第2章 金融工程定價的基本分析方法

2.1 組合定價技術和資本資產定價模型

2.1.1 投資組合理論

馬科維茨的投資組合理論通常被認為是現(xiàn)代金融學的發(fā)端，這一理論使金融學開始擺脫純粹描述性的研究和單憑經驗操作的狀態(tài)，數(shù)量化方法進入了金融領域。馬科維茨工作中所介紹的數(shù)量化分析技術與MM理論中的無套利均衡思想相結合，引發(fā)了后續(xù)一系列金融學理論的重大突破。投資組合理論包含兩個重要內容：均值-方差分析方法和投資組合有效邊界模型。投資組合選擇的目的是如何構造各種有價證券的多頭和空頭，來最好地符合投資者的收益和風險的權衡。由于不同的投資者具有不同的利益結構、投資周期、對風險的厭惡程度，因此并不存在一種對所有投資者來說都是最佳的投資組合或投資組合的選擇策略，馬科維茨的投資組合理論給出了選擇投資組合的指導性思路。

接下來我們討論在構建投資組合時如何進行收益與風險的權衡，收益與風險權衡的優(yōu)化目標是按照投資者的風險偏好使得預期收益達到最大。投資組合理論的基本思想是通過分散化的投資來對沖掉一部分風險，即不要把雞蛋放在一個籃子里，我們首先考慮只有兩項資產時，分析其組合的收益和風險的情況。

假定資產1在組合里的比重是w，資產2的比重則為1-w，資產1的預期收益率和收益率的方差分別為E（r1）和，資產2的預期收益率和收益率的方差分別為E（r2）和，那么投資組合的預期收益率E（r）和收益率的方差σ2為

其中ρ是相關系數(shù)，一定有-1≤ρ≤1。

上述資產可以是風險資產也可以是無風險資產，下面我們分情況討論。

（1）一項風險資產和一項無風險資產的組合。

假設資產1為風險資產，資產2為無風險資產，那么E（r2）=rf，σ2=0，則投資組合的預期收益率和標準差為

由預期收益率的表示式可以看到，組合的預期收益率是以無風險收益率為基礎再加上風險補償，風險補償?shù)拇笮∪Q于風險資產本身的收益率和其在資產組合中的比重，從上面的兩個式子中可以得出

在指定的風險水平下，如果投資組合可以獲得最大的預期收益率，則這一投資組合被稱為有效組合，如果我們的投資組合中只有上述一項風險資產，那么它并不是有效組合，我們可以在這個投資組合里再加進風險資產進行風險的分散化。

（2）兩項風險資產的組合。

風險的分散化是指將多項風險資產組合到一起，可以對沖掉部分公司層面的風險而不降低平均的預期收益率，但是當普遍性的風險影響所有公司時，即使分散化也無法消除風險，這個無法消除的風險是市場風險或系統(tǒng)性風險，相反，可以分散的風險是非系統(tǒng)性風險或公司特有風險。

組合的預期收益率及方差已在前面給出，因為-1≤ρ≤1，所以有

對于一般的金融工具來說，由于系統(tǒng)性風險的存在，所以我們不討論ρ=-1的情況，而當ρ=1時，意味著兩項風險資產完全正相關，那么也無法通過分散化降低風險，因此我們也暫時不考慮這種情況。

從上面的不等式可以看出，組合的標準差小于等于標準差的組合，事實上只要ρ＜1，就有σ＜|wσ1+（1-w）σ2|，這說明加入風險資產確實能起到降低組合風險的作用，這就是投資分散化的原理。

我們利用微積分中求極小值的方法，由資產組合方差的表達式可以求出最小方差組合中投資資產1的比例

圖2-1描繪了兩項風險資產不同權重的組合的預期收益率和標準差之間的關系。

（3）多項風險資產的組合。

假定現(xiàn)在有n項風險資產，它們的預期收益率記為E（ri），每兩項資產之間的協(xié)方差記為σij，每項資產在組合中所占的比重為wi，于是投資組合的預期收益率和方差應為

優(yōu)化投資組合就是在要求投資組合有一定的預期收益率的前提下，使組合的方差越小越好，即求解以下的二次規(guī)劃

對于每一給定的E（r）可以解出相應的標準差σ，每一對（E（r），σ）構成圖2-2中的一個坐標點，這些點最終可以連成圖2-2中的曲線，這就是最小方差曲線，最小方差曲線內部的每一個點都表示這n種風險資產的一個組合，其中任意兩個點所代表的兩個組合再組合起來得到的新的點一定落在原來兩個點的連線的左側，這是因為新的組合能進一步起到分散風險的作用，這也是曲線向左凸的原因。所有最小方差邊界上方的資產組合提供最優(yōu)的風險和收益，因此可以作為最優(yōu)組合，這一部分稱為風險資產有效邊界，對于最小方差點下方的組合，其正上方就存在具有相同標準差但預期收益更高的組合，因此最小方差點下面的點是非有效的。

