1 傳統和現代景氣指數的計算方法

經濟周期波動是通過一系列經濟活動來傳遞和擴散的，任何一個經濟變量本身的波動過程都不足以代表宏觀經濟整體的波動過程。因此，為了正確地測定宏觀經濟波動狀況，必須綜合考慮生產、消費、投資、貿易、財政、金融、企業經營、就業等各領域的景氣變動及相互影響。經濟繁榮和衰退可以通過不同部門經濟變量的時間序列得到反映，因此可以選取與經濟周期波動密切相關的一組重要經濟指標，用數學方法合成為經濟景氣指數，作為觀測宏觀經濟波動的綜合尺度，這是合成指數方法的基本思想。NBER開發的經濟周期先行、一致和滯后合成指數，被一直使用至今，用來刻畫經濟狀態和描述未來發展動向，對衰退和復蘇做出預測。

1.1 合成指數的計算方法

目前國際上使用的合成指數計算方法有三種，分別為美國NBER方法、OECD方法和日本經濟企劃廳調查局的方法，本文所使用的方法與NBER合成指數計算方法一致[2]。設指標Yit為第i個指標；i=1，2，…，k，n為樣本個數；t表示時間。首先對Yit求對稱變化率Cit：

為了防止變動幅度大的指標在合成指數中取得支配地位，各指標的對稱變化率Cit都被標準化，使其平均絕對值等于1。首先求標準化因子Ai：

用Ai將Cit標準化，得到標準化變化率Sit：

Sit=Cit/Ai，t=2，3，…，n　　　　　　（3）

求出一致指標組的每個時點的綜合變化率Rt：

其中，wi是第i個指標的權數，可以使用等權，即wi=1。最終制成以基準年份為100的合成指數，令CI1=100，則

1.2 動態因子模型和SW景氣指數

在計算景氣指數方面，動態因子模型（Dynamic Factor Model）得到廣泛應用。Stock和Watson（1989）認為，宏觀經濟變量的變化存在一個共同的成分，這一因素可由一個不可觀測的基本變量來體現，這一基本變量代表了總的經濟狀態，它的波動才是真正的景氣循環。他們利用動態因子模型，構造了捕捉經濟變量之間協同變化的共同成分，這一不可觀測的基本變量被稱為Stock-Waston型景氣指數，簡稱SW景氣指數。由于SW景氣指數是建立在嚴密的數學模型基礎上，所以和CI等傳統的景氣循環的測定方法相比有了很大的進步。Stock和Watson構建景氣指數的方法在理論界得到了廣泛的關注和發展，各國政府和研究機構也紛紛利用這種方法開發出了新的景氣指數。

1.2.1 動態因子模型形式

Δyit=γi（L）Δct+uit，i=1，2，…，k　　　　　　（6）

φ（L）Δct=εt　　　　　　（7）

ψi（L）uit=υit　　　　　　（8）

其中，γi（L），?（L），ψi（L）分別為pi，q，ri階滯后算子多項式。Δyit代表第i個一致經濟指標Yit的差分序列減均值，它由共同成分的差分Δct的當期和滯后期的線性組合與特殊成分uit構成，εt和υit彼此獨立且服從正態分布，k為一致經濟指標的個數。這里的ct是我們最為關心的反映景氣狀態的SW景氣指數。式（6）是因子模型的形式，它與分別描述了共同因子的動態行為和各個特殊成分的動態行為的式（7）和式（8），共同構成了動態因子模型。

1.2.2 狀態空間模型形式

式（6）～式（8）構成的模型中包含不可觀測變量ct，若要對這樣的模型進行估計，需要將其寫成狀態空間模型的形式。狀態空間模型建立了可觀測變量和不可觀測的狀態變量之間的關系，通過可觀測變量估計狀態變量。狀態空間模型的一般形式為：

量測方程：

yt=Ztαt+dt+εt　　　　　　（9）

狀態方程：

αt=Ttαt-1+Rtηt，t=1，…，T　　　　　　（10）

在量測方程中，yt是包含k個經濟變量的可觀測向量，αt為狀態向量，t=1，2，…，T，T表示樣本長度，Zt是k×m參數矩陣，dt是k×1向量，εt是k×1向量，是均值為0，協方差矩陣為Ht的連續的不相關擾動項。在式（10）描述的狀態方程中，Tt是m×m參數矩陣，Rt是m×g系數矩陣，ηt是g×1向量，是均值為0，協方差矩陣為Qt的連續的不相關擾動項。在所有的時間區間上，擾動項εt和ηt是相互獨立的。量測方程中的矩陣Zt，dt，Ht表示量測方程誤差項的方差協方差矩陣，Qt表示轉移方程誤差項的方差協方差矩陣。轉移是不是“狀態”？

1.2.3 動態因子模型的狀態空間形式

經過適當地定義，式（6）～式（8）可以表示成狀態空間模型的形式。在本文后面的實證分析中，狀態空間模型形式為：

量測方程：

狀態方程：

將動態因子模型表示成狀態空間模型形式時，每個指標的特殊成分uit是狀態變量，因此，量測方程（11）中并不含有狀態空間模型標準形式（9）中的隨機擾動項。狀態空間模型用通常的估計方法進行估計是不可能的，狀態空間模型要利用強有效的遞歸算法——Kalman濾波來進行估計。