引言
一個(gè)近乎“萬(wàn)物理論”的理論

精神病學(xué)領(lǐng)域有一條通用準(zhǔn)則：如果你認(rèn)為自己找到了可以解釋萬(wàn)物的終極理論，那你應(yīng)該是患上了妄想癥，快去醫(yī)院看看吧。[1]

——斯科特·亞歷山大

我們能預(yù)測(cè)未來(lái)嗎？當(dāng)然可以！

可以肯定的是，接下來(lái)的幾秒鐘內(nèi)你必然會(huì)吸進(jìn)一口氣，再把它呼出去。你還可以自信地預(yù)測(cè)，你的心臟會(huì)繼續(xù)跳動(dòng)，每秒一到三下；明早太陽(yáng)會(huì)照常升起，盡管具體時(shí)刻取決于你所處的緯度和時(shí)節(jié)，但精準(zhǔn)的數(shù)據(jù)并不難找。

你還可以預(yù)測(cè)火車到站的時(shí)間，預(yù)測(cè)你的朋友會(huì)準(zhǔn)時(shí)抵達(dá)事先說(shuō)好的飯店，盡管你在做出這些預(yù)測(cè)時(shí)的自信程度會(huì)受到具體是哪家鐵路公司、哪位朋友的影響。

此外，你還可以預(yù)測(cè)，世界人口將持續(xù)增長(zhǎng)至21世紀(jì)中葉，然后開(kāi)始下降；2030年的全球平均地表溫度將高于1930年。

未來(lái)并非無(wú)法窺測(cè)，我們有能力撥開(kāi)迷霧一探究竟。有些東西很好預(yù)測(cè)，比如根據(jù)傳統(tǒng)力學(xué)預(yù)測(cè)幾千年之內(nèi)的行星軌跡；有些東西則很難預(yù)測(cè)，比如在混沌理論的背景下預(yù)測(cè)天氣——能預(yù)測(cè)幾天就很了不起了。但不管怎么說(shuō)，我們總能掀開(kāi)帷幔，或多或少地看到一些未來(lái)。

大眾口中的“預(yù)測(cè)未來(lái)”通常指的是一些極為神秘的、涉及超自然力量的、神一般的預(yù)言。但本書(shū)提到的“預(yù)測(cè)未來(lái)”并不是這個(gè)意思，我們很難有這種通天之術(shù)（后文會(huì)提到一位科學(xué)家，他認(rèn)為我們的確有這種能力，讀完之后你就會(huì)明白，他肯定是錯(cuò)的）。事實(shí)上，我們根本不需要那種夸張的能力就能做出預(yù)測(cè)。我們這一生從來(lái)就沒(méi)有停止過(guò)對(duì)未來(lái)的預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)和生命是密不可分的。有些預(yù)測(cè)是很基本的，比如每次吸氣時(shí)，我們都會(huì)下意識(shí)地預(yù)測(cè)“空氣一直是可吸入的”。有些預(yù)測(cè)是較為復(fù)雜的，比如“街角的商店里會(huì)有歐倍牌麥片，我走進(jìn)去就能買到”，每個(gè)決策都伴隨著類似的預(yù)測(cè)。我們做出這些預(yù)測(cè)并非基于超能力，而是基于我們的經(jīng)驗(yàn)。

所有預(yù)測(cè)都存在一個(gè)問(wèn)題，即結(jié)果的不確定性。我們不清楚這個(gè)世界到底是建立在決定論之上的，還是建立在非決定論之上的。倘若我們可以像全知全能的上帝一樣，知曉宇宙中每個(gè)粒子的位置、動(dòng)量、性質(zhì)，那我們或許就能完美地預(yù)測(cè)世間萬(wàn)物，比如每只麻雀的死亡[2]。可惜我們并非全知全能，我們能夠掌握的信息很有限[3]。我們沒(méi)有完美的感知能力，所以我們無(wú)法看到宇宙的每個(gè)細(xì)節(jié)，但我們可以利用有限的信息做出不完美的預(yù)測(cè)，比如我們可以大體預(yù)測(cè)出不同事物的活動(dòng)方式：像人一樣的事物會(huì)傾向于尋找食物、組建團(tuán)隊(duì)，像巖石一樣的事物往往只能靜止不動(dòng)。

生命不是一局國(guó)際象棋，而是一場(chǎng)撲克游戲，因?yàn)榍罢叩男畔⑹峭耆模碚撋衔覀兛梢浴皯?yīng)對(duì)”任何狀況；而后者的信息是有限的，我們只能盡量根據(jù)掌握的信息做出最佳決策。

本書(shū)的主要內(nèi)容就是幫你學(xué)會(huì)做出最佳決策的“公式”。

《時(shí)間簡(jiǎn)史》出版之后，史蒂芬·霍金曾說(shuō)過(guò)這樣一句話：“有人對(duì)我說(shuō)，書(shū)里每多出一個(gè)公式，它的銷量就會(huì)減少一半。”[4]可我這本書(shū)的核心內(nèi)容就是一個(gè)公式，想要一個(gè)公式都沒(méi)有也太困難了。[5]

這個(gè)公式就是著名的貝葉斯定理，它是一個(gè)極為簡(jiǎn)潔的等式：

說(shuō)來(lái)實(shí)在慚愧，其實(shí)我也討厭看到數(shù)學(xué)公式。雖然硬要我去使用公式的話，我也不是做不到，但我實(shí)在感到乏味無(wú)趣。可你知道嗎，最尷尬的是，雖然我已經(jīng)寫(xiě)了3本書(shū)，且每本書(shū)都和數(shù)學(xué)密切相關(guān)，但在看到Σ這個(gè)符號(hào)的時(shí)候，我的大腦仍會(huì)頻頻宕機(jī)。我想大多數(shù)讀者都和我有著類似的感受，這或許就是出版社警告霍金盡量不要在書(shū)中列出公式的原因。

不過(guò)我們也沒(méi)必要談公式色變，公式并不是什么晦澀難懂的咒語(yǔ)或密碼，它只是一種簡(jiǎn)便的書(shū)寫(xiě)方式，每個(gè)小符號(hào)都代表一個(gè)簡(jiǎn)單的步驟（我常常這樣安慰自己）。

貝葉斯定理也是如此，它只是一個(gè)概率公式，它可以根據(jù)已知信息算出某件事發(fā)生的概率。具體來(lái)說(shuō)，它是一種條件概率。公式中的豎線“|”是“在此情況下”或“以此為前提條件”的簡(jiǎn)寫(xiě)，P（A |B）則指的是“在事件B已經(jīng)發(fā)生的情況下，事件A發(fā)生的概率”。

