，一個不同的假設出現了：我們不是天生就有數感，而是有量感，比如大小和密度，這些量與事物的數量有關，我們有意識的數學能力就建立在此基礎上。萊博維奇指出：“發展和理解這種相關性需要時間和經驗。”

對兒童更精細的測試也支持這個觀點。年齡小于4歲的孩子不能說出5個橘子和5個西瓜的共同之處：它們都是5個。對他們來說，相同數量的西瓜比橘子更多。

對不同人類文化的觀察為上述觀點提供了更多的證據。巴布亞新幾內亞的雅普諾人有一種復雜的語言，包括微妙的指示代詞，用于表示某事物比說話人更高或者更低，那兒有多少東西，以及它們到底有多近或多遠（相比之下，英語只有4個指示詞：這個、那個、這些和那些）。但是，雅普諾人并沒有使用所謂的一般概念的心理數軸，他們的語言中也沒有比較詞來表示某件事物是大的還是小的。研究雅普諾文化多年的加州大學圣地亞哥分校的拉斐爾·努涅斯說，這并不僅僅是缺乏精確的量化：他們的語言也缺乏一些簡單比較的表達方式，比如大小或重量的比較。

努涅斯還提到了對189種澳大利亞土著語言的研究，其中四分之三的語言沒有超過3或4的數量詞，而剩下語言中的21種也沒有超過5的數量詞。對努涅斯來說，這表明準確描述數字的能力不是人們與生俱來的，而是在農業和貿易等環境需要時出現的一種文化特征。他說：“成千上萬的人擁有語言，有時甚至是非常復雜的語言，但在他們的語言中卻沒有精確的數量詞。”

有些人比其他人習得數感的能力更強。2016年，德阿納報告了對15名專業數學家和15名同等學術能力的非數學家的大腦進行掃描的結果。結果顯示：當數學家思考代數、幾何和拓撲學中的問題時，參與數學思想的大腦區域網絡被激活，但當他們思考不相關領域時，這個區域卻沒有被激活；這種區別在非數學家中是看不到的。

至關重要的是，這種“數學網絡”并不與掌管語言的大腦區域重疊，這表明，人們一旦進行數學能力的培養和學習操作符號的語言時，他們將采用一種不涉及日常語言的方式進行思考。對于弗里斯頓來說，就好像這些人能夠將直覺下載到另一個世界——數學世界，然后退回來，讓直覺與它們對話。這種能力可能依賴于許多其他東西：語言傳達概念的能力、工作記憶保持并執行概念的能力、認知控制克服我們大腦中固有偏見的能力。

當數學出錯時

作為自然選擇隨機過程的產物，從有意識的數學角度來看，我們認為世界的無意識數學模型并不完美。有時為了能繼續下去，人們會以犧牲準確性為代價。這也是各種常見數學陷阱的來源。

例如，我們發現評估概率困難的原因之一是我們總是傾向于夸大對風險的估計（安全總比后悔好），并試圖找到沒有風險的模式。在輪盤賭時，賭徒錯誤地認為，如果小球連續落在紅色區域上，那么下注在黑色區域贏的概率更大。這正是賭徒誤判的原因（見第8章）。

以控制我們對外部刺激反應的韋伯——費希納效應為例，它指出，我們區分事物之間差異的能力會隨著事物規模的增加而減弱。例如，2千克的重量與1千克的重量很容易區分開來，而22千克和21千克的重量則很難區分。同樣，這也適用于燈光的亮度、聲音的音量，以及物體的數量。

實驗表明，其他動物也存在這些內在缺陷——但到目前為止，只有我們人類以有意識的數學方式發展了識別這些缺陷的能力，并逐步加以克服。

如何思考數學

數學從業者是如何進行數學思考的？英國華威大學的伊恩·斯圖爾特認為研究這一問題的學科類似于一門語言，但是由于其內在的邏輯性，這門語言可以自我發展。他說：“你可以在不確切知道它們是什么東西的情況下開始寫，而語言會為你提供建議。”掌握足夠的基礎知識，你就可以快速進入球類運動員所稱的“區域”。斯圖爾特發現，在這種狀態下，事情變得簡單了許多，你會被數學推著向前走。

但是，如果你缺乏這樣的數學能力呢？數學家兼作家亞歷克斯·貝羅斯認為，將這一切都歸功于天賦是錯誤的：即使是最好的數學理論領軍人物，可能也需要幾十年才能掌握他們的技藝。他認為人們不懂數學的原因之一就是他們根本沒有足夠的時間來學習。

勾勒出問題的輪廓會對解決問題有所幫助。比如負數。五只羊很容易想象，但是想象負五只羊真的有點難。只有當有人想出了一個聰明的主意，將所有現有數字0，1，2，3……排列在一條直線上時，負數的位置才變得明顯。同樣的情況，復數只有在描述它們的“復平面”出現后才真正興起（請參閱第5章）。

類比也是有幫助的。斯圖爾特的建議是，如果想到橢圓時會給你壓力，那么想象一個被壓扁的圓圈，然后從那兒開始思考。總的來說，與把數學作為一門死板的邏輯學科的印象相反，解決任何問題的最好辦法往往是對它進行簡短的概述，跳過你無法解決的問題，然后回頭補全細節。很多數學家說過，能夠進行模糊思考是很重要的。