第一卷
平面幾何基礎

·BookⅠ.Fundamentals of Plane Geometry·

第一次看到這本書就驚為天人……一個人當他最初接觸歐幾里得幾何學時，如果不曾為它的明晰性和可靠性所感動，那么他是不會成為一個科學家的。

——愛因斯坦

第一卷　內容提要

（譯者編寫）

這是開宗明義的首卷，十分重要。第一卷包含了公理、公設和平面幾何的主要定義。對之用圖表的形式總結于圖1.1和圖1.2，讀者可以由此得到一個簡明扼要的概念，但務請仔細閱讀原文以便獲取嚴格的陳述和細節。

第一卷的48個命題可以分為四部分，如表1.1所示。陳述了平面幾何的基本概念和結果。本卷的最重要結果是第四部分，勾股定理及逆定理，命題Ⅰ.47與Ⅰ.48。前三部分在一定程度上都為它們作了鋪墊，見圖1.3。

定義

1.點是無部分之物。

2.線是無寬之長。

3.線之端是點。

4.直線是點在其上平坦放置之線。

5.面是只有長與寬之物。

6.面之邊緣是線。

7.平面是直線在其上平坦放置之面。

8.平面角是一個平面中不在一條直線上的兩條相交線之間的傾斜度。

9.若夾一個角的兩條線皆為直線，則這個角稱為直線角。

10.若一條直線立在另一條直線上所成二鄰角彼此相等，則每一個相等的角都是直角，并稱前一條直線垂直于后一條直線。

11.大于直角之角是鈍角。

12.小于直角之角是銳角。

13.邊界是某物之邊緣。

14.圖形是一條或多條邊界圍成之物。

15.圓是一條線[稱為圓周]圍成的平面圖形，由圖形內一點[向圓周]輻射得到的所有線段彼此相等。

16.該點稱為圓的圓心。

17.圓的直徑是過圓心所作在每個方向上都終止于圓周的任意線段，任何這樣的線段把圓等分為兩半。[10]

18.半圓是直徑及它截取的圓弧圍成的圖形。半圓的中心與圓的圓心相同。

19.直線圖形由直線段圍成，三角形由三條線段圍成，四邊形由四條線段圍成，多邊形由四條以上線段圍成。

20.在三角形中，有三條相等邊的是等邊三角形，只有兩條相等邊的是等腰三角形，有三條不相等邊的是不等邊三角形。

21.在三角形中還有，有一個直角的是直角三角形，有一個鈍角的是鈍角三角形，以及有三個銳角的是銳角三角形。

22.在四邊形中，直角的且等邊的是正方形，直角的但不等邊的是矩形，不是直角的但等邊的是菱形，對邊相等且對角相等，但既不等角又不等邊的是長斜方形[11]。除此之外的四邊形都稱為不等邊四邊形。

23.平行線是這樣一些直線，它們在同一平面中，可在每個方向無限延長，但在任一方向上彼此都不相交。

公設

1.由任意點至任意點可以作一條直線。

2.有限長直線可以在直線上持續延長。

3.以任意中心點及任意距離可以作一個圓。

4.所有直角彼此相等。

5.若一條直線與另外兩條直線相交，且在其同一側所成二內角之和小于兩個直角，則這另外兩條直線無限延長后在這一側，而不在另一側相交。[12]

公理

1.等于同一物之物彼此相等。

2.若把相等物加于相等物，則所成之全體相等。

3.若由相等物減去相等物，則剩余物相等。

4.彼此重合之物相等。

5.整體大于部分。

命題1

在給定線段上作等邊三角形。

設AB是給定線段。

故要求的是在線段AB上作一個等邊三角形。

以A為圓心及AB為半徑作圓BCD[公設3]，又以B為圓心及BA為半徑作圓ACE[公設3]。并由兩個圓的交點C至點A，B分別連線CA，CB[公設1]。

由于點A是圓CDB的圓心，AC等于AB[定義 Ⅰ.15]。再者，由于點B是圓CAE的圓心，BC等于BA[定義 Ⅰ.15]。但已證明CA等于AB。因此，CA，CB每個都等于AB。但等于同一物之物彼此相等[公理1]。因此，CA也等于CB。于是，三條線段CA，AB，BC彼此相等。

這樣，三角形ABC是等邊三角形并作在給定線段AB上。這就是需要做的。

命題2

由給定點（作為一個端點）作一條線段等于已知線段。

設A是給定點，BC是給定線段。故要求的是在點A作一條線段等于給定線段BC。

由A至點B連接線段AB[公設1]，在其上作等邊三角形DAB[命題 Ⅰ.1]。分別延長DA，DB生成直線AE，BF[公設2]。以B為圓心及BC為半徑作圓CGH[公設3]，再以D為圓心及DG為半徑作圓GKL[公設3]。

因此，由于點B是圓CGH的圓心，BC等于BG[定義 Ⅰ.15]。再者，由于點D是圓GKL的圓心，DL等于DG[定義 Ⅰ.15]。而且其中DA等于DB。于是，剩下的AL等于剩下的BG[公理3]。但BC已被證明等于BG。因此，AL與BC都等于BG。但等于同一物之各物彼此相等[公理1]。于是，AL也等于BC。

這樣，在給定點A作出了等于給定線段BC的線段AL。這就是需要做的。

命題3

對于給定的兩條不相等線段，由較大者截取一段等于較小者。

設AB與C是給定的兩條不相等線段，其中AB較大。故要求的是由較大的AB截取一段等于較小的C。

把等于線段C的線AD置于點A[命題 Ⅰ.2]。以A為圓心，AD為半徑作圓DEF[公設3]。

由于A是圓DEF的圓心，故AE等于AD[定義 Ⅰ.15]。但C也等于AD。于是，AE與C都等于AD。故AE也等于C[公理1]。

這樣，對于給定的兩條不相等線段AB與C，由較大線段AB截取了等于較小線段C的AE。這就是需要做的。

命題4

若兩個三角形有兩邊分別等于兩邊，且這兩邊所夾的角也相等，則它們的底邊相等，兩個三角形全等[13]，相等邊對向的剩余諸角，分別等于對應的剩余諸角。

設ABC，DEF是兩個三角形，邊AB，AC分別等于邊DE，DF，即AB等于DE，AC等于DF。并且角BAC等于角EDF。我說底邊BC也等于底邊EF，且三角形ABC等于三角形DEF，等邊對向的剩余角等于對應的剩余角。也就是角ABC等于DEF，角ACB等于DFE。