這里我們給出一個(gè)條件概率的簡(jiǎn)例。你手中有一副去掉大小王的撲克牌，你想知道從中抽到紅桃的概率。已知撲克牌一共有52張，紅桃有13張，我們可以據(jù)此算出其概率——記作P（?）——等于13/52，或1/4，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示就是p=0.25。然后我們假定你抽了一張牌，是梅花，那么此時(shí)抽到紅桃的概率是多少呢？我們知道牌堆中仍然有13張紅桃，但牌的總數(shù)變成了51，所以此時(shí)概率變成了13/51，或者說(shuō)p≈0.255。這就是你已經(jīng)抽出一張梅花的情況下，再抽到一張紅桃的概率，即P（?| ?）。

再舉一例：倫敦某天下雨的概率是多少？答案是0.4左右，因?yàn)閭惗孛磕甏蠹s有150天在下雨。現(xiàn)在你往窗外瞥了一眼，發(fā)現(xiàn)烏云密布，那么此時(shí)下雨的概率是多少？我也不知道確切答案，但我知道，陰天下雨的概率肯定更高。

貝葉斯定理其實(shí)也是這個(gè)意思，只不過(guò)它的適用場(chǎng)景更為廣泛。用通俗的語(yǔ)言來(lái)解釋公式的四個(gè)部分，就是這個(gè)樣子：（事件B已經(jīng)發(fā)生的情況下，事件A發(fā)生的概率）=（事件A已經(jīng)發(fā)生的情況下，事件B發(fā)生的概率）×（事件A單獨(dú)發(fā)生的概率）÷（事件B單獨(dú)發(fā)生的概率）。

現(xiàn)在假設(shè)我們的社會(huì)出現(xiàn)了一種大規(guī)模傳播的疾病（可以參考剛剛經(jīng)歷的新冠疫情）。

為了弄清自己到底有沒(méi)有染上這種病，你做了一個(gè)測(cè)試。測(cè)試的指導(dǎo)手冊(cè)上寫(xiě)著這樣一句話：“本測(cè)試的靈敏度和特異度均為99%。”也就是說(shuō)，如果你真的染上了這種病，那么這個(gè)測(cè)試有99%的概率可以準(zhǔn)確地告訴你，你確實(shí)染上了這種病；如果你沒(méi)有染上這種病，那么它也有99%的概率可以準(zhǔn)確地告訴你，你沒(méi)有染上這種病。另外我們還可以這樣理解：該測(cè)試的“假陰性率”和“假陽(yáng)性率”都是1%。

現(xiàn)在假定你的試紙上出現(xiàn)了兩條紅線，也就是說(shuō)測(cè)試結(jié)果呈陽(yáng)性。這意味著什么呢？你可能會(huì)自然而然地認(rèn)為，自己有99%的概率被傳染了。

但貝葉斯定理會(huì)告訴我們，事實(shí)并非如此。

貝葉斯定理是一個(gè)非常奇怪的定理。它的表達(dá)式十分簡(jiǎn)潔，寫(xiě)出來(lái)不占什么篇幅，涉及的運(yùn)算只有乘法和除法，就連8歲小孩都會(huì)算。它的提出者也只是一個(gè)生活在18世紀(jì)的普通富紳，這位富紳白天會(huì)在坦布里奇韋爾斯擔(dān)任牧師，但他并不信奉英格蘭國(guó)教[6]，研究數(shù)學(xué)也只是業(yè)余愛(ài)好。盡管如此，貝葉斯定理仍舊產(chǎn)生了極為深遠(yuǎn)的影響——它可以解釋為什么即便癌癥測(cè)試呈陽(yáng)性的人中有99%都沒(méi)有癌癥，測(cè)試的準(zhǔn)確率仍然可以高達(dá)99%；為什么DNA（脫氧核糖核酸）鑒定只有兩千萬(wàn)分之一的概率匹配錯(cuò)，但它仍有很大概率導(dǎo)致冤假錯(cuò)案；為什么一個(gè)科學(xué)結(jié)論明明具有“統(tǒng)計(jì)顯著性”，但它仍舊有很大概率是錯(cuò)的。

貝葉斯定理還涉及迷人的哲學(xué)思辨。“概率”是真實(shí)存在的嗎？我們說(shuō)擲色子有六分之一的概率擲出1，這到底是什么意思？它是宇宙中確切存在的事實(shí)，還是我們對(duì)這個(gè)世界所持有的一種信念？一次性事件也有概率嗎？如果我告訴你，曼城隊(duì)有90%的概率成為2025年的英超冠軍，那這到底意味著什么呢？

每次我們面對(duì)不確定的事物做出決策時(shí)—— 一直以來(lái)我們都是這樣做的——都可以利用貝葉斯定理來(lái)判斷該決策在多大程度上算是個(gè)好決策。事實(shí)上，無(wú)論是怎樣的決策過(guò)程，無(wú)論你為了實(shí)現(xiàn)某個(gè)目標(biāo)對(duì)世界產(chǎn)生了多大的影響，無(wú)論你掌握的信息多么有限，無(wú)論你是正在尋找高濃度葡萄糖環(huán)境的細(xì)菌，是正在利用復(fù)制行為傳播遺傳信息的基因，還是正在努力實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的政府，只要你想把事情干好，你就離不開(kāi)貝葉斯定理。

AI（人工智能）本質(zhì)上也是貝葉斯定理的一個(gè)具體應(yīng)用。從最基本的層面來(lái)說(shuō)，AI所做的事情就是“預(yù)測(cè)”。一個(gè)可以分辨貓狗圖像的AI應(yīng)用，本質(zhì)上就是在根據(jù)過(guò)往的訓(xùn)練數(shù)據(jù)和當(dāng)前的圖像信息去“預(yù)測(cè)”人類對(duì)圖片的判斷。DALL-E 2、GPT-4、Midjourney等各種優(yōu)秀的AI應(yīng)用，正在以令人應(yīng)接不暇的速度一次次沖擊人們的認(rèn)知，我寫(xiě)下這段話的時(shí)候可能就剛好有一個(gè)震撼世界的AI應(yīng)用橫空出世。不過(guò)，這些和你談笑風(fēng)生、為你生成高質(zhì)量圖像的AI，本質(zhì)上也是在做預(yù)測(cè)，只不過(guò)它們預(yù)測(cè)的是人類作家、人類藝術(shù)家面對(duì)這些提示詞時(shí)會(huì)如何作答。這些預(yù)測(cè)行為的基礎(chǔ)都是貝葉斯定理。

大腦的工作也離不開(kāi)貝葉斯定理，這就是人類容易產(chǎn)生視錯(cuò)覺(jué)、致幻劑可以致幻的原因，同時(shí)也是思想意識(shí)的工作原理。

