導言

弗雷格是數理邏輯的創始人和分析哲學的奠基人，然而他的大部分工作都致力于研究一種被稱為邏輯主義的數學哲學。這種哲學把算術還原為邏輯，也就是說，用邏輯符號定義算術符號，從邏輯公理推出算術公理，從而通過邏輯的分析性和先天性來保證算術的分析性和先天性，把算術建立在可靠的基礎上。

為了執行其邏輯主義方案，弗雷格在《概念文字》中設計了一種不同于亞里士多德邏輯和布爾邏輯的新邏輯系統，這個系統實質上是二階邏輯，它不僅包括一階量化，也包括二階量化，還隱含地使用了與概括公理等價的代入規則。概括公理是說，任意可表達公式都可以斷定概念的存在：

?X?x（Xx??（x）） 其中X不在?（x）中自由出現

后來，弗雷格又在《算術基礎》中分析了數的概念，給出了數的定義（包括隱定義和顯定義），并且以非形式化的方式說明如何在概念文字中從數的定義推出數的規律。《算術基本規律》是弗雷格邏輯主義的最終成果，他給出了一個嚴格的形式系統，這個系統實質上是由二階邏輯和第五公理構成的理論。弗雷格在這個系統中推導出了關于自然數的規律。第五公理是說，兩個概念的外延相同當且僅當這兩個概念等價：

εF=εG??x（Fx?Gx）

其中，ε是外延算子。然而，正當弗雷格從關于自然數的規律轉向關于實數的規律時，羅素在弗雷格的系統中發現了悖論。羅素悖論根源于概括公理和第五公理的不一致性。

長久以來，人們一直認為，羅素悖論徹底瓦解了弗雷格的邏輯主義。然而，20世紀80年代，人們發現在弗雷格那里隱藏著一個重要結論：從休謨原則可以推導出算術的規律。休謨原則是說，兩個概念的數相同當且僅當存在這兩個概念之間的一一對應：

#F=#G?F≈G

其中，#是數算子，≈是F和G之間的等數關系。休謨原則和第五公理都被稱為抽象原則，它們具有如下共同形式：

§F=§G?Σ（F，G）

其中，§是抽象算子，Σ（F，G）是F和G之間的等價關系。后來的研究結果表明，休謨原則與二階邏輯是一致的，并且從二者可以推出皮亞諾算術公理。這一結果被稱為弗雷格定理，它引發了新弗雷格主義（也被稱為新邏輯主義或新抽象主義）的興起。人們把由休謨原則和二階邏輯構成的理論稱為弗雷格算術。新弗雷格主義認為，如果弗雷格用休謨原則取代第五公理，就可以實現其邏輯主義方案。然而，弗雷格的目標是為算術奠定認識論基礎，從邏輯規律推出算術規律，從而用邏輯的認識論地位保證算術的認識論地位，即通過邏輯的分析性和先天性保證算術的分析性和先天性。即使成功地把算術公理還原為二階邏輯和休謨原則，仍然需要說明二階邏輯和休謨原則的認識論地位。也就是說，二階邏輯是不是純粹邏輯，休謨原則是否具有分析性和先天性仍然有待進一步論證。與此相關，既然弗雷格本人已經證明了弗雷格定理，那么他本人為什么不放棄第五公理轉而訴諸休謨原則呢？

新弗雷格主義圍繞休謨原則展開了許多爭論，這些爭論主要分為兩類：一類與凱撒問題（Caesar Problem）相關，另一類與良莠不齊反駁（Bad Company Objection）相關。凱撒問題是說，如何確定任意對象（例如，凱撒）是不是一個數。如果對象a形如#F，則根據休謨原則可以確定a是否與某個概念的數相同；否則，不能確定a是否與某個概念的數相同。良莠不齊反駁是說，如何把可接受的抽象原則與不可接受的抽象原則區別開來。休謨原則與二階邏輯是一致的，所以它是合理的抽象原則。但是，第五公理與二階邏輯是不一致的，所以它不是合理的抽象原則。