其理由如下。若把三角形ABC與三角形DEF貼合[14]，點A置于點D，邊AB置于DE，則考慮到AB等于DE，點B與點E重合。又因為AB與DE重合，考慮到角BAC等于EDF，線段AC也與DF重合。又考慮到AC等于DF，點C也與點F重合。但點B肯定也與點E重合，故底邊BC與底邊EF重合。其理由如下。若B與E，C與F重合，而BC不與EF重合，則兩條直線將圍成一個面積，而這是不可能的[公設1]。因此，底邊BC與EF重合并等于它[公理4]。故整個三角形ABC與整個三角形DEF重合并等于它[公理4]。且剩余諸角與剩余諸角重合，并與它們相等[公理4]。即角ABC等于DEF，且角ACB等于DFE[公理4]。

這樣，若兩個三角形有兩邊分別等于兩邊，且這兩邊所夾的角也相等，則它們的底邊相等，兩個三角形全等，相等邊對向的剩余諸角，分別等于對應的剩余諸角。[15]這就是需要證明的。

命題5

等腰三角形的兩個底角彼此相等，延長兩條相等邊后底邊下方的兩個角也相等。

設ABC是一個等腰三角形，邊AB等于邊AC，且設直線BD，CE分別是AB，AC的延長線[公設2]。我說角ABC等于ACB，角CBD等于BCE。

其理由如下。設在BD上任取一點F，并設在較大的AE上截取一段AG等于較小的AF[命題 Ⅰ.3]。連接FC，GB[公設1]。

事實上，由于AF等于AG及AB等于AC，兩邊FA，AC分別等于兩邊GA，AB，且它們夾公共角FAG。因此，底邊FC等于底邊GB，三角形AFC全等于三角形AGB，等邊對向的剩余諸角等于對應的剩余諸角[命題 Ⅰ.4]。也就是角ACF等于ABG，角AFC等于AGB。且由于整個AF等于整個AG，在其中AB等于AC，因此剩余的BF等于剩余的CG[公理3]。但FC已被證明等于GB。故兩邊BF，FC分別等于兩邊CG，GB，且角BFC等于角CGB，而底邊BC是它們的公共邊。因此，三角形BFC全等于三角形CGB，且等邊對向的剩余諸角等于對應的剩余諸角[命題 Ⅰ.4]。于是，角FBC等于GCB，角BCF等于CBG。因此，由于整個角ABG已被證明等于整個角ACF，且其中角CBG等于BCF，剩下的角ABC因此等于剩下的ACB[公理3]，且它們都在三角形的底邊BC的上方。以及角FBC也已被證明等于GCB。且它們都在底邊的下方。

這樣，等腰三角形的兩個底角彼此相等，延長兩條相等邊后底邊下方的兩個角也相等。這就是需要證明的。

命題6

若一個三角形中有兩個角彼此相等，則對向等角的兩邊也彼此相等。

設在三角形ABC中，角ABC等于角ACB。則我說邊AB等于邊AC。

其理由如下。若AB不等于AC，其中必有一個較大，設AB較大。在較大的AB上截取DB等于較小的AC[命題 Ⅰ.3]。連接DC[公理1]。

因此，由于DB等于AC，且BC為公共邊，兩邊DB，BC分別等于兩邊AC，CB，且角DBC等于角ACB。因此，邊DC等于邊AB，三角形DBC全等于三角形ACB[命題 Ⅰ.4]，即較小者等于較大者。而這是荒謬的[公理5]。于是AB不能不等于AC。因此它們是相等的。

這樣，若三角形有兩個角彼此相等，則對向等角的兩邊也彼此相等。這就是需要證明的。

命題7

在同一條線段上，不可能作出分別等于給定兩條相交線段的另外兩條線段，它們與給定兩條線段有相同的端點，但相交于原線段同一側的不同點。

其理由如下。設在同一線段AB上方作兩條線段AC，CB分別等于另外兩條線段AD，DB，它們在AB上有相同端點，成對相交于AB同一側的不同點C，D，檢驗是否可能。因此CA等于DA，它們有相同的端點A，CB等于DB，它們有相同的端點B。連接CD[公設1]。

因此，由于AC等于AD，角ACD也等于角ADC[命題 Ⅰ.5]。于是，角ADC大于DCB[公理5]。所以，CDB更大于DCB[公理5]。再則，由于CB等于DB，角CDB也等于角DCB。但已證明前一個角大于后一個，而這是不可能的。

這樣，在同一條線段上，不可能作出分別等于給定兩條相交線段的另外兩條線段，它們與給定兩條線段有相同的端點，但相交于原線段同一側的不同點。這就是需要證明的。

命題8

若兩個三角形有兩邊分別等于兩邊，且它們的底邊也相等，則相等邊的夾角也相等。

設兩個三角形ABC，DEF有兩邊AB，AC分別等于兩邊DE，DF，即AB等于DE，AC等于DF。設也有底邊BC等于底邊EF。我說角BAC也等于角EDF。

其理由如下。若貼合三角形ABC于三角形DEF，點B置于點E，線段BC置于EF，則因為BC等于EF，點C也與F重合。因為BC與EF重合，邊BA，CA也分別與ED，DF重合。其理由如下。若底邊BC與底邊EF重合，但邊AB，AC并不與邊DE，DF分別重合，而是錯開如同EG，GF，則我們需要在一條直線的上方，分別作等于兩條給定相交直線的另外兩條直線，它們有相同的端點，但相交于該直線同一側的不同點。但是不可能作出這樣的直線[命題 Ⅰ.7]。于是，若底邊BC貼合于底邊EF，邊BA，AC不可能不分別與ED，DF重合。因此它們重合。角BAC也與角EDF重合，且它們相等[公理4]。