貝葉斯定理可以讓我們明白，為什么陰謀論的觀點(diǎn)難以轉(zhuǎn)變；為什么兩個(gè)人可以根據(jù)同樣的證據(jù)得出完全相反的結(jié)論。比如，為什么那些科學(xué)事實(shí)能夠讓我相信疫苗安全有效，卻無(wú)法說(shuō)服一個(gè)懷疑論者呢？答案就是，根據(jù)貝葉斯定理，一個(gè)人對(duì)新信息的判斷會(huì)受到既有認(rèn)知的影響。這并不是說(shuō)那些懷疑疫苗的人、那些陰謀論者是大腦運(yùn)轉(zhuǎn)方式與眾不同的外星人，而是說(shuō)他們也是完全理性的人，只不過(guò)他們的行為建立在固有思想之上。貝葉斯定理可以很好地解釋這一點(diǎn)。

由此可見(jiàn)，雖然貝葉斯定理不是萬(wàn)物理論，但實(shí)際上也差不多了。一旦你開(kāi)始站在貝葉斯定理的視角去看待問(wèn)題，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)貝葉斯定理真的是無(wú)處不在。我寫(xiě)這本書(shū)的目的就是幫你做到這一點(diǎn)。

通常人們會(huì)用醫(yī)療檢測(cè)來(lái)解釋貝葉斯定理，本書(shū)也不例外。這里我們給出一些比較可靠的數(shù)據(jù)：假定你正準(zhǔn)備進(jìn)行乳腺癌的篩查檢測(cè)，且已經(jīng)知道，如果某位女性的確患有癌癥，那么乳房X光在80%的情況下可以正確識(shí)別出癌癥（靈敏度為80%），在另外20%的情況下會(huì)發(fā)生漏診，即假陰性；如果某位女性沒(méi)有癌癥，那么乳房X光在90%的情況下可以正確排除癌癥（特異度為90%），在另外10%的情況下會(huì)發(fā)生誤診，即假陽(yáng)性。

假定你的檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性，那是不是說(shuō)明，你有90%的概率患上了乳腺癌？不是的。事實(shí)是，根據(jù)上面給定的這些信息，你根本無(wú)法判斷自己患上乳腺癌的概率到底有多大。

你還需要額外掌握一個(gè)信息，那就是在參加檢測(cè)之前，你對(duì)自己患上乳腺癌的概率的預(yù)估。最簡(jiǎn)單的預(yù)估方式就是找出特定時(shí)期內(nèi)，與你同齡的女性中的乳腺癌患者的比例。我們假定這一比例為1%。

為了讓案例更加具體，我們進(jìn)一步假定共有10萬(wàn)名女性參加了檢測(cè)，那么按照1%的患病比例來(lái)看，這些人中一共有1000名乳腺癌患者。在這1000名患者當(dāng)中，乳房X光只能正確檢測(cè)出800名，另外200名將會(huì)出現(xiàn)漏診；剩下的99000人沒(méi)有患乳腺癌，在這些健康人當(dāng)中，乳房X光只能正確判斷出89100人，這意味著會(huì)有99000-89100=9900人被誤診為乳腺癌。下面我們把數(shù)據(jù)整理成表格：

現(xiàn)在你明白了吧，得到陽(yáng)性結(jié)果的女性一共有10700名，其中只有800人真的患有乳腺癌。換句話說(shuō)，假定你的檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性，那么你真正患有乳腺癌的概率是800/10700≈0.07，即7%。

具體結(jié)果完全取決于檢測(cè)前人群中患有乳腺癌者的比例。假如檢測(cè)對(duì)象是高風(fēng)險(xiǎn)人群，比如具有家族癌癥史的老年婦女，那么這一比例可能高達(dá)10%，此時(shí)計(jì)算結(jié)果會(huì)發(fā)生翻天覆地的變化。

現(xiàn)在真陽(yáng)性的人數(shù)從800漲到了8000，假陽(yáng)性的人數(shù)下降至9000。此時(shí)一個(gè)拿到陽(yáng)性結(jié)果的人真正患乳腺癌的概率變成了8000/17000，結(jié)果約為47%。知道這一點(diǎn)后，拿到陽(yáng)性結(jié)果的人會(huì)比剛才更加憂慮。整個(gè)檢測(cè)方法沒(méi)有任何變化，發(fā)生變化的只有先驗(yàn)概率。

換句話說(shuō)，貝葉斯定理可以告訴你結(jié)果的可靠程度。可是要做到這一點(diǎn)，你必須對(duì)這件事有一個(gè)先驗(yàn)預(yù)估。

現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)看看這個(gè)公式（本書(shū)的銷量該不會(huì)又減半了吧……畢竟這個(gè)公式剛才已經(jīng)出現(xiàn)過(guò)一次）。

經(jīng)過(guò)一系列計(jì)算之后，我們得到的結(jié)果就是P（A|B），即事件B已經(jīng)發(fā)生的情況下，事件A發(fā)生的概率。癌癥檢測(cè)與之類似，我們想知道的是，在檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性的情況下，該患者真正患癌的概率。

可是“靈敏度80%”并沒(méi)有給出P（A|B），反而給出了與之相反的P(B|A)，即事件A已經(jīng)發(fā)生的情況下，事件B發(fā)生的概率。也就是說(shuō)，它可以告訴我們，一個(gè)真正患有乳腺癌的人，有多大概率取得陽(yáng)性結(jié)果。

乍一看好像沒(méi)什么不同，實(shí)際上這兩者的區(qū)別就像“某個(gè)人剛好是教皇的概率僅有八十億分之一”和“教皇剛好是個(gè)人類的概率僅有八十億分之一”的區(qū)別一樣大。[7]

為了得到想要的數(shù)據(jù)，我們需要更多信息。在癌癥檢測(cè)的例子中，我們需要的額外信息是乳腺癌患者在人群中的比例。在醫(yī)學(xué)中，我們將其稱為發(fā)病率，或背景發(fā)生率；在貝葉斯定理中，這種額外信息一般被稱為先驗(yàn)概率。

醫(yī)學(xué)中的先驗(yàn)概率比較容易獲得，也很容易定義。比如你想知道某人患上亨廷頓病的風(fēng)險(xiǎn)，那你可以去查詢?nèi)圃\所的診療記錄[8]，然后據(jù)此算出平均每10萬(wàn)人當(dāng)中約有12.3人患有該疾病。

其他情況則要復(fù)雜得多。如果幾年前你想計(jì)算俄烏爆發(fā)沖突的概率，那這個(gè)先驗(yàn)概率該怎么算？先算一下俄烏每年爆發(fā)沖突的頻次？還是先統(tǒng)計(jì)一下所有沖突爆發(fā)的頻次？或是先調(diào)查一下，看看兩國(guó)邊境突然增派大量坦克的時(shí)候，雙方爆發(fā)沖突的概率？