從弗雷格的邏輯主義到新弗雷格主義或新邏輯主義的發展過程表明，弗雷格的思想并沒有過時，他的工作在當代哲學和邏輯研究中仍然具有舉足輕重的意義。本書將對弗雷格的邏輯主義進行系統性研究，以當代新弗雷格主義及其相關爭論為出發點，還原弗雷格本人的邏輯主義思想。除第一章（從邏輯到算術）作為預備性的知識介紹外，全書可以概括地劃分為三個部分。第一部分是歷史性工作，主要圍繞弗雷格的三本著作展開，用現代邏輯符號重構出弗雷格本人的公理、規則、定義和定理。這部分內容包括第二章（《概念文字》中的形式證明）、第三章（《算術基礎》中的形式證明）和第四章（《算術基本規律》中的形式證明）。第二部分是技術性工作，主要圍繞羅素悖論展開，分別針對第五公理和概括公理給出避免羅素悖論的方案。這部分內容包括第五章（改變抽象原則）、第六章（區分抽象原則）、第七章（限制經典邏輯）和第八章（修正經典邏輯）。第三部分是哲學性工作，主要圍繞凱撒問題展開，分別討論數、外延、真值以及涵義在弗雷格邏輯和哲學中的重要作用。這部分內容包括第九章（凱撒與數）、第十章（凱撒與外延）、第十一章（真值問題）和第十二章（涵義問題）。

下面簡述各章內容。

第一章（從邏輯到算術）介紹與二階邏輯和二階算術相關的背景知識。第一節介紹二階邏輯的語言、演繹系統、語義和元理論。對一階邏輯進行擴張可以得到自由變元邏輯、標準二階邏輯和分支二階邏輯。二階邏輯的語義包括標準語義和非標準語義（亨金語義和一階多類語義）。第二節介紹一階算術與二階算術的分層，包括Robinson算術、Nelson-Wilkie算術、Kalmar算術、Gentzen算術、Grzegorczyk算術、Parsons算術、Ackermann算術、一階算術、直謂算術、非直謂算術、二階算術等。

第二章（《概念文字》中的形式證明）用現代邏輯的符號重構出弗雷格在《概念文字》中的主要結論及其證明過程。《概念文字》第三部分的主要內容是證明命題98和命題133。命題98是說，如果在f序列中y在x之后，并且在f序列中z在y之后，則在f序列中z在x之后。可以不嚴格地把命題98表述為：

x＜y→（y＜z→x＜z）

命題133是說，如果步驟f是多對一的，并且m和y在f序列中在x之后，則y屬于以m為起點的f序列，或者y在f序列中在m之前。可以不嚴格地把命題133表述為：

x＜m→（x＜y→y＜m∨m≤y）

弗雷格的目的是，在純粹邏輯的基礎上證明這兩個通常看來必須依賴于直觀才能證明的命題。

第三章（《算術基礎》中的形式證明）用現代邏輯的符號重構出弗雷格在《算術基礎》中的主要結論及其證明過程。《算術基礎》第四章第三部分（§§70-83）的主要內容是證明任何一個自然數后面都跟隨另一個自然數。首先，弗雷格定義了等數關系（一一關聯）、后繼關系（在數序列中緊跟著）、強祖先關系（在數序列中后于或先于）和弱祖先關系（屬于以某個數為起點或終點的序列）。然后，根據這些定義，弗雷格證明了皮亞諾算術中的后繼公理，即任何數都在數序列中被另一個數緊跟著。也就是說，在數序列中不存在最大數。這個證明過程實質上是把屬于“在數序列中先于n”這個概念的數看作在數序列中緊跟著n的數。

第四章（《算術基本規律》中的形式證明）用現代邏輯的符號重構出弗雷格在《算術基本規律》中的公理、規則、定義和定理。《算術基本規律》包括六條公理，分別是關于否定、蘊涵、量詞、等詞、值域（外延）和定冠詞的公理；也包括一系列推理規則，如子部分互換規則、假言易位規則、子部分合并規則、從羅馬字母到德文字母的轉換規則、第一推理規則、第二推理規則、第三推理規則、羅馬字母的代入規則、德文字母改寫規則、希臘元音字母改寫規則等；還包括一系列定義，如應用算子、雙值域的多對一性、雙值域的多對一關聯性、雙值域的逆、數算子、0、1、后繼關系的雙值域、強祖先關系的雙值域、弱祖先關系的雙值域、無窮數、序對等。在《算術基本規律》第二部分“自然數規律的證明”中，弗雷格一共證明了484個關于自然數的定理，主要有休謨原則、后繼關系的雙值域的多對一性、后繼關系的逆的雙值域的多對一性、關于0的規律、關于1的規律、關于有窮數的規律、關于計數的規律、關于無窮數的規律等。

既然羅素悖論的根源是概括公理與第五公理的沖突，或者是二階邏輯與抽象原則的沖突，那么避免羅素悖論的方案大致可以劃分為兩類：一類是讓抽象原則順從于二階邏輯，通過弱化抽象原則來避免悖論；另一類是讓二階邏輯順從于抽象原則，通過弱化二階邏輯來避免悖論。本書第五章和第六章考慮前一類方案，第七章和第八章考慮后一類方案。