這樣，若兩個三角形有兩邊分別等于兩邊，且它們的底邊也相等，則相等邊的夾角也相等。這就是需要證明的。

命題9

等分給定直線角。

設BAC是給定的直線角，故要求的是把它等分。

在AB上任取一點D，并設由AC截下AE等于AD[命題 Ⅰ.3]，連接DE。并在DE上作等邊三角形DEF[命題 Ⅰ.1]，連接AF。我說角BAC被直線AF等分。

其理由如下。由于AD等于AE，且AF是公共的，兩邊DA，AF分別等于兩邊EA，AF。且底邊DF等于底邊EF。因此，角DAF等于角EAF[命題 Ⅰ.8]。

這樣，給定直線角BAC被直線AF等分。這就是需要做的。

命題10

等分給定線段。

設AB是給定線段。故要求的是把AB等分。

設在AB上作等邊三角形ABC[命題 Ⅰ.1]，并設角ACB被直線CD等分[命題 Ⅰ.9]。我說線段AB在點D被等分。

其理由如下。由于AC等于BC，且CD是公共的，則兩邊AC，CD分別等于兩邊BC，CD。以及角ACD等于角BCD。因此，底邊AD等于底邊BD[命題 Ⅰ.4]。

這樣，給定線段AB在點D被等分。這就是需要做的。

命題11

由給定直線上的給定點作直線與之成直角。

設AB是給定直線，C是其上的給定點。要求由點C作一條直線與直線AB成直角。

在AC上任取一點D，并作CE等于CD[命題 Ⅰ.3]，在DE上作等邊三角形FDE[命題 Ⅰ.1]，并連接FC。我說由給定直線AB上的給定點C所作的直線FC與AB成直角。

其理由如下。由于DC等于CE，且CF是公共的，兩邊DC，CF分別等于兩邊EC，CF。并且底邊DF等于底邊FE。因此，角DCF等于角ECF[命題 Ⅰ.8]，且它們是鄰角，但當一條直線立在另一條直線上使鄰角彼此相等時，每個相等角都是直角[定義 Ⅰ.10]。因此，角DCF及角FCE都是直角。

這樣，由給定直線AB上的給定點C所作的直線CF與AB成直角。這就是需要做的。

命題12

由不在給定無限長直線上的給定點作一條直線與之成直角。

設AB是給定的無限長直線，C是不在AB上的給定點。故要求的是由不在AB上的給定點C作一條直線垂直于無限長直線AB。

設在AB相對于C的另一側任取一點D，以C為圓心，CD為半徑作圓EFG[公設3]，并設線段EG在點H被等分[命題 Ⅰ.10]，連接CG，CH，CE。我說直線CH是由不在給定直線AB上的給定點C所作的與AB成直角的直線。

其理由如下。由于GH等于HE，HC是公共的，兩邊GH，HC分別等于兩邊EH，HC，且底邊CG等于底邊CE。因此，角CHG等于角EHC[命題 Ⅰ.8]，且它們是鄰角。但若一條直線立在另一條直線上所成二鄰角彼此相等，則每一個相等的角都是直角，并稱前一條直線垂直于后一條直線[定義 Ⅰ.10]。

這樣，直線CH是由不在給定無限長直線AB上的給定點C所作的AB的垂線。這就是需要做的。

命題13

若一條直線成角度立在另一條直線上，則可以肯定，所成角度或者是兩個直角，或者其和等于兩個直角。

設直線AB立在直線CD上，交成角CBA及角ABD。我說角CBA及角ABD肯定或者都是直角或者其和等于兩個直角。

事實上，若CBA等于ABD，則它們兩個都是直角[定義 Ⅰ.10]。但若不然，設由點B作BE與CD成直角[命題 Ⅰ.11]。于是，CBE，EBD兩個都是直角。由于CBE等于兩個角CBA，ABE之和，對二者各加上角EBD。于是，角CBE，EBD之和就等于三個角CBA，ABE，EBD之和[公理2]。再者，由于DBA等于兩個角DBE與EBA的和，設對二者各加上ABC。于是，角DBA，ABC之和等于三個角DBE，EBA，ABC之和[公理2]。但角CBE，EBD之和也已被證明等于相同的三個角之和。而等于同一物之物彼此相等[公理1]。因此，角CBE，EBD之和也等于DBA，ABC之和。但角CBE，EBD之和是兩個直角。因此，角DBA，ABC之和也等于兩個直角。

這樣，若一條直線成角度立在另一條直線上，則可以肯定，所成角或者是兩個直角，或者其和等于兩個直角。這就是需要證明的。

命題14

若兩條直線不在某一條直線的同一側，并在后者上一點所成鄰角之和等于兩個直角，則這兩條直線在同一直線上。

設不在同一側的兩條直線BC，BD，在AB上B點所成鄰角ABC與ABD之和等于兩個直角。我說BD與CB在同一直線上。

其理由如下。若BD與BC不在同一直線上，設BE與CB在同一直線上。

因此，由于直線AB立在直線CBE上，角ABC與角ABE之和等于兩個直角[命題 Ⅰ.13]。但角ABC與角ABD之和也等于兩個直角。因此，角CBA與ABE之和等于角CBA與ABD之和[公理1]。從二者各減去角CBA，于是剩余角ABE等于剩余角ABD[公理3]，小角等于大角。但這是不可能的。因此，BE與CB不在同一直線上。

這樣，若兩條直線不在某一條直線的同一側，并在后者上一點所成鄰角之和等于兩個直角，則這兩條直線在同一直線上。

命題15

兩條直線交成的對頂角相等。

設直線AB與CD交于點E，我說角AEC等于角DEB，以及角CEB等于角AED。

其理由如下。由于直線AE立在直線CD上所成角CEA，AED之和等于兩個直角[命題 Ⅰ.13]。再者，由于直線DE立在直線AB上所成角AED，DEB之和也等于兩個直角[命題 Ⅰ.13]。但CEA，AED之和也已被證明等于兩個直角。因此，CEA，AED之和等于AED，DEB之和[公理1]。從二者各減去AED。于是，剩下的CEA等于剩下的DEB[公理3]。類似地可證明CEB與DEA也相等。