再舉一例。假定我提出了一個(gè)科學(xué)假說(shuō)，做了一次相關(guān)實(shí)驗(yàn)，且取得了不錯(cuò)的數(shù)據(jù)，此時(shí)該假說(shuō)是一個(gè)正確假說(shuō)的概率有多高？我們進(jìn)一步假定，如果該假說(shuō)是錯(cuò)誤的，那每20次實(shí)驗(yàn)中只有1次能取得這種數(shù)據(jù)。這是不是意味著，我的假說(shuō)大概率是正確的？不是這樣的，因?yàn)樗€和另一個(gè)概率有關(guān)——我開(kāi)始做實(shí)驗(yàn)之前，該假說(shuō)為真的概率，即先驗(yàn)概率。可我該上哪兒去搞到這個(gè)數(shù)據(jù)呢？

法庭辯護(hù)中也有一個(gè)經(jīng)典案例。在已經(jīng)取得某些法庭證據(jù)的情況下，該嫌疑人有罪的概率是多少？假定嫌疑人的DNA恰好出現(xiàn)在現(xiàn)場(chǎng)的概率只有百萬(wàn)分之一，那是不是說(shuō)明警察只有百萬(wàn)分之一的概率抓錯(cuò)了嫌疑人？不是這樣的，因?yàn)檫@還取決于一開(kāi)始警察就抓到了正確嫌疑人的概率有多大。可問(wèn)題是，這項(xiàng)數(shù)據(jù)上哪兒去找呢？

放心，這些問(wèn)題本書(shū)都會(huì)一一作答（有很多數(shù)學(xué)家研究過(guò)相關(guān)問(wèn)題）。需要牢記的是，必須先得到一個(gè)先驗(yàn)概率，我們才能進(jìn)一步應(yīng)用貝葉斯定理。缺失了先驗(yàn)概率，我們只能得到一些不靠譜的結(jié)論。

大多數(shù)人第一次聽(tīng)說(shuō)貝葉斯定理都是在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，所以我們的旅程也從醫(yī)學(xué)領(lǐng)域開(kāi)始。

這么多年來(lái)，我逐漸愛(ài)上了貝葉斯定理。第一次聽(tīng)說(shuō)貝葉斯定理，是在本·戈?duì)栠_(dá)克瑞于21世紀(jì)初在《衛(wèi)報(bào)》上開(kāi)設(shè)的《小心壞科學(xué)！》專欄當(dāng)中。自那時(shí)起，我就對(duì)貝葉斯定理越來(lái)越著迷。包括本書(shū)在內(nèi)，我已經(jīng)出版了3部作品，其中每本書(shū)都或多或少地提到了貝葉斯定理。該定理常常能夠得出一些反直覺(jué)的結(jié)論，令人連連稱奇。比如，某項(xiàng)測(cè)試的準(zhǔn)確率為99%，并不意味著該測(cè)試在99%的情況下是正確的。這到底是什么鬼話？雖然只要按部就班地推導(dǎo)，就能逐漸理解這一事實(shí)，但類似的結(jié)論總是能夠讓人感到不可思議，刷新認(rèn)知（至少我的感受是這樣的）。

過(guò)去4年當(dāng)中，也就是2020年年初全球暴發(fā)新冠疫情之后，貝葉斯定理推導(dǎo)出的那些結(jié)論變得越來(lái)越重要了。早在2020年4月，大部分人還處于居家隔離狀態(tài)的時(shí)候，英國(guó)前首相托尼·布萊爾等人就呼吁政府向那些已經(jīng)感染過(guò)新冠病毒、體內(nèi)已有抗體的人發(fā)放免疫證明，允許他們外出活動(dòng)（當(dāng)然這發(fā)生在人們意識(shí)到各種變異病毒會(huì)導(dǎo)致患者很容易復(fù)陽(yáng)之前）。

抗體測(cè)試問(wèn)世沒(méi)多久，美國(guó)政府就緊急批準(zhǔn)了一種抗體檢測(cè)方法，該方法的靈敏度和特異度大約都是95%。[9]

聽(tīng)上去挺靠譜。事實(shí)上，2020年4月，英國(guó)大約有3%的人口感染了新冠病毒，這一比例就是所謂的先驗(yàn)概率。如果有100萬(wàn)人參加檢測(cè)，那么其中大約會(huì)有3萬(wàn)人是新冠病毒感染者。在這3萬(wàn)名患者當(dāng)中，會(huì)有28500人的檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性；剩下的97萬(wàn)健康人當(dāng)中，則會(huì)有48500人的檢測(cè)結(jié)果被錯(cuò)誤標(biāo)記為陽(yáng)性。

由此可見(jiàn)，在全部77000個(gè)陽(yáng)性結(jié)果當(dāng)中，只有三分之一多一點(diǎn)的檢測(cè)者的確感染了新冠病毒（這就是后驗(yàn)概率）。英國(guó)人口一共有6800萬(wàn)，假如政府真的讓所有人都參加了這項(xiàng)檢測(cè)，并向那些結(jié)果呈陽(yáng)性的人發(fā)放免疫證明，就會(huì)導(dǎo)致約300萬(wàn)根本沒(méi)有感染過(guò)新冠病毒的人可以自由地走街串巷，甚至去擁抱免疫力低下的爺爺奶奶，而事實(shí)上這些人根本不安全。不弄懂貝葉斯定理的話，你就沒(méi)法搞清楚這件事。

當(dāng)時(shí)英國(guó)有一群所謂的“權(quán)威人士”對(duì)居家隔離政策持懷疑態(tài)度，其中有一部分人已經(jīng)察覺(jué)到檢測(cè)數(shù)據(jù)有些不對(duì)勁，從而引發(fā)了一場(chǎng)和貝葉斯定理相關(guān)的巨大爭(zhēng)論。這些人當(dāng)中最著名的應(yīng)該就是威爾士地方政府前首席大臣約翰·雷德伍德，他認(rèn)為那些錯(cuò)誤的檢測(cè)結(jié)果會(huì)歪曲新冠疫情的真相，并強(qiáng)烈要求政府顧問(wèn)盡快給出一個(gè)制止這種現(xiàn)象的方案。[10]

這些懷疑論者之所以會(huì)覺(jué)得檢測(cè)數(shù)據(jù)不對(duì)勁，是因?yàn)樗麄冋`解了統(tǒng)計(jì)學(xué)教授戴維·斯皮格霍爾特爵士在一個(gè)訪談節(jié)目中的言論。戴維·斯皮格霍爾特經(jīng)常積極地在各種電視節(jié)目和廣播頻道中向公眾耐心解釋什么是檢測(cè)的準(zhǔn)確度，什么是疫苗的有效性。大家已經(jīng)明白，檢測(cè)的假陽(yáng)性率為1%，并不意味著只有1%的陽(yáng)性結(jié)果是誤診。當(dāng)時(shí)社會(huì)正處于第一波疫情和第二波疫情之間的緩沖期，此時(shí)人們只要一打噴嚏就得做PCR（聚合酶鏈?zhǔn)椒磻?yīng)）檢測(cè)。從數(shù)據(jù)上來(lái)看，當(dāng)時(shí)英國(guó)的新冠病毒感染者非常少，隔離政策似乎的確降低了感染率，可整體上來(lái)看，感染率似乎又有一種上升趨勢(shì)。