第五章（改變抽象原則）主要評述三種通過改變抽象原則來避免羅素悖論的方案。第一種方案是弗雷格本人提出的，他建議把第五公理修改為：

εF=εG??x（x≠εF∧x≠εG→（Fx?Gx））

這個方案是弗雷格在遭遇羅素悖論后提出的補充方案，但后來的研究表明，這個方案并不能避免羅素悖論。第二種方案是用休謨原則替代第五公理。休謨原則是弗雷格本人提出的，但他并沒有用休謨原則替代第五公理，萊特在弗雷格的《算術基礎》中重新發現了休謨原則，由此提出了所謂新弗雷格主義。第三種方案是布勒斯提出的，他建議把第五公理修改為新公理：

*F=*G?（Small（F）∨Small（G）→?x（Fx?Gx））

布勒斯證明新公理與二階邏輯是一致的。

第六章（區分抽象原則）主要評述良莠不齊問題。第五公理、休謨原則和新公理都是抽象原則，既然有些抽象原則與二階邏輯一致，有些抽象原則與二階邏輯不一致，那么是否存在一個標準，能夠把好的抽象原則與壞的抽象原則區別開來，這就是所謂良莠不齊問題。新弗雷格主義者提出了一系列區分抽象原則的標準，如一致性、保守性、穩定性等。雖然這些標準極大地深化了我們對抽象原則的理解，但是這些標準都面臨著已知的或潛在的反例的挑戰，都沒能最終解決良莠不齊問題。筆者認為，弗雷格邏輯主義的實質是從第五公理（概括或外延的規律）推出休謨原則（數的規律），用休謨原則取代第五公理的做法違背了弗雷格的基本精神，所以筆者從改變抽象原則的方案轉向限制二階邏輯的方案。

第七章（限制經典邏輯）主要討論三種通過限制二階邏輯的概括公理來避免羅素悖論的方案。第一種方案是直謂概括公理，這是由新弗雷格主義者提出的。筆者的工作是揭示出直謂概括公理的局限性，即從直謂概括公理與公理版本的第五公理不能推出休謨原則。第二種方案是正概括公理，這是筆者在司寇倫等人工作的基礎上提出的。雖然目前看來正概括公理還不足以實現弗雷格的邏輯主義方案，但筆者認為，在突破某些技術性瓶頸之后，這個方案的未來前景是光明的。第三種方案是分層概括公理，這是筆者在蒯因等人工作的基礎上提出的。雖然與前兩種方案相比這個方案可以推出更多的數學內容，但是由于一階分層概括的一致性問題尚未解決，二階分層的一致性仍然是一個開放問題。

第八章（修正經典邏輯）主要討論在非經典邏輯的背景下如何避免羅素悖論。在弗雷格的邏輯系統中，他使用了三個邏輯常項，即否定、蘊涵和全稱量詞。通過改變這三個邏輯常項的意義，我們可以從經典邏輯得到非經典邏輯。例如，把二值否定修正為三值否定，由此得到多值邏輯；把實質蘊涵修正為嚴格蘊涵，由此得到模態邏輯；把有存在預設的量化修正為無存在預設的量化，由此得到自由邏輯。為了避免羅素悖論，本章給出了兩種非經典邏輯方案，一種是基于三值原則的弗協調邏輯方案，另一種是基于嚴格蘊涵的模態邏輯方案。雖然這兩種方案都可以避免羅素悖論，但是由于非經典邏輯的有限推理能力，這些非經典邏輯方案都不足以推出有實質內容的數學理論。

為數學奠定基礎是弗雷格的哲學理想，在他執行邏輯主義方案的過程中還伴隨著早期對心理主義的批判以及晚年的第三域思想。雖然晚年的弗雷格認識到其邏輯主義的失敗，但他仍然堅信數學和邏輯的客觀性。他所設定的第三域不僅包括真值和外延，也包括數和涵義。他認為，這些東西雖然不存在于物理世界，但仍然具有客觀性。本書第九章至第十二章分別討論數、外延、真值和涵義。

第九章（凱撒與數）主要討論與數相關的凱撒問題。弗雷格放棄了用休謨原則取代凱撒問題，其根本原因是休謨原則不能解決凱撒問題。凱撒問題是說，休謨原則不能確定任意一個對象是不是一個數。本章詳細考察了弗雷格在給出數的定義時如何提出凱撒問題，在此基礎上評述了各種解決凱撒問題的方案，包括萊特的方案、赫克的方案、林奈博的方案、烏茲奎亞納的方案和庫克的方案，也包括筆者的解決方案。但筆者認為，如果從弗雷格的角度看，這些解決方案都不能令人滿意，這似乎使得凱撒問題成為不可解的謎題。然而，無論如何，從當代哲學的視角看，凱撒問題深化了我們對形而上學、認識論和語義學的理解，在筆者看來，甚至當代分析哲學許多熱點問題都在某種程度上體現了凱撒問題。