這樣，兩條直線交成的對頂角相等。這就是需要證明的。

命題16

延長任意三角形的一邊，則外角大于每一個內對角。

設ABC是一個三角形，并設延長它的一邊BC到點D。我說外角ACD大于內對角CBA，BAC的每一個。

設AC被等分于點E[命題 Ⅰ.10]。連接BE并延長它至點F。作EF等于BE[命題 Ⅰ.3]，連接FC，并作AC通過G。

因此，由于AE等于EC，BE等于EF，故兩邊AE，EB分別等于兩邊CE，EF。并且，角AEB等于角FEC，因為它們是對頂角[命題 Ⅰ.15]。因此，底邊AB等于底邊FC，三角形ABE全等于三角形FEC，等邊對向的剩余角對應相等[命題 Ⅰ.4]。所以，BAE等于ECF。但角ECD大于ECF。因此，ACD大于BAC。類似地，通過等分BC可證明角BCG（即ACD），也大于ABC。

這樣，延長任意三角形的一邊，則外角大于每一個內對角。這就是需要證明的。

命題17

任意三角形中任意二角之和小于兩個直角。

設ABC是一個三角形，我說三角形ABC的任意二角之和小于兩個直角。

其理由如下。延長BC至D。

由于角ACD是三角形ABC的外角，它大于內對角ABC[命題 Ⅰ.16]。對二者都加上ACB。于是，ACD，ACB之和大于ABC，ACB之和。但是，角ACD，ACB之和等于兩個直角[命題 Ⅰ.13]。因此，ABC，ACB之和小于兩個直角。類似地，我們可以證明角BAC，ACB之和也小于兩個直角，而且，角CAB，ABC之和也是如此。

這樣，任何三角形中任意二角之和小于兩個直角。這就是需要證明的。

命題18

任意三角形中大邊對向大角。

設三角形ABC中邊AC大于AB。我說角ABC也大于ACB。

由于AC大于AB，取AD等于AB[命題 Ⅰ.3]，并連接BD。

由于角ADB是三角形BCD的外角，它大于內對角DCB[命題 Ⅰ.16]。但ADB等于ABD，因為邊AB也等于邊AD[命題 Ⅰ.5]。因此，角ABD也大于角ACB，所以角ABC比角ACB更大。

這樣，在任意三角形中，大邊對向大角。這就是需要證明的。

命題19

任意三角形中大角被大邊對向。

設在三角形ABC中，角ABC大于ACB。我說邊AC也大于邊AB。

其理由如下。如若不然，則AC肯定或者小于或者等于AB。事實上，AC不等于AB。否則角ABC也會等于角ACB[命題 Ⅰ.5]。但事實并非如此。因此，AC不等于AB。事實上，AC也不小于AB。否則角ABC也會小于角ACB[命題 Ⅰ.18]。但事實并非如此。因此，AC不小于AB。但已證明AC也不等于AB。因此，AC大于AB。

這樣，在任意三角形中，大角被大邊對向。這就是需要證明的。

命題20

任意三角形中任意兩邊之和大于第三邊。

設ABC是一個三角形。我說在三角形ABC中，任意兩邊之和大于第三邊。故BA，AC之和大于BC；AB，BC之和大于AC；BC，CA之和大于AB。

其理由如下。作BA通過點D，并使AD等于CA[命題 Ⅰ.3]，連接DC。

因此，由于DA等于AC，角ADC也等于ACD[命題 Ⅰ.5]。因此，BCD大于ADC。由于三角形DCB中角BCD大于BDC，且大角對向大邊[命題 Ⅰ.19]，所以DB大于BC。但DA等于AC。因此，BA，AC之和大于BC。類似地，我們可以證明AB，BC之和大于CA；BC，CA之和大于AB。

這樣，在任意三角形中，任意兩邊之和大于第三邊。這就是需要證明的。

命題21

由三角形一邊的兩個端點所作內線段之和小于三角形剩余兩邊之和，但其夾角較大。

在三角形ABC的一邊BC上，以B，C為端點作內線段BD與DC。我說BD，DC之和小于三角形剩余兩邊BA，AC之和，但其夾角BDC大于BAC。

其理由如下。作BD通過E。由于任意三角形中兩邊之和大于第三邊[命題 Ⅰ.20]，故三角形ABE中兩邊AB，AE之和大于BE。設對二者各加上EC。于是，BA，AC之和大于BE，EC之和。再者，由于在三角形CED中，兩邊CE，ED之和大于CD，對二者各加上DB。于是，CE，EB之和大于CD，DB之和。但已證明BA，AC之和大于BE，EC之和。因此，BA，AC之和更大于BD，DC之和。

再者，由于在任意三角形中，外角大于內對角[命題 Ⅰ.16]，故在三角形CDE中，外角BDC大于CED。同理，三角形ABE的外角CEB大于BAC。但角BDC已被證明大于角CEB。因此，角BDC更大于角BAC。

這樣，由三角形一邊的兩個端點所作內線段之和小于三角形剩余兩邊之和，但其夾角較大。這就是需要證明的。

命題22

由等于三條給定線段的三條線段作三角形。這些線段中任意兩條之和必須大于第三條，因為任意三角形中兩邊之和大于第三邊[命題 Ⅰ.20]。

設A，B與C是三條給定線段，其中任意兩條之和大于第三條，即A，B之和大于C；A，C之和大于B；B，C之和大于A。故要求的是由等于A，B，C的三條線段作一個三角形。

作直線DE，其一端為點D，在E的方向無限長。并作DF等于A，FG等于B，GH等于C[命題 Ⅰ.3]。以F為圓心，FD為半徑，作圓DKL。又以G為圓心，GH為半徑，作圓KLH，交圓KLD于K，連接KF與KG。我說三角形KFG是由等于A，B，C的三條線段所作出的。

其理由如下。由于點F是圓DKL的圓心，FD等于FK。但FD等于A，因此，KF也等于A。再者，由于點G是圓LKH的圓心，GH等于GK。但GH等于C。因此，KG也等于C。且FG也等于B。因此三條線段KF，FG，GK分別等于A，B，C。