那些持懷疑論的“權(quán)威人士”認(rèn)為，感染率上升只是一種假象，貝葉斯定理可以解釋個(gè)中玄機(jī)。具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)有0.1%的人感染了新冠病毒。如果我們隨機(jī)對(duì)人群進(jìn)行檢測(cè)，且該檢測(cè)方式可以在99%的情況下正確識(shí)別出那些沒(méi)有感染新冠病毒的健康人，在90%的情況下正確識(shí)別出那些的確感染了新冠病毒的患者，那么最終將有超過(guò)90%的人得到假陽(yáng)性結(jié)果。[11]

這個(gè)結(jié)論的確沒(méi)錯(cuò)，問(wèn)題在于他們對(duì)貝葉斯定理的理解不夠深刻。首先，先驗(yàn)概率真的是0.1%嗎？這一概率成立的前提是，參與檢測(cè)的人員都是從整個(gè)人口當(dāng)中隨機(jī)挑選出來(lái)的，但事實(shí)并非如此：參與檢測(cè)的要么是已經(jīng)表現(xiàn)出一定癥狀的人，要么是接觸過(guò)確診病例的人，這些人感染新冠病毒的概率要比其他人高得多。雖然我們不知道具體高多少，但我們知道，即便先驗(yàn)概率只有1%，假陽(yáng)性的比例也會(huì)大幅下降至50%；如果先驗(yàn)概率為10%，那么大約有90%的陽(yáng)性結(jié)果是真陽(yáng)性。

那么，我們假定假陽(yáng)性率為1%，會(huì)不會(huì)有點(diǎn)太夸張了呢？事實(shí)上，2020年夏天新冠疫情開(kāi)始減弱的時(shí)候，檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性的比例只有0.05%，其中包括了真陽(yáng)性和假陽(yáng)性，所以假陽(yáng)性率不可能比這一數(shù)值還高。如此一來(lái)，在新冠病毒感染率為0.1%的前提下，假陽(yáng)性率將下降至35%。感染率越高，假陽(yáng)性率就越低。

其實(shí)不僅僅是新冠疫情，幾乎任何形式的醫(yī)學(xué)檢測(cè)都會(huì)涉及貝葉斯定理。

英國(guó)的國(guó)家醫(yī)療服務(wù)體系（NHS）提供3種常規(guī)的癌癥篩查，即乳腺癌、宮頸癌、結(jié)腸癌。雖然前列腺檢查不在常規(guī)檢查之內(nèi)，但50歲以上的男性如果有需求，也可以把這項(xiàng)檢查加進(jìn)去。

為什么前列腺檢查沒(méi)有加進(jìn)常規(guī)的癌癥篩查呢？畢竟癌癥篩查聽(tīng)上去就是件有益無(wú)害的事，越早發(fā)現(xiàn)越容易治療嘛。難道前列腺檢查有什么壞處嗎？

就像本書(shū)中的其他問(wèn)題一樣，貝葉斯定理可以給出答案。

前列腺癌的篩查是通過(guò)PSA（前列腺特異性抗原）檢測(cè)來(lái)進(jìn)行的。醫(yī)護(hù)人員會(huì)檢驗(yàn)測(cè)試者的血液，如果血液中的PSA指數(shù)過(guò)高——正常值是3~4納克每毫升——測(cè)試者就有必要接受進(jìn)一步的檢查，比如掃描或活檢。需要注意的是，PSA過(guò)高既有可能是前列腺癌的信號(hào)，也有可能是感染、炎癥的征兆，還有可能是年邁導(dǎo)致的自然現(xiàn)象。

PSA檢測(cè)沒(méi)有前面提到的那些檢測(cè)方法那么精準(zhǔn)。根據(jù)英國(guó)醫(yī)療咨詢機(jī)構(gòu)——國(guó)家衛(wèi)生與臨床優(yōu)化研究所（NICE）提供的數(shù)據(jù)[12]，如果以3納克每毫升的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)患者進(jìn)行PSA檢測(cè)，那么該檢測(cè)將成功識(shí)別出32%的患者（靈敏度），以及85%的健康人（特異度）。

另外我們知道，50歲以上的男性患者中，大約有2%患有前列腺癌。[13]假如參加PSA檢測(cè)的人數(shù)共計(jì)為100萬(wàn)，那其中大約會(huì)有2萬(wàn)人確實(shí)患有前列腺癌。可是這項(xiàng)檢測(cè)只能正確識(shí)別其中的6400名患者。剩下的98萬(wàn)健康人當(dāng)中，將有147000人需要進(jìn)行額外的后續(xù)檢查。如果一名50多歲的男性在該檢測(cè)中得到了陽(yáng)性結(jié)果，那他實(shí)際上只有4%的概率真正患有前列腺癌。

4%的概率需要我們認(rèn)真對(duì)待嗎？或許吧，但可以肯定的是，陽(yáng)性患者需要進(jìn)行額外檢測(cè)：有些會(huì)造成創(chuàng)傷，有些會(huì)令身體不適，有些甚至還具有一定風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)然，英國(guó)的國(guó)家醫(yī)療服務(wù)體系還要為這些數(shù)以萬(wàn)計(jì)的核磁掃描、活體檢測(cè)支付數(shù)百萬(wàn)英鎊，而這些錢本可以用來(lái)支付他汀類藥物、腎移植費(fèi)用或是護(hù)士的工資。此外，前列腺癌的檢測(cè)還有很多問(wèn)題，比如很多情況下前列腺癌細(xì)胞的擴(kuò)散極為緩慢，以至于很多患者根本無(wú)法意識(shí)到自己得了前列腺癌；有時(shí)，直到尸檢這一步，人們才發(fā)現(xiàn)患者患有前列腺癌，但他們的死因卻和前列腺癌毫不相干。

當(dāng)然，這里面還有一個(gè)問(wèn)題，那就是32%的靈敏度、85%的特異度這兩個(gè)數(shù)值，其實(shí)是3納克每毫升這項(xiàng)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)造成的。如果我們把檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)提高到4納克每毫升，會(huì)發(fā)生什么？

答案就是，特異度會(huì)從85%升到91%，也就是說(shuō)該檢測(cè)能夠正確識(shí)別出更多健康人。但代價(jià)是靈敏度會(huì)從32%降至21%，也就是說(shuō)該檢測(cè)正確識(shí)別癌癥患者的能力下降了。假如這次也有100萬(wàn)人參加了檢測(cè)，那么假陽(yáng)性人數(shù)會(huì)下降至88200，但與此同時(shí)真陽(yáng)性人數(shù)也變少了——20000名患者當(dāng)中只能正確識(shí)別出4200人。這種情況下，如果一名50多歲的男性在該檢測(cè)中得到了陽(yáng)性結(jié)果，那他實(shí)際上只有4.5%的概率真正患有前列腺癌，并沒(méi)有比之前高多少。