進一步，投資者如何在有效組合邊界上尋找最適合自己的投資組合，我們來看任意一位投資者的收益-風險效用函數(shù)，在圖2-3上我們畫出等效用曲線，因為承受高的風險要求高的風險補償，所以等效用曲線是遞增的，在已經承受較高風險的情況下，要進一步增加風險，就會要求更高的風險補償，相反，在預期收益已經比較低時，要進一步降低收益，也會要求降低更多的風險，這就是經濟學里邊際效用遞減的原理，所以等效用曲線是向右下方凸的，越往左上方移動，等效用曲線所表示的效用函數(shù)值就越大。因此，如果投資者要從有效組合邊界中選擇投資組合的話，一定是他的等效用曲線和有效組合邊界相切的P點所代表的組合將是最佳選擇，如圖2-3所示。

為了簡化分析過程，我們假定這n種風險資產在投資組合中所占的比重是一樣的，即，于是組合的方差可寫為

式（2-11）右端第一項是n項風險資產的方差的和，當n趨于無窮大時，這一項會趨于0，但第二項不會趨于0，而是趨于協(xié)方差的平均值，記

于是就有

當n趨于無窮大時，第二項就趨于協(xié)方差的平均值。

由此可以得出結論，當投資組合中含有許多種風險資產時，個別資產的方差將不起作用，各項資產之間的協(xié)方差有正有負，它們會起到互相對沖抵消的作用，但不會完全對沖抵消，因而投資組合的方差近似等于平均的協(xié)方差，這種不能通過分散化消除的風險是系統(tǒng)性風險或市場風險，可以被對沖抵消的風險即為非系統(tǒng)性風險或企業(yè)風險。

下面我們介紹兩基金分離定理：在所有風險資產組合的有效邊界上，任意兩個分離的點都代表兩個分離的有效投資組合，而有效組合邊界上任意其他的點所代表的有效投資組合，都可以由這兩個分離的點所代表的有效投資組合的線性組合生成。過任意兩個分離的各自代表風險資產的點可以生成一條雙曲線。有效組合邊界上的兩個分離的點可以看作兩項風險資產，它們也就可以生成一條雙曲線。有效組合邊界本身是一條雙曲線。任意兩條不同的雙曲線不可能在同一側有兩個分離的切點。而如果這兩條雙曲線在這兩個點是相交的話，則由兩個點生成的雙曲線一定會有一部分落在有效組合邊界所圍區(qū)域的外面。由有效組合邊界的定義可知這是不可能的，所以這兩條雙曲線一定重合，亦即兩基金分離定理成立。

2.1.2 資本市場線

現(xiàn)在我們在投資組合中引入無風險資產，如圖2-4所示，新的組合的點一定落在連接rf點和所有潛在風險資產組合的雙曲線所圍區(qū)域及其邊界的某一點的半直線上。這樣的半直線有無數(shù)條，當半直線圍繞rf點逆時針向左旋轉時，不管投資者的風險偏好如何，越在左邊的半直線上的點，其效用值越大，于是，效用值最大的半直線一定是與有效組合邊界相切的那一條，即連接rf點和M點的半直線。

這條半直線構成了無風險資產和風險資產組合的有效組合邊界，被稱為資本市場線（capital market line，CML）。

在這個包括無風險證券和風險資產組合的有效組合邊界（即資本市場線）上，兩基金分離定理實際上依然成立。不過在這里，其中一項基金是無風險證券，而另一項則是切點M所代表的風險資產組合。資本市場線上任意一點（如P點）所代表的投資組合，都可以由一定比例的無風險證券和由M點所代表的風險資產組合生成。對于從事投資服務的金融機構來說，不管投資者的風險偏好如何，只需要找到切點M所代表的風險投資組合，再加上無風險證券，就能為所有的投資者提供最佳的投資方案。投資者的風險偏好，只須反映在組合中無風險證券所占的比重。資本市場線在M點右上方的部分所包含的投資組合（如R點），是賣空了無風險證券（即以無風險利率貸款）后，將所得的資金投資M點所代表的風險資產組合。

假定M點所代表的風險資產組合的預期收益率和標準差分別是E（rm）和σm，投資這一風險資產組合的資金比例是wm，投資無風險證券的資金比例是1-wm，則加上無風險證券后的組合的預期收益率和標準差為