這樣，由分別等于三條給定線段A，B，C的三條線段KF，FG，GK作出了三角形KFG。這就是需要做的。

命題23

在給定直線上的給定點作直線角等于給定的直線角。

設AB為給定直線，A為其上的給定點，角DCE為給定直線角。故要求的是在給定直線AB上的給定點A作一個等于給定直線角DCE的直線角。

設在直線CD與CE上分別任意取點D與E，連接DE。并由等于三條線段CD，DE，CE的三條線段作三角形AFG，使得CD等于AF，CE等于AG，以及DE等于FG[命題 Ⅰ.22]。

因此，由于兩邊DC，CE分別等于兩邊FA，AG，且底邊DE等于底邊FG，故角DCE等于角FAG[命題 Ⅰ.8]。

這樣，在給定直線AB上的給定點A作出了一個等于已知直線角DCE的直線角FAG。這就是需要做的。

命題24

若兩個三角形有兩邊分別等于兩邊，這兩邊在一個三角形中的夾角大于另一個中對應的角，則前一個三角形的底邊也大于后一個的底邊。

設ABC與DEF是兩個三角形，其中兩邊AB與AC分別等于兩邊DE與DF，即AB等于DE，AC等于DF。設它們也有在A的角大于在D的角。我說底邊BC也大于底邊EF。

其理由如下。由于角BAC大于角EDF，設在線段DE上點D作角EDG等于角BAC[命題 Ⅰ.23]。取DG等于AC或即DF[命題 Ⅰ.3]，連接EG與FG。

因此，由于AB等于DE及AC等于DG，兩邊BA，AC分別等于兩邊ED，DG。并且角BAC等于角EDG。因此，底邊BC等于底邊EG[命題 Ⅰ.4]。再者，由于DF等于DG，角DGF也等于角DFG[命題 Ⅰ.5]。因此，DFG大于EGF。且由于三角形EFG中角EFG大于EGF，較大角由較大邊對向[命題 Ⅰ.19]，于是邊EG也大于EF。但EG等于BC。因此，BC也大于EF。

這樣，若兩個三角形有兩邊分別等于兩邊，這兩邊在一個三角形中的夾角大于另一個中對應的角，則前一個三角形的底邊也大于后一個的底邊。這就是需要證明的。

命題25

若兩個三角形有兩邊分別等于兩邊，但其中一個的底邊大于另一個的底邊，則前一個三角形中這兩邊的夾角大于后一個三角形中對應的角。

設ABC，DEF這兩個三角形有兩邊AB，AC分別等于兩邊DE，DF。即AB等于DE及AC等于DF。且設底邊BC大于底邊EF。我說角BAC也大于EDF。

其理由如下。如若不然，BAC肯定或者小于或者等于EDF。事實上，BAC一定不等于EDF。不然底邊BC就會等于底邊EF[命題 Ⅰ.4]，但事實并非如此。因此，角BAC不等于EDF。而實際上，BAC也不小于角EDF。否則底邊BC會小于底邊EF[命題 Ⅰ.24]。但并非如此。因此，角BAC也不小于EDF。于是，角BAC大于角EDF。

這樣，若兩個三角形有兩邊分別等于兩邊，但其中一個的底邊大于另一個的底邊，則前一個三角形中這兩邊的夾角大于后一個三角形中對應的角。這就是需要證明的。

命題26

若兩個三角形有兩個角分別等于兩個角，而且有一邊等于一邊（這條邊或者在兩個等角之間，或者是一個等角的對向邊），則這兩個三角形也有剩余諸邊等于對應的剩余諸邊，剩余角等于剩余角。

設ABC，DEF是兩個三角形，其中兩個角ABC，BCA分別等于兩個角DEF，EFD。即角ABC等于DEF，角BCA等于EFD。又設它們還有一邊等于一邊，首先考慮兩個等角之間的邊，即BC等于EF。我說它們的剩余諸邊等于對應的剩余諸邊。即AB等于DE及AC等于DF。且剩余角也對應相等，即角BAC等于角EDF。

其理由如下。若AB不等于DE，則其中之一較大。設AB較大，并取BG等于DE[命題 Ⅰ.3]，連接GC。

因此，由于BG等于DE，以及BC等于EF，兩邊GB，BC分別等于兩邊DE，EF，而且角GBC等于角DEF。因此，底邊GC等于底邊DF，三角形GBC等于三角形DEF，且相等邊對向的剩余角等于對應的剩余角[命題 Ⅰ.4]。因此，GCB等于DFE。但是，DFE已被假設等于BCA。因此，BCG也等于BCA，于是較小角等于較大角。而這是不可能的。因此，AB不可能不等于DE。所以它們相等。且BC也等于EF。故兩邊AB，BC分別等于兩邊DE，EF。并且角ABC等于角DEF。因此，底邊AC等于底邊DF，剩余角BAC等于剩余角EDF[命題 Ⅰ.4]。

然后再設對向等角的邊相等，例如設AB等于DE。我又說剩余諸邊等于剩余諸邊，即AC等于DF及BC等于EF。而且，剩下的角BAC等于剩下的角EDF。

其理由如下。若BC不等于EF，則其中之一較大。設BC較大，檢驗是否可能。作BH等于EF[命題 Ⅰ.3]，并連接AH。由于BH等于EF，以及AB等于DE，即兩邊AB，BH分別等于兩邊DE，EF。且它們所夾的角也相等。因此，底邊AH等于底邊DF，三角形ABH等于三角形DEF，并且等邊對向的剩余諸角等于對應的剩余諸角[命題 Ⅰ.4]。因此，角BHA等于EFD。但是，EFD等于BCA。故在三角形AHC中，外角BHA等于內對角BCA。而這是不可能的[命題 Ⅰ.16]。因此，BC不可能不等于EF。于是它們相等。且AB也等于DE。兩邊AB，BC分別等于兩邊DE，EF，而且它們所夾的角也相等。因此，底邊AC等于底邊DF，而三角形ABC等于三角形DEF，且剩下的角BAC等于剩下的角EDF[命題 Ⅰ.4]。

這樣，若兩個三角形有兩個角分別等于兩個角，而且有一邊等于一邊（這條邊或者在兩個等角之間，或者是一個等角的對向邊），則這兩個三角形也有剩余諸邊等于對應的剩余諸邊，剩余角等于剩余角。這就是需要證明的。