我們無(wú)法規(guī)避這些數(shù)據(jù)之前的關(guān)聯(lián)性。我們可以繼續(xù)提高檢測(cè)閾值，比如把標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定為5納克每毫升，那么假陽(yáng)性的數(shù)量會(huì)進(jìn)一步下降，但代價(jià)是假陰性的數(shù)量會(huì)進(jìn)一步上升。如果降低檢測(cè)閾值，那么假陰性的數(shù)量會(huì)下降，但代價(jià)是假陽(yáng)性的數(shù)量會(huì)上升。二者互相拖后腿的現(xiàn)象是不可避免的。想要真正解決這一矛盾，我們只能在醫(yī)學(xué)上尋求另一種更優(yōu)秀的檢測(cè)方式（這有點(diǎn)像“統(tǒng)計(jì)顯著性”問(wèn)題，在后文中我們還會(huì)具體分析）。

雖然乳腺癌和結(jié)腸癌的篩查更為精準(zhǔn)，但即便是在這兩個(gè)領(lǐng)域，其準(zhǔn)確性也高度依賴于患者人數(shù)在全部人口中的比例。一項(xiàng)大型調(diào)查發(fā)現(xiàn)[14]，在連續(xù)10年、每年都進(jìn)行乳房X光檢查的女性當(dāng)中，有60%的人得到過(guò)一次或多次的假陽(yáng)性結(jié)果，繼而參加了活檢等形式的額外檢查，這些煩瑣的檢查令她們感到“焦慮、痛苦，總是擔(dān)心自己真的得了乳腺癌”。這一切真的值得嗎？答案取決于該疾病在人群中的發(fā)病率，即先驗(yàn)概率。年輕人很少得乳腺癌，如果我們對(duì)40歲以下的女性進(jìn)行乳腺癌篩查，那么即便靈敏度和特異度都很高，也會(huì)出現(xiàn)較高的假陽(yáng)性率，所以對(duì)大齡女性進(jìn)行乳腺癌篩查會(huì)更有價(jià)值。英國(guó)國(guó)家衛(wèi)生與臨床優(yōu)化研究所認(rèn)為，只有對(duì)50歲以上的女性進(jìn)行乳腺癌篩查，才具有成本效益。[15]如果不懂貝葉斯定理，我們就無(wú)法得出這一結(jié)論。

各位準(zhǔn)父母最好也了解一下貝葉斯定理。市面上有一種叫作“無(wú)創(chuàng)產(chǎn)前篩查”（NIPT）的技術(shù)，這種技術(shù)會(huì)利用孕婦的血液樣本來(lái)分析胎兒的染色體狀況。在英國(guó)，國(guó)家醫(yī)療服務(wù)體系會(huì)向高風(fēng)險(xiǎn)孕婦提供這一服務(wù)。當(dāng)然你也可以去私人診所，其價(jià)格在500英鎊左右。

雖然該篩查的準(zhǔn)確率高達(dá)99%，但就像前面的例子一樣，其準(zhǔn)確率無(wú)法幫助我們判斷手中的檢測(cè)結(jié)果到底在多大程度上是準(zhǔn)確的。唐氏綜合征、13三體綜合征、18三體綜合征都是這項(xiàng)檢測(cè)的目標(biāo)疾病，這些疾病不僅非常罕見(jiàn)，而且相當(dāng)嚴(yán)重。患有唐氏綜合征的孩子，幸運(yùn)的話可以活幾十年，大多需要終生陪護(hù)；而患有13三體綜合征、18三體綜合征的孩子通常會(huì)在出生后的數(shù)月、數(shù)年之內(nèi)夭折。顯然，檢測(cè)結(jié)果是否準(zhǔn)確對(duì)父母來(lái)說(shuō)非常重要。

調(diào)查發(fā)現(xiàn)[16]，如果參加無(wú)創(chuàng)產(chǎn)前篩查的人不是高危孕婦，而是一群普通孕婦，那么檢測(cè)結(jié)果往往會(huì)呈現(xiàn)假陽(yáng)性。唐氏綜合征的“陽(yáng)性預(yù)測(cè)值”，即陽(yáng)性檢測(cè)結(jié)果為真陽(yáng)性的概率為82%，13三體綜合征的為49%，18三體綜合征的為37%。

如果參加無(wú)創(chuàng)產(chǎn)前篩查的是一群高危孕婦，那么這些疾病的陽(yáng)性預(yù)測(cè)值會(huì)大幅上升——18三體綜合征的陽(yáng)性預(yù)測(cè)值會(huì)躍升至84%。也就是說(shuō)，如果對(duì)所有孕婦進(jìn)行無(wú)差別檢測(cè)，那么每3份陽(yáng)性結(jié)果中就有2份是假的；如果只對(duì)高危孕婦進(jìn)行檢測(cè)，那么得到假陽(yáng)性結(jié)果的概率還不到六分之一。

這背后仍然是貝葉斯定理。手中剛拿到的檢測(cè)結(jié)果并不能反映整個(gè)事實(shí)，我們必須想辦法得到先驗(yàn)概率，而這既不是什么理論假說(shuō)，也不是什么學(xué)術(shù)難題。如果你已經(jīng)懷上了寶寶，并參加了這些測(cè)試，且拿到了陽(yáng)性結(jié)果，那貝葉斯定理將會(huì)成為你應(yīng)該采取何種行動(dòng)的關(guān)鍵。而且，正如后文所說(shuō)，你的醫(yī)生也不一定能幫到你，因?yàn)榇蟛糠轴t(yī)生也和普通人一樣，認(rèn)為99%的準(zhǔn)確率就等同于檢測(cè)結(jié)果在99%的情況下都是正確的。

和醫(yī)學(xué)界類似，法律界也有一個(gè)叫作“檢察官謬誤”（prosecutor’s fallacy）的案例，該案例就犯了沒(méi)有認(rèn)真考慮貝葉斯定理的錯(cuò)誤。該案例是這樣的：假定你正在犯罪現(xiàn)場(chǎng)做犯罪調(diào)查，在兇器上采集到了DNA樣本，且該樣本與數(shù)據(jù)庫(kù)中某人的DNA樣本匹配。要知道，DNA匹配的精度極高——平均每300萬(wàn)個(gè)樣本中才能有1個(gè)擁有如此高的匹配度。