第十章（凱撒與外延）主要討論與外延相關的凱撒問題。新弗雷格主義者認為，雖然休謨原則不能解決凱撒問題，但是第五公理也不能解決凱撒問題。也就是說，第五公理不能確定任意一個對象是不是一個外延。針對這個責難，筆者詳細考察了弗雷格關于公理和定義的論述，在此基礎上論證了如下觀點：根據弗雷格的公理觀和定義觀，他把第五公理看作公理，作為公理的第五公理并不面臨凱撒問題的挑戰，但是休謨原則無論作為公理還是作為定義都不能回避凱撒問題的挑戰。筆者認為，第五公理并不是關于外延的公理，而是關于概念的公理。為此，筆者詳細考察了弗雷格的概念觀，特別是他關于概念來源以及概念同一性標準的看法。

第十一章（真值問題）主要討論弗雷格的真理論。“真”是一個語義概念，但弗雷格本人并沒有在嚴格意義上發展出塔斯基所建立的形式語義學。在當代真理論關于緊縮論與膨脹論之間的爭論中，許多學者把弗雷格和塔斯基看作緊縮論的先驅。但筆者認為這是一種誤解。實際上，從弗雷格的相關論述本身并不能得出緊縮論，從塔斯基的真定義本身也不能得出緊縮論。與此同時，在對當代多元真理論進行批判考察的基礎上，筆者認為，以多元真理論為代表的膨脹論并不是真正的實質真理論，它們面臨著與凱撒問題類似的混合問題的挑戰。雖然弗雷格本人并沒有親自看到塔斯基的真定義，但筆者認為，弗雷格或許對這個定義采取有限度的認可態度。最后，從弗雷格的視角出發，在融合塔斯基真理論的基礎上，筆者提出了一種新的真理論，即分層真理論。

第十二章（涵義問題）主要討論弗雷格的涵義理論。弗雷格認為，名稱既有指稱也有涵義。由此他被看作語言哲學中描述理論的先驅。但是描述理論遭到以克里普克為代表的指稱理論的激烈批評，指稱理論認為名稱只有指稱，沒有涵義。在數學哲學中，弗雷格通過概念的分層以及外延的迭代來說明可數無窮多個數的存在。與此類似，在語言哲學中，在間接引語中所發生的指稱轉移現象也導致涵義的迭代，這在文獻中被稱為涵義無窮分層問題。本章首先簡要回顧卡爾納普、戴維森、達米特、卡普蘭、丘奇以及伯奇關于涵義無窮分層問題的觀點，在此基礎上詳細考察了克里普克對這個問題的解決方案。筆者的觀點是，克里普克的方案是對弗雷格的誤解，實際上，在弗雷格那里根本不存在涵義無窮分層問題。筆者從弗雷格本人關于涵義的論述出發，利用演繹定理，給出了一種消解涵義無窮分層問題的方案。

從整體上看，除了預備性的知識介紹（第一章）以及歷史性的鋪墊工作（第二章至第四章）外，本書主要由兩大部分構成：邏輯部分（第五章至第八章）和哲學部分（第九章至第十二章）。從表面上看來，本書的邏輯部分所面對的核心問題是，如何在避免悖論的前提下找到一種解決方案從而實現弗雷格的邏輯主義。本書不僅回顧了已有的解決方案（例如，休謨原則和直謂邏輯），而且給出了一些新的方案（例如，正邏輯和分層概括）。然而，這些方案都不能完美地實現弗雷格的邏輯主義：要么這些方案的一致性是尚未解決的開放性問題，要么這些方案本身不能推導出足夠多的算術內容。羅素悖論的解決并不是一個簡單的問題，它是困擾整個20世紀數學哲學的難題。雖然從純粹一致性角度考慮，人們可以提出許多解決羅素悖論的方案，但是也付出了沉重的代價，要么其所修改的非邏輯公理具有特設性，要么其所修改的邏輯系統變得非常弱，以至于偏離了通常意義上的數學推理。實際上，本書所提出的各種各樣的解決羅素悖論的方案并不是為了實現邏輯主義，而是為了指明，羅素悖論的解決依賴于固定點定理（又稱為不動點定理）。換言之，構造羅素悖論的對角線定理與消解羅素悖論的固定點定理是一個問題的兩個方面。也就是說，人們多大程度上能夠完美地消解羅素悖論取決于人們在多大程度上理解和運用固定點定理。