命題27

若一條直線與兩條直線相交形成的內錯角[16]相等，則這兩條直線相互平行。

設直線EF與兩條直線AB，CD相交所成的內錯角AEF，EFD相等，我說AB與CD相互平行。

其理由如下。如若不然，則AB與CD延長后必相交：或者在B與D的方向，或者在A與C的方向[定義 Ⅰ.23]。設它們已延長，并設它們在B與D的方向相交于點G。故對三角形GEF，外角AEF等于內對角EFG，而這是不可能的[命題 Ⅰ.16]。因此，AB與CD延長后不會相交于B與D的方向。類似地可以證明，它們也不在A與C的方向相交。但不在任何方向相交的直線是平行的[定義 Ⅰ.23]。因此，AB與CD是平行的。

這樣，若一條直線與兩條直線相交形成的內錯角相等，則這兩條直線相互平行。這就是需要證明的。

命題28

若一條直線與兩條直線相交所成的同位角相等，或者同旁內角之和等于兩個直角，則這兩條直線相互平行。

設EF與兩條直線AB，CD相交所成的同位角EGB與GHD相等，或者所成的同旁內角BGH，GHD之和等于兩個直角，我說AB平行于CD。

其理由如下。由于（在第一種情況）EGB等于GHD，但EGB等于AGH[命題 Ⅰ.15]，AGH因此也等于GHD。并且它們是內錯角。于是，AB平行于CD[命題 Ⅰ.27]。

再者，由于（在第二種情況）BGH，GHD之和等于兩個直角，且AGH，BGH之和也等于兩個直角[命題 Ⅰ.13]，AGH，BGH之和因此等于BGH，GHD之和。從二者各減去BGH。于是，剩下的角AGH等于剩下的角GHD，且它們是內錯角。因此，AB平行于CD[命題 Ⅰ.27]。

這樣，若一條直線與兩條直線相交所成的同位角相等，或者所成的同旁內角之和等于兩個直角，則這兩條直線相互平行。這就是需要證明的。

命題29

一條直線與兩條平行直線相交所成的內錯角相等、同位角相等，且同旁內角之和等于兩個直角。

設直線EF與兩條平行直線AB，CD相交。我說它們形成的內錯角AGH與GHD相等，同位角EGB與GHD相等，且同旁內角BGH與GHD之和等于兩個直角。

其理由如下。若AGH不等于GHD，則其中之一較大。設AGH較大。對二者各加上BGH。于是，AGH，BGH之和大于BGH，GHD之和。但是，AGH，BGH之和等于兩個直角[命題 Ⅰ.13]。因此，BGH，GHD之和小于兩個直角。但同旁內角之和小于兩個直角的二直線無限延長后相交[公設5]。因此，無限延長的AB與CD相交。但考慮到它們原來被假設為相互平行[定義 Ⅰ.23]。因此AGH不可能不等于GHD。于是它們相等。但AGH等于EGB[命題 Ⅰ.15]。且角EGB因此也等于角GHD。對二者各加上角BGH。于是角EGB，BGH之和等于角BGH，GHD之和。但角EGB，BGH之和等于兩個直角[命題 Ⅰ.13]。因此，角BGH，GHD之和也等于兩個直角。

這樣，一條直線與兩條平行直線相交所成的內錯角相等、同位角相等，且同旁內角之和等于兩個直角。這就是需要證明的。

命題30

平行于同一條直線的諸直線相互平行。

設直線AB，CD都平行于直線EF。我說AB也平行于CD。

設直線GK與AB，CD，EF相交。

由于直線GK與平行直線AB，EF相交，角AGK等于GHF[命題 Ⅰ.29]。又由于直線GK與平行直線EF，CD相交，角GHF等于GKD[命題 Ⅰ.29]。但AGK也已被證明等于GHF，所以AGK等于GKD，且它們是內錯角。因此，AB平行于CD[命題 Ⅰ.27]。

這樣，平行于同一條直線的諸直線相互平行。這就是需要證明的。

命題31

過給定點作直線平行于給定直線。

設A為給定點，BC為給定直線。故要求的是過點A作一條直線平行于直線BC。

在BC上任取一點D，連接AD。在直線AD上過點A作角DAE等于角ADC，且設直線EA在直線AF的延長線上。

由于直線AD與直線BC，EF相交形成的內錯角EAD，ADC相等。直線EAF因此平行于BC[命題 Ⅰ.27]。

這樣，過給定點A作出了一條直線EAF平行于給定直線BC。這就是需要做的。

命題32

任意三角形的外角等于二內對角之和，而三個內角之和等于兩個直角。

設ABC是一個三角形，延長一邊BC到D。我說外角ACD等于二內對角CAB，ABC之和，而三角形的三個內角ABC，BCA，CAB之和等于兩個直角。

其理由如下。通過點C作平行于直線AB的CE[命題 Ⅰ.31]。

由于AB平行于CE，以及AC與它們相交，內錯角BAC與ACE彼此相等[命題 Ⅰ.29]。再者，由于AB平行于CE，而直線BD與它們相交，外角ECD等于同位角ABC[命題 Ⅰ.29]。但ACE已被證明等于BAC。因此，整個角ACD等于二內對角BAC，ABC之和。

對二者各加上角ACB，于是角ACD，ACB之和等于角BAC，ABC，ACB之和。但角ACD，ACB之和等于兩個直角[命題 Ⅰ.13]。因此，角BAC，ABC，ACB之和也等于兩個直角。

這樣，任意三角形的外角等于二內對角之和，而三個內角之和等于兩個直角。這就是需要證明的。

命題33

在同一側連接相等且平行二線段的二線段本身也相等且平行。

設AB與CD是相等且平行的線段，并設AC與BD分別在同一側連接它們。我說AC與BD相等且平行。

連接BC。由于AB平行于CD，且因為BC與它們相交，內錯角ABC與BCD彼此相等[命題 Ⅰ.29]。由于AB等于CD，BC是公共的，兩邊AB，BC等于兩邊DC，CB[17]。又有角ABC等于角BCD。因此，底邊AC等于底邊BD，三角形ABC等于三角形DCB，而剩余諸角也等于對應的相等邊對向的剩余諸角[命題 Ⅰ.4]。因此，角ACB等于CBD。并且，由于直線BC與二直線AC，BD相交，形成的內錯角（ACB與CBD）彼此相等，AC因此平行于BD[命題 Ⅰ.27]。且AC也已被證明等于BD。