這是否意味著，嫌疑人只有三百萬(wàn)分之一的概率是無(wú)辜的？讀到這里你應(yīng)該已經(jīng)有能力意識(shí)到，事實(shí)并非如此。

你還需要一個(gè)信息，即先驗(yàn)概率。你是因?yàn)檎莆樟舜_切證據(jù)，才確定了嫌疑人的嗎？還是說(shuō)你只有DNA匹配這一個(gè)理由去懷疑他，而且該DNA數(shù)據(jù)庫(kù)是從英國(guó)全國(guó)人口中隨機(jī)挑選出來(lái)的？如果是后者，那么該嫌疑人的確是罪犯的先驗(yàn)概率只有六千八百萬(wàn)分之一：因?yàn)橛?guó)人口為6800萬(wàn)，而此起案件的罪犯只有一名。如果你對(duì)英國(guó)人口進(jìn)行DNA檢測(cè)，你會(huì)得到大約20份匹配結(jié)果，運(yùn)氣好的話，罪犯也會(huì)在里面。在這種情況下，剛好抓到罪犯的概率大約為5%。

但如果你事先能把嫌疑人的范圍縮小至10人，比如你就是神探赫爾克里·波洛，犯罪現(xiàn)場(chǎng)只有10個(gè)疑犯，他們被暴風(fēng)雪困在一幢鄉(xiāng)間別墅里，那情況就完全不同了。此時(shí)的先驗(yàn)概率是10%，如果10人當(dāng)中有人和現(xiàn)場(chǎng)遺留的DNA匹配上了，那該結(jié)果為假陽(yáng)性的概率只有大約三十萬(wàn)分之一。[17]

這不是夸大其詞，也不是故弄玄虛，因?yàn)榉ㄍド险娴挠蟹ü僭灶愃频募?xì)節(jié)給嫌疑人定罪。1990年，一個(gè)叫安德魯·迪恩的男性被法庭判有強(qiáng)奸罪，證據(jù)之一就是DNA匹配。當(dāng)時(shí)有位專家證人跟法官說(shuō)，DNA來(lái)自其他人的概率只有三百萬(wàn)分之一。但安德魯·迪恩的罪名還是被推翻了（盡管重審之后還是判他有罪），原因就像某位統(tǒng)計(jì)學(xué)家所解釋的那樣[18]，“如果某人是無(wú)辜的，他的DNA有多大概率和犯罪現(xiàn)場(chǎng)的DNA匹配？”和“如果某人的DNA和犯罪現(xiàn)場(chǎng)的DNA匹配，他有多大概率是無(wú)辜的？”是兩個(gè)不同的問(wèn)題，正如“某人是教皇的可能性”和“某教皇是人的可能性”是不一樣的。

有時(shí)謬誤也會(huì)反過(guò)來(lái)。奧倫塔爾·詹姆斯·辛普森是美國(guó)橄欖球巨星，曾被指控謀殺自己的妻子妮科爾·布朗·辛普森。在該案的審判過(guò)程中，檢方指出辛普森曾對(duì)自己的妻子施暴，而辯方表示：“那些打過(guò)妻子耳光或毆打過(guò)妻子的男性當(dāng)中，只有不到兩千五百分之一的人會(huì)在一年之內(nèi)謀殺妻子，這一概率可以說(shuō)是微乎其微。”[19]

這一謬誤與檢察官謬誤剛好相反。一年之內(nèi)不僅毆打妻子，還進(jìn)一步謀殺妻子的概率，或許真的“只有”兩千五百分之一。但這并不是我們想問(wèn)的問(wèn)題。我們想知道的是，如果一個(gè)男性毆打妻子，而妻子又被謀殺了，那兇手是她丈夫的概率是多少？

德國(guó)心理學(xué)家、風(fēng)險(xiǎn)理論專家格爾德·吉仁澤表示，如果兩千五百分之一這個(gè)數(shù)字是正確的，那么每10萬(wàn)名遭受家暴的女性中就有40人會(huì)被謀殺。[20]而在整個(gè)美國(guó)社會(huì)中，女性被謀殺的比例為十萬(wàn)分之五。

由此可見(jiàn)，雖然遭受家暴的美國(guó)婦女被丈夫殺害的先驗(yàn)概率約為每年兩千五百分之一，但我們現(xiàn)在可以利用新掌握的信息——已知該婦女是被謀殺的——來(lái)修正這個(gè)概率。

現(xiàn)在我們把數(shù)據(jù)代入貝葉斯公式。假如某一年有10萬(wàn)名婦女遭受家暴，那么其中大約會(huì)有99955人沒(méi)有被謀殺。在被謀殺的45名婦女中，有40名是被她們的丈夫謀殺的。所以我們說(shuō)，辯方的謬誤與檢察官謬誤剛好相反：他們只使用了先驗(yàn)概率，而忽視了新出現(xiàn)的信息。

貝葉斯定理不僅能夠幫助我們分辨推理中的謬誤，還能告訴我們某些更深刻的東西。借用剛才的一個(gè)詞，“相反”往往是問(wèn)題的關(guān)鍵。通常，統(tǒng)計(jì)學(xué)與概率學(xué)會(huì)告訴我們出現(xiàn)某個(gè)結(jié)果的概率有多大。如果色子沒(méi)被動(dòng)手腳，那“擲3個(gè)色子全是數(shù)字6朝上”這件事，每擲216次才會(huì)發(fā)生1次。如果我從未去過(guò)犯罪現(xiàn)場(chǎng)，那么我的DNA和現(xiàn)場(chǎng)樣本匹配的概率只有三百萬(wàn)分之一。

不過(guò)我們想知道的往往并不是這些。如果我們懷疑一起玩色子的某人是個(gè)老千，那我們可能想知道“如果他擲出了3個(gè)6，那這些色子沒(méi)被動(dòng)手腳的概率有多大”。如果某人的DNA和犯罪現(xiàn)場(chǎng)的樣本匹配上了，那我們或許想知道這是一個(gè)巧合的概率有多大。這些問(wèn)題往往都是一些“相反”的問(wèn)題。

在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間里，概率論所關(guān)心的都是前面那一類問(wèn)題。但是在托馬斯·貝葉斯（后面我們會(huì)介紹他的故事）于18世紀(jì)提出后面的第二類問(wèn)題之后，類似的“反概率”便逐漸引起了世人的注意。

正如你將在本書(shū)中看到的那樣，第二類問(wèn)題總是能夠引發(fā)大量爭(zhēng)論。貝葉斯定理不僅有大量“信徒”，也有很多“敵人”，從沒(méi)有哪個(gè)簡(jiǎn)短的公式能夠像它一樣引發(fā)如此廣泛的爭(zhēng)議。想想看，你在網(wǎng)上見(jiàn)過(guò)有人因?yàn)榍蛎婷娣e公式或歐拉恒等式而吵得不可開(kāi)交嗎？

