- 深度學習與大模型基礎
- 段小手
- 3377字
- 2025-03-27 18:19:09
2.1 標量、向量、矩陣與張量
2.1.1 什么是標量
標量是指只有大小沒有方向的物理量或數值。在數學中, 標量通常用實數表示, 而在物理學中, 標量可以表示質量、溫度、時間等只有大小沒有方向的量。
用生活中的例子來說, 你在超市里買了一瓶可樂, 而這瓶可樂上寫著“ 500mL”。咦, 這個數字好像就是一個標量! 沒錯, 標量就是表示只有大小但沒有方向的數字或度量單位, 就像圖2-1所示的這樣。
可樂的那個例子太簡單了, 再舉一個吧: 比如說, 你知道自己每分鐘可以跑100米, 那這個數字也是一個標量哦! 因為它只描述了你的速度大小, 卻沒有說明你朝著哪個方向奔跑。

圖2-1 生活中的標量
諸如此類的標量還有很多很多。比如, 我們經常會聽到氣溫、血壓、身高等數值, 它們都是標量。雖然說它們有時候會有點單調, 但是在生活中它們可是非常重要的!
總之, 標量就是一個純粹的數字, 它只能用來表示大小, 而無法表示方向。不過別看它單調, 生活中卻隨處可見, 你想想看, 如果沒有標量, 我們怎么知道自己高矮胖瘦呢?
原理輸出2. 1
為了幫助大家更好地理解和消化標量的概念, 請大家按照前言中的方法錄制一個長度約為2分鐘的短視頻, 介紹什么是標量。
小貼士
可以參考的ChatGPT提示詞如下。
“請簡要介紹什么是標量。”
“請結合生活中的例子, 介紹標量的概念。”
“假設你是一位大學老師, 請用輕松易懂的語言向學生講解標量。”
實操練習2. 1
為了讓大家可以用代碼的形式學習標量的概念, 接下來大家可以讓ChatGPT生成代碼演示標量, 并在Colab新建一個Notebook文件運行這些代碼。
小貼士
要讓ChatGPT生成代碼, 可以參考的提示詞如下。
“請用Python演示什么是標量, 需要可視化。”
“用Python可視化的方法演示什么是標量。”
2.1.2 什么是向量
向量是一個有大小和方向的數學對象, 通常用于描述空間中的物理量, 如力、速度和位移等。在二維空間中, 向量可以表示為具有兩個分量 ( x和y) 的有序數組或坐標對。在三維空間中, 向量可以表示為具有三個分量 ( x、 y和z) 的有序數組或坐標三元組。向量的長度稱為模或大小, 方向由它所指的位置決定。向量的運算包括加法、減法、數量積和向量積等, 這些運算可以幫助我們計算物理量的變化和相互作用, 也是許多科學和工程領域中重要的數學工具。
用大白話來講, 向量其實就是“有方向的數字”, 生活中有很多可以說明這個概念的例子。它就像我們日常生活中的箭頭一樣, 例如玩飛盤, 如果你把飛盤扔出去, 它就會像一只飛翔的鳥一樣一路飛行, 最后落到某個地方。那么, 在這個過程中, 我們可以畫一個箭頭, 即從你手里開始一直指向飛盤落地的地方, 就像圖2-2所示的這樣。
這個箭頭, 也就是從你手里到飛盤落地點的有向線段, 就是一個向量。
再舉一個例子, 想象一下你要開車去旅游。在道路上行駛時, 我們經常需要調整方向。此刻, 你的車正朝北行駛, 但是你突然發現前面有一個山峰擋住了你的去路, 于是你需要調整方向, 往南或者往東或者往西。這個時候, 你的調整方向的動作, 就是一個向量。
總而言之, 向量就是一個帶有方向和大小的“箭頭”, 可以用來描述空間中的任何東西, 比如力、速度、加速度等。

圖2-2 向量是“有方向的數字”
原理輸出2. 2
為了幫助大家更好地理解和消化向量的概念, 請大家在ChatGPT的幫助下, 錄制一個長度約為2分鐘的短視頻, 介紹什么是向量。
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可以參考的ChatGPT提示詞如下。
“請簡要介紹什么是向量。”
“請結合生活中的例子, 介紹向量的概念。”
“假設你是一位大學老師, 請用輕松易懂的語言向學生講解向量。”
實操練習2. 2
為了讓大家可以用代碼的形式學習向量的概念, 接下來大家可以讓ChatGPT生成示例代碼, 并在Colab新建一個Notebook文件運行這些代碼。
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要讓ChatGPT生成代碼, 可以參考的提示詞如下。
“請用Python演示什么是向量, 需要可視化。”
“用Python可視化的方法演示什么是向量。”
2.1.3 什么是矩陣
矩陣是一個由數字或符號排列成的矩形數組。矩陣中的每個數字或符號稱為元素。矩陣可以用來表示線性方程組、向量和線性變換等數學概念, 因此在數學、物理、工程、計算機科學等領域都有廣泛應用。矩陣通常用大寫字母表示, 例如A、 B、 C等。一個n行m列的矩陣可以表示為一個n×m的矩陣。其中,n表示矩陣的行數,m表示矩陣的列數。矩陣中的元素可以用下標來表示, 如Aij表示矩陣A中第i行第j列的元素。
下面我們用生活中的例子介紹什么是矩陣。假設你想要坐在數學課上的前排座位, 但老師告訴你只有一些位置是空著的, 有一些位置已經被其他同學占了。你可以把這些位置放到一個表格里, 每個位置都有一個行號和列號。這個表格就是一個矩陣, 就像圖 2-3 所示的這樣。