這樣，在同一側連接相等且平行線段的線段本身也相等且平行。這就是需要證明的。

命題34

平行四邊形中對邊與對角彼此相等，且它被對角線等分。

設ACDB是平行四邊形，BC是它的對角線。我說在平行四邊形ACDB中，對邊與對角彼此相等，且它被對角線等分。

其理由如下。由于AB平行于CD，且直線BC與它們相交，內錯角ABC與BCD彼此相等[命題 Ⅰ.29]。再者，由于AC平行于BD，且BC與它們相交，內錯角ACB與CBD彼此相等[命題 Ⅰ.29]。故ACB與BCD是這樣的兩個三角形，它們有兩個角ABC與BCA分別等于兩個角DCB與CBD，且有一邊等于一邊——相等角旁的邊BC是它們的公共邊。因此，它們也有剩余諸邊分別等于對應的剩余諸邊，以及剩余角等于剩余角[命題 Ⅰ.26]。因此，邊AB等于CD，AC等于BD。此外，角BAC等于角CDB。而由于角ABC等于BCD，以及CBD等于ACB，整個角ABD因此等于整個角ACD。而BAC也已被證明等于CDB。

這樣，在平行四邊形中，對邊與對角彼此相等。

我也要說，對角線把平行四邊形等分。因為AB等于CD，且BC為公共邊，即兩邊AB，BC分別等于兩邊DC，CB。并且角ABC等于角BCD，因此底邊AC也等于DB，三角形ABC全等于三角形BCD[命題 Ⅰ.4]。

這樣，對角線BC把平行四邊形ACDB等分。這就是需要證明的。

命題35

同底且在相同平行線之間的平行四邊形彼此相等。

設ABCD與EBCF是在相同的底邊BC上的平行四邊形，且它們在相同的平行線AF與BC之間。我說平行四邊形ABCD與EBCF相等。

其理由如下。由于ABCD是平行四邊形，AD等于BC[命題 Ⅰ.34]。同理，EF等于BC，故AD也等于EF。且DE是公共的。因此，全線段AE等于全線段DF。且AB也等于DC，故兩邊EA，AB分別等于兩邊FD，DC。而角FDC等于角EAB，因為同位角相等[命題 Ⅰ.29]。因此，底邊EB等于底邊FC，三角形EAB與三角形DFC全等[命題 Ⅰ.4]。設從二者各減去DGE，則剩下的梯形ABGD等于剩下的梯形EGCF[公理3]。設對二者各加上三角形GBC。于是，整個平行四邊形ABCD等于整個平行四邊形EBCF。

這樣，同底且在相同平行線之間的平行四邊形彼此相等。這就是需要證明的。

命題36

在相等底邊上且在相同平行線之間的平行四邊形相等。

設ABCD與EFGH是在相等底邊BC與FG上的平行四邊形，且它們在相同的平行線AH與BG之間。我說平行四邊形ABCD等于EFGH。

其理由如下。連接BE，CH。由于BC等于FG，但FG等于EH[命題 Ⅰ.34]，BC因此等于EH，且它們也是平行的，EB與HC連接它們。但在同一側把相等且平行的線段連接的線段本身相等且平行[命題 Ⅰ.33]，因此，EB與HC也是相等且平行的，于是，EBCH是一個平行四邊形[命題 Ⅰ.34]，并等于ABCD。因為它與ABCD有相同的底邊BC，并在與ABCD相同的平行線BC與AH之間[命題 Ⅰ.35]。同理，EFGH也等于相同的平行四邊形EBCH[命題 Ⅰ.35]。故平行四邊形ABCD也等于EFGH。

這樣，在相等底邊上且在相同平行線之間的平行四邊形相等。這就是需要證明的。

命題37

底邊相同且在相同平行線之間的三角形相等。

設三角形ABC與DBC在相同的底邊上，且在相同的二平行線AD與BC之間。我說三角形ABC等于三角形DBC。

其理由如下。在E與F兩個方向上延長AD，又作線段BE過B且平行于CA[命題 Ⅰ.31]，作線段CF通過C且平行于BD[命題 Ⅰ.31]。因此，EBCA與DBCF都是平行四邊形，并且它們是相等的。因為它們在相同的底邊BC上，并在二平行線BC與EF之間[命題 Ⅰ.35]。三角形ABC是平行四邊形EBCA的一半。因為對角線AB把平行四邊形EBCA等分[命題 Ⅰ.34]。而三角形DBC是平行四邊形DBCF的一半。因為對角線DC把平行四邊形DBCF等分[命題 Ⅰ.34]。并且，相等物之半彼此相等。[18]因此，三角形ABC等于三角形DBC。

這樣，底邊相同且在相同平行線之間的三角形相等。這就是需要證明的。

命題38

在相等的底邊上且在相同的平行線之間的三角形彼此相等。

設ABC與DEF分別是在相等的底邊BC與EF上，且在相同的平行線BF與AD之間的三角形。我說三角形ABC等于三角形DEF。

其理由如下。在G與H兩個方向上延長AD，并過B作線段BG平行于CA[命題 Ⅰ.31]，又過F作FH平行于DE[命題 Ⅰ.31]。于是，GBCA與DEFH都是平行四邊形，且GBCA等于DEFH。因為它們在相等的底邊BC與EF上，且位于相同平行線BF與GH之間[命題 Ⅰ.36]。并且三角形ABC是平行四邊形GBCA的一半。因為對角線AB把后者等分[命題 Ⅰ.34]。三角形FED是平行四邊形DEFH的一半。因為對角線DF把后者等分。而相等物之半彼此相等。于是，三角形ABC等于DEF。