我認(rèn)為之所以會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象，是因?yàn)樨惾~斯定理幾乎影響著一切事物。在已經(jīng)取得某些研究結(jié)果的情況下，某科學(xué)假說(shuō)為真的概率有多大？好吧，我可以告訴你在該假說(shuō)為假的情況下，你取得這些研究結(jié)果的概率有多大，可二者并不是一回事。為了研究前者——已經(jīng)有越來(lái)越多的科學(xué)家認(rèn)為這才是統(tǒng)計(jì)學(xué)該研究的事情——我們需要貝葉斯定理，需要先驗(yàn)概率。

不僅如此，其實(shí)所有在不確定的情況下做出最終決策的行為，都離不開(kāi)貝葉斯定理。更準(zhǔn)確地說(shuō)，貝葉斯定理代表了理想決策，決策人在多大程度上遵循貝葉斯定理，決定著該決策在多大程度上是一個(gè)正確決策。蘇格拉底憑借“所有人都會(huì)死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底也會(huì)死”建立了完整的形式邏輯，而這其實(shí)也只是貝葉斯定理在“非此即彼”這種極端情況下的一個(gè)特例而已。

人類似乎就是一臺(tái)貝葉斯機(jī)器，這一結(jié)論在相當(dāng)深的層面上是正確的：雖然人類在計(jì)算貝葉斯定理的時(shí)候表現(xiàn)得像個(gè)垃圾，但我們?cè)谌粘Ｉ钪兴龀龅哪切Q定，實(shí)際上和一個(gè)理想的貝葉斯決策者所做出的決定幾乎一致。可惜這并不意味著所有人的決定會(huì)達(dá)成一致——如果我和你對(duì)某件事的先驗(yàn)概率的判斷大相徑庭，那么即便掌握的證據(jù)相同，我們也會(huì)得出完全不同的結(jié)論。這就是我們?cè)诿鎸?duì)氣候、疫苗等證據(jù)確鑿的問(wèn)題時(shí)，仍會(huì)發(fā)自內(nèi)心地出現(xiàn)重大分歧的原因。

在更深的層次上，我們?nèi)匀皇秦惾~斯定理的執(zhí)行者。我們的大腦、感知，似乎都是通過(guò)“預(yù)測(cè)世界—先驗(yàn)概率—通過(guò)感官獲取新數(shù)據(jù)—更新自己的預(yù)測(cè)”這種方式工作的。我們對(duì)世界的意識(shí)體驗(yàn)似乎就是最佳的先驗(yàn)概率。正所謂，我預(yù)測(cè)，故我在。

[1] Scott Alexander, ‘Book Review: Surfing Uncertainty’, Slate Star Codex (2017), https://slatestarcodex.com/2017/09/05/book-review-surf-ing-uncertainty

[2] “每只麻雀的死亡”是《圣經(jīng)》中的典故：人類比麻雀更貴重，所以既然上帝會(huì)留意到每一只麻雀的死亡，那上帝也一定會(huì)關(guān)心每個(gè)人的一舉一動(dòng)。——譯者注

[3] 根據(jù)海森堡不確定性原理，粒子的位置與動(dòng)量不可同時(shí)被確定，因?yàn)槲恢玫牟淮_定性越小，動(dòng)量的不確定性就越大，反之亦然。——譯者注

[4] Nick Collins, ‘Stephen Hawking: Ten pearls of wisdom’, Daily Telegraph (2010), https://www.telegraph.co.uk/news/science/sci-ence-news/7978898/Stephen-Hawking-ten-pearls-of-wisdom.html

[5] 如果真的一個(gè)公式都沒(méi)有，我是不是就能賣出……4本書(shū)了？感覺(jué)也不錯(cuò)。

[6] 原文為nonconformist，即“不從國(guó)教者”，指的是不信奉英格蘭教會(huì)（英格蘭國(guó)教）的新教徒。——譯者注

[7] H. P. Beck-Bornholdt & H. H. Dubben, ‘Is the Pope an alien?’, Nature 381, 730 (1996), https://doi.org/10.1038/381730d0

[8] S. J. Evans, I. Douglas, M. D. Rawlins et al., ‘Prevalence of adult Hun-tington’s disease in the UK based on diagnoses recorded in general practice records’, Journal of Neurology, Neurosurgery & Psychiatry (2013), 84:1156–60.

[9] M. Alexander Otto, ‘FDA Grants Emergency Authorization for First Rapid Antibody Test for COVID-19’, Medscape (2020), https://www. medscape.com/viewarticle/928150

[10] John Redwood, Twitter (2020), https://twitter.com/johnredwood/ status/1307921384883073024

[11] 假定檢測(cè)人數(shù)為100萬(wàn)，其中有1000人確實(shí)感染了新冠病毒，那么該檢測(cè)只能識(shí)別出其中的900名患者。剩下的999000人當(dāng)中，該檢測(cè)將給出9990份假陽(yáng)性報(bào)告。所以拿到陽(yáng)性結(jié)果的人一共有900+9990=10890，真陽(yáng)性的比例只有900/10890，還不到9%。

[12] ‘What should I advise about screening for prostate cancer?’, NICE (2022), https://cks.nice.org.uk/topics/prostate-cancer/diagnosis/ screening-for-prostate-cancer

[13] P. Rawla, ‘Epidemiology of Prostate Cancer’, World J. Oncol. (2019), Apr., 10(2):63–89, doi: 10.14740/wjon1191

[14] H. D. Nelson, M. Pappas, A. Cantor, J. Griffin, M. Daeges & L. Humphrey, ‘Harms of Breast Cancer Screening: Systematic Review to Update the 2009 U.S. Preventive Services Task Force Recommendation’, Ann. Intern. Med. (2016), Feb. 16, 164(4):256–67, doi: 10.7326/M15-0970

[15] ‘Breast screening’, NICE (2022), https://cks.nice.org.uk/topics/breast-screening/

[16] S. Taylor-Phillips, K. Freeman, J. Geppert et al., ‘Accuracy of non-invasive prenatal testing using cell-free DNA for detection of Down, Edwards and Patau syndromes: a systematic review and meta-analysis’, BMJ Open (2016), 6:e010002, doi: 10.1136/bmjopen-2015-010002

[17] 顯然，這未必意味著他只有三十萬(wàn)分之一的概率是無(wú)辜的——就算不是兇手，他的DNA也有可能以某種方式出現(xiàn)在兇器上。

[18] C. Jowett, ‘Lies, damned lies, and DNA statistics: DNA match testing, Bayes’ theorem, and the Criminal Courts’, Medicine, Science and the Law, 41(3) (2001), pp. 194–205, doi: 10.1177/002580240104100302

[19] Steven Strogatz, ‘Chances Are’, New York Times (2010), https://archive. nytimes.com/opinionator.blogs.nytimes.com/2010/04/25/chances-are/

[20] Gerd Gigerenzer, Reckoning with Risk: Learning to Live with Uncer-tainty, Penguin (2003), p. 141.