接下來我們介紹M點所代表的風險資產組合。

市場組合包含市場上存在的資產種類，各種資產所占的比例和每種資產的總市值占市場所有資產的總市值的比例相同。風險資產的市場組合就是指從市場組合中拿掉無風險證券后的組合，因此，資本市場線與風險資產的有效組合邊界的切點M點所代表的資產組合就是風險資產的市場組合。首先，任何市場上存在的資產必須被包含在M點所代表的資產組合里。不然的話，因為理性的投資者都會選擇資本市場線上的點作為自己的投資組合，不被M點所包含的資產就會變得無人問津，其價格就會下跌，從而收益率會上升，直到進入M點所代表的資產組合。其次，當市場均衡時，投資者對任何一種資產都不會有過度的需求和過度的供給。因為所有的理性投資者所選擇的有風險資產的比例都應與M點所代表的資產組合里的投資比例相同，所以，在市場處于均衡時，各種風險資產的市場價值在全部風險資產的市場總價值里的比重應當和在M點所代表的資產組合里的比重相同。由此說明M點所代表的資產組合就是風險資產的市場組合。

這樣就引出了被動的，但很有效的指數(shù)化投資策略。這種策略分為兩步：第一步是按照市場的組成比例來構建風險資產的組合，這樣也在一定程度上實現(xiàn)了風險的分散化；第二步是將資金按照投資者的收益/風險偏好分別投到無風險證券和所構建的風險市場組合中。這種策略調節(jié)起來非常方便。如果覺得風險偏大，則可適當增加投資無風險證券的比例，否則反之。

市場組合和無風險證券構成了新的兩基金分離定理，所有的合乎理性的投資組合都是市場組合和無風險證券的一個線性組合，而所有這樣的線性組合構成了資本市場線，這一新的兩基金分離定理成為資本資產定價模型的基礎。

2.1.3 資本資產定價模型

資本資產定價模型是現(xiàn)代金融經濟學的基石，該模型對資產風險與其預期收益之間的關系給出了精準的預測，這一關系發(fā)揮著兩個重要作用。首先，它為評估各項投資提供了一個基準收益率。其次，該模型幫助我們對還沒有上市交易的資產的預期收益做出了合理的估計。資本資產定價模型是基于風險資產預期收益均衡的預測模型，哈里·馬科維茨于1952年建立了現(xiàn)代投資組合選擇理論，12年后，威廉·夏普、約翰·林特納與簡·莫森將其發(fā)展為資本資產定價模型，資本資產定價模型有許多前提性的假設條件，主要包括市場的完善性和環(huán)境的無摩擦性，現(xiàn)在我們對主要的假設條件做一個簡單的介紹。

● 市場中存在許多投資者，投資者是價格的接受者，不具備“做市”的力量，市場處于完全競爭狀態(tài)。

● 所有投資者在持有投資資產時都只計劃持有一個相同的周期，只關心投資計劃期內的情況，不考慮計劃期以后的事情。

● 投資者只能交易公開交易的金融工具如股票、債券等，即不把人力資本、私人企業(yè)、政府融資項目等考慮在內。投資者可以不受限制地以固定的無風險利率進行借貸。

● 市場環(huán)境是無摩擦的，即無稅和無交易成本。

● 所有投資者的行為都是理性的，都選擇市場組合和無風險證券的線性組合構建自己的投資組合。

● 所有投資者都以相同的觀點和分析方法來對待各種投資工具，他們對所交易的金融工具未來的收益現(xiàn)金流的概率分布、預期值和方差等都有相同的估計。這是一致預期假設。

資本資產定價模型進一步要討論的是單項風險資產在資本市場上的定價問題，描述任何風險資產組合風險的標準差可表示為

如果市場上一共就有n項風險資產，而組合p就是風險資產的市場組合M的話，有

從而

其中wiM是第i種資產在風險資產市場組合中的比重。

由此我們得出，風險資產市場組合的總風險只與各項資產與市場組合的風險相關性有關，而與各項資產本身的風險無關，這樣在投資者的心目中，如果σiM越大，則第i項資產對市場組合的風險影響就越大，在市場均衡時，該項資產得到的風險補償也就越大。于是得出以下證券市場線（SML）

和

其中被稱為第i項資產的β系數(shù)，圖2-5畫出了β系數(shù)和預期收益率之間的關系，這就是證券市場線。

β系數(shù)的一個重要性質就是具有線性可加性，若在一個包含n項資產的投資組合里，各項資產的比重是wi，則組合的β系數(shù)為

組合的收益率就是

證券市場線的含義是，一項資產的風險補償應當是它的β系數(shù)乘以風險資產的市場組合的風險補償。如果一項資產的β系數(shù)大于1，則該項資產的風險補償就大于市場組合的風險補償，意味著這項資產在市場上的價格波動會大于市場的平均價格波動；如果一項資產的β系數(shù)小于1，意味著該項資產在市場上的價格波動會小于市場的平均價格波動；如果β系數(shù)為負，則意味著該項資產的收益與整個市場的收益存在負相關的關系。證券市場線如圖2-5所示。