圖2-3 教室里的座位可以看成是一個“矩陣”
現在你可能會問: “那這個矩陣有什么用呢?”其實矩陣不僅僅是一個表格, 它還能幫助我們解決很多問題。例如, 你想知道這個班級男生和女生的人數, 你可以把男生和女生分別放到兩個不同的矩陣里, 然后對每個矩陣的行數求和, 就能得到男生和女生的總人數。
更進一步地, 矩陣還可以用來描述一些復雜的變化。比如說, 你拿了一個紙片, 把它旋轉了一下, 然后又壓扁了一下, 最后變成了一個新的圖形。這個變化過程就可以用一個矩陣來表示, 這個矩陣叫作變換矩陣。這樣, 我們就可以用矩陣來描述任何一個圖形的旋轉、縮放、平移等變換。
當然, 矩陣并不只在數學中有用, 在計算機科學、物理學、經濟學等領域也都有廣泛的應用。所以說, 學習矩陣是非常重要的!
原理輸出2. 3
為了幫助大家更好地理解和消化矩陣的概念, 請大家在ChatGPT的幫助下, 錄制一個長度約為2分鐘的短視頻, 介紹什么是矩陣。
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“假設你是一位大學老師, 請用輕松易懂的語言向學生講解什么是矩陣。”
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為了讓大家可以用代碼的形式學習矩陣的概念, 接下來大家可以讓ChatGPT生成代碼演示矩陣, 并在Colab新建一個Notebook文件運行這些代碼。
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2.1.4 什么是張量
張量是一種數學對象, 可以用來表示在向量、矩陣等數學結構的基礎上進行推廣的多維數據。它是具有特定變換規則的多重線性映射, 可以被視為向量和矩陣的推廣。在機器學習中, 張量通常是指由數字組成的多維數組, 例如, 一個二維張量可以被認為是一個矩陣, 而一個三維張量可以被認為是一個立方體或者多個矩陣疊加而成的堆積。張量在深度學習領域中被廣泛應用, 因為它可以有效地存儲和處理大量的數據, 并且通過張量運算可以實現很多機器學習算法。
回到日常生活中, 可以發現一件物品有很多的屬性, 比如說, 一個水杯可以有不同的顏色、形狀、大小和重量等。在我們的生活中, 很多東西都是由許多基本屬性組成的。
那么, 這些屬性又是如何描述和組合起來的呢? 這時候就需要用到張量了! 你可以把它看作一個特殊的數據結構, 可以用來表示任何數量的屬性。就像我們的水杯, 每個水杯都有不同的屬性值, 例如: 它的顏色可以是紅色、綠色或藍色; 它的大小可以是大杯、中杯或小杯; 它的形狀可以是圓形、方形或心形。你可以用一個三維張量來表示這個水杯的屬性, 其中第一維代表顏色, 第二維代表大小, 第三維代表形狀, 就像圖2-4所示的這樣。

圖2-4 張量可以用來描述物品的多種屬性, 例如大小、顏色、形狀等
現在你可能會問: 那么為什么要使用張量呢? 其實很簡單, 因為張量可以更好地描述數據之間的關系。如果我們只是用單一的數值來描述一個物品, 那么可能無法準確反映出它真正的特性。但是如果使用張量, 我們就可以更好地捕捉到物品屬性之間的關系, 從而更好地理解它們。
總之, 張量就像是我們日常生活中的一種數據結構, 能夠幫助我們更好地理解和描述世界。無論是在科學、工程還是其他領域, 它都扮演著非常重要的角色。所以, 如果你想成為一個真正的數據科學家, 了解張量將會是一個非常好的開端!
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為了幫助大家更好地理解和消化張量的概念, 請大家在ChatGPT的幫助下, 錄制一個長度約為2分鐘的短視頻, 介紹什么是張量。
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“用Python可視化的方法演示什么是張量。”