例如，羅素悖論所依賴的對角線結構來源于康托定理。康托定理是說，一個集合A的基數與其冪集的基數是不相等的，或者說，不存在和A之間的一一對應，即。而羅素悖論的消解取決于是否能夠繞開這種對角線結構。如果把限制為它的真子集，則有可能找到′和A之間的一一對應，即。固定點定理恰好斷言，滿足什么樣條件的函數存在固定點，即f（x）=x。如果把看作函數f，把等數（≈）看作相等（=），那么羅素悖論的消解實質上是尋找固定點，也就是說，與f（x）=x具有相同的形式。本書所給出的二階正邏輯方案以及二階多值邏輯方案都依賴于完備度量空間上的巴拿赫固定點定理。

本書的哲學部分是以凱撒問題為核心而展開的。從表面上看來，凱撒問題是說，如何區分（作為日常對象或具體對象的）凱撒與（作為數學對象或抽象對象的）數，這是弗雷格在《算術基礎》一書中針對休謨原則而提出的。然而，凱撒問題并不僅僅與數有關，還與任何弗雷格式的通過抽象主義方式把數學還原為邏輯的方案有關。弗雷格為數學奠定基礎的做法實際上是建立一種數學本體論，與此同時，通過數學公理來實現這種數學本體論的認識論通達。也就是說，通過數學公理給出通達數學對象的同一性標準，換言之，數作為數學對象究竟是不是凱撒。因此，弗雷格需要以凱撒這樣的具體對象為參照系，來考察數學對象與具體對象的同一和差異。弗雷格在執行邏輯主義的還原方案時，又試圖通過邏輯的本體論為數學本體論奠定基礎，與此同時，通過邏輯公理來實現這種邏輯本體論的認識論通達。也就是說，通過邏輯公理給出通達邏輯對象的同一性標準，換言之，外延作為邏輯對象究竟是不是凱撒。因此，弗雷格仍然需要以凱撒這樣的具體對象為參照系，來考察邏輯對象與具體對象的同一和差異。弗雷格不僅把數學對象還原為邏輯對象，而且把邏輯對象還原為概念，也就是說，數（作為數學對象）是由外延（邏輯對象）定義出來的，而外延（邏輯對象）是從概念本身派生出來的。至于究竟什么是概念，弗雷格認為，這是自明的，無須多言，有什么樣的概念觀就具有什么樣的邏輯觀，整個“概念文字”的邏輯系統就是建立在弗雷格概念觀的基礎上的。由此可見，弗雷格最終把數學本體論和邏輯本體論都奠基于概念本體論。

除了數和外延，真值與涵義也是弗雷格第三域中的成員，所以在派生的意義上，真值與涵義也與凱撒問題有關，不僅需要考察凱撒與真值的同一與差異，而且需要考察凱撒與涵義的同一和差異。本書把真值問題和涵義問題與當代哲學中的爭論緊密結合起來。首先，當代真理論仍然面臨著弗雷格真理論所面臨的問題。對于弗雷格來說，如果真值是抽象對象，那么如何把真值（作為抽象對象）與凱撒（作為具體對象）區分開來？對于當代真理論來說，真值到底是抽象的、單一的空洞性質還是具體的、多重的實質性質？如果是后者，那么如何判定涉及不同論域的陳述的真值？例如，“凱撒是不是數”這個陳述既涉及日常論域也涉及數學論域，這就是當代多元真理論中的混合問題。由此可見，混合問題其實是凱撒問題的延伸。在這個意義上，多元真理論不僅不外在于弗雷格的凱撒問題，反而與之緊密相關。其次，當代分析哲學所爭論的涵義無窮分層問題也與凱撒問題有關。雖然本書并沒有直接討論涵義與凱撒的同一與差異，但是涵義在特定語境中的同一識別問題是所有關于涵義問題爭論的焦點，不論是弗雷格之謎還是信念之謎，都與涵義的同一識別標準有關。在分析哲學發展史上，涵義的語法解讀和認知解讀是兩大傳統，本書所提出的邏輯解讀是在語法解讀的基礎上發展起來的。語法解讀和邏輯解讀是根本不同的：前者依賴于表達式的遞歸形成規則，只要兩個表達式是由不同的符號構成的，那么這兩個表達式的語法涵義就是不同的；后者依賴于公理系統或演繹系統，即使兩個表達式是由不同符號構成的，但是只要它們相對于特定推理系統是等價的，那么它們的邏輯涵義仍然是相同的。