1.2.1　圓周率π的起源

圓形是生活中最常見(jiàn)的圖形之一。例如，古代中國(guó)的馬車車輪是圓形的，農(nóng)田中也有圓田。為了生產(chǎn)生活的需要，需要對(duì)圓進(jìn)行測(cè)量與計(jì)算，在計(jì)算圓的周長(zhǎng)和面積的過(guò)程中，圓周率π隨之產(chǎn)生。

在《九章算術(shù)》第一章“方田”中，前人提出了“半周半徑相乘得積步”（積步：面積）的方法來(lái)計(jì)算圓的面積。若用S表示圓面積，r表示圓的半徑，即為：。我們驚喜地發(fā)現(xiàn)，前人求圓面積的公式與今天圓面積的公式在形式上完全一致！但如果繼續(xù)閱讀《九章算術(shù)》便會(huì)發(fā)現(xiàn)，在“半周”的計(jì)算上，古人利用的是“周三徑一”的求解方法，即，并非今天人們所熟知的。也就是說(shuō)，最初古人對(duì)圓周率π的認(rèn)識(shí)還不夠精確。據(jù)《隋書》記載，劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗等人都早已發(fā)現(xiàn)了圓周率不夠精確的問(wèn)題，并嘗試解決。其中最受后人推崇的，是劉徽創(chuàng)造性地提出了割圓術(shù)的方法。他從圓內(nèi)接正六邊形起步，通過(guò)分割、求和、再分割等步驟，使正多邊形的面積與圓逐漸相合（圖1.6），這樣就可以利用正多邊形的面積替代圓面積，計(jì)算出更為精確的圓周率。最終，劉徽利用逼近的思想計(jì)算到圓內(nèi)接正3072邊形，得到了π的近似值3.1416。

圖1.6　正多邊形

對(duì)于沒(méi)有計(jì)算器的古人來(lái)說(shuō)，筆算出這個(gè)結(jié)果已經(jīng)很出色了，而南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之，更是著實(shí)讓我們見(jiàn)識(shí)到了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的執(zhí)著與智慧。據(jù)《隋書》記載，祖沖之得到圓周率的結(jié)果是：以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽（該值大于真實(shí)值），朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽（該值小于真實(shí)值），正數(shù)在盈朒二限之間。因此，祖沖之得到圓周率在3.1415926到3.1415927之間。可以發(fā)現(xiàn)，類似于自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位（如個(gè)、十、百、千、萬(wàn)等），祖沖之清晰地表達(dá)了十進(jìn)制的小數(shù)單位——尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，表述到小數(shù)點(diǎn)后七位。由此可見(jiàn)，中國(guó)古代人民對(duì)于小數(shù)的理解和表達(dá)都是深刻的，祖沖之求出的圓周率近似值的精確度，直到一千年后才被西方數(shù)學(xué)家超越。