這樣，在相等的底邊上且在相同的平行線之間的三角形彼此相等。這就是需要證明的。

命題39

在相同底邊上且位于同側的相等三角形也在相同的平行線之間。

設ABC與DBC是在相同底邊BC上且在其同側的相等的三角形。我說它們也在相同的平行線之間。

連接AD，我說AD與BC平行。

其理由如下。如若不然，設過點A作AE平行于直線BC[命題 Ⅰ.31]，并連接EC。于是，三角形ABC等于三角形EBC因為它們在相同的底邊BC上并在相同的平行線之間[命題 Ⅰ.37]。但ABC等于DBC，因此，DBC也等于EBC，即較大者等于較小者。而這是不可能的。因此，AE不平行于BC。類似地，我們可以證明，除了AD以外，不可能有任意其他直線平行于BC。因此，AD平行于BC。

這樣，在相同底邊上且位于同側的相等三角形也在相同的平行線之間。這就是需要證明的。

命題40[19]

在相等底邊上并在其同側的相等三角形也在相同的平行線之間。

設ABC與CDE是分別在相等底邊BC與CE上的三角形，并且它們在BE的同一側。我說它們也在相同的平行線之間。

連接AD，我說AD與BE彼此平行。

其理由如下。如若它們不平行，作AF過A平行于BE[命題 Ⅰ.31]，連接FE。于是，三角形ABC等于三角形FCE。因為它們分別在相等的底邊BC與CE上，并在相同的平行線BE與AF之間[命題 Ⅰ.38]。但三角形ABC等于三角形DCE。因此，三角形DCE也等于三角形FCE。即較大者等于較小者。而這是不可能的。因此AF與BE不平行。類似地，我們可以證明，除了AD以外，沒有任何其他直線平行于BE。因此，AD平行于BE。

這樣，在相等底邊上并在其同側的相等三角形也在相同的平行線之間。這就是需要證明的。

命題41

若一個平行四邊形與一個三角形有相同底邊，并且它們在相同的平行線之間，則平行四邊形的面積是三角形的兩倍。

設平行四邊形ABCD的底邊BC與三角形EBC的相同，并設它們在相同的平行線BC與AE之間。我說平行四邊形ABCD的面積是三角形BEC的兩倍。

其理由如下。連接AC，則三角形ABC等于三角形EBC。因為ABC與EBC在相同的底邊BC上，并在相同的平行線BC與AE之間[命題 Ⅰ.37]。因為對角線AC把前者等分，平行四邊形ABCD的面積是三角形ABC的兩倍[命題 Ⅰ.34]。故平行四邊形ABCD的面積也是三角形EBC的兩倍。

這樣，若一個平行四邊形與一個三角形有相同底邊，并且它們在相同的平行線之間，則平行四邊形的面積是三角形的兩倍。

命題42

作一個平行四邊形等于給定的三角形并有給定的直線角。

設ABC是給定的三角形，D是給定的直線角。故要求的是作一個等于三角形ABC的平行四邊形，并且它有直線角D。

設BC在E被等分[命題 Ⅰ.10]，連接AE。并設在直線EC上點E作角CEF等于角D[命題 Ⅰ.23]。設過A作AG平行于EC[命題 Ⅰ.31]，又設過C作CG平行于EF[命題 Ⅰ.31]。于是，FECG是平行四邊形。且因為BE等于EC，三角形ABE也等于三角形AEC。因為它們在相等的底邊BE與EC上，且在相同的平行線BC與AG之間[命題 Ⅰ.38]。因此，三角形ABC的面積是三角形AEC面積的兩倍，且平行四邊形FECG的面積也是三角形AEC面積的兩倍。因為它與AEC有相同的底邊，且與AEC在相同的平行線之間[命題 Ⅰ.41]。因此，平行四邊形FECG等于三角形ABC。FECG也有一個角CEF等于給定角D。

這樣就作出了等于已知三角形ABC的平行四邊形FECG，它有一個角CEF等于給定角D。這就是需要做的。

命題43

對于任何平行四邊形，其關于對角線的兩個補形相等。

設ABCD是平行四邊形，AC是其對角線。并設EH與FG是跨在AC上的平行四邊形，而BK與KD是所謂的補形（關于AC）。我說補形BK等于補形KD。

其理由如下。由于ABCD是平行四邊形，AC是其對角線，三角形ABC與三角形ACD全等[命題 Ⅰ.34]。再者，由于EH是平行四邊形，AK是其對角線，三角形AEK等于三角形AHK[命題 Ⅰ.34]。同理，三角形KFC也等于三角形KGC。因此，由于三角形AEK與三角形AHK全等，以及三角形KFC與三角形KGC全等，三角形AEK加上KGC等于三角形AHK加上KFC。且整個三角形ABC也等于整個三角形ADC。因此，剩下的補形BK等于剩下的補形KD。

這樣，對于任何平行四邊形，其關于對角線的兩個補形相等。這就是需要證明的。

命題44

把等于給定三角形的一個平行四邊形以給定直線角適配[20]于給定線段。

設AB是給定線段，C是給定三角形，D是給定直線角。故要求的是把等于給定三角形C的一個平行四邊形以給定直線角D適配于給定線段AB。

設以等于角D的角EBG作一個平行四邊形BEFG等于三角形C[命題 Ⅰ.42]。BEFG的位置使得BE與AB相接于同一條直線上。[21]設FG通過H，又通過A作AH平行于BG或即EF[命題 Ⅰ.31]，并連接HB。且由于直線HF與平行線AH，EF相交，角AHF，HFE之和因此等于兩個直角[命題 Ⅰ.29]。于是BHG，GFE之和小于兩個直角。且二直線無限延長后在內角之和小于兩個直角的一側相交[公設5]。因此，HB與FE延長后相交。設它們被延長且交點為K。過K作KL平行于EA或即FH[命題 Ⅰ.31]。并分別延長HA與GB至點L與M。于是，HLKF是平行四邊形，HK是它的對角線。AG與ME是平行四邊形，LB與BF是HK的所謂補形。因此，LB等于BF[命題 Ⅰ.43]。但BF等于三角形C。因此，LB也等于三角形C。并且，因為角GBE等于ABM[命題 Ⅰ.15]，但GBE等于D，ABM因此也等于角D。

這樣，等于已知三角形C的平行四邊形LB，以等于D的角ABM被適配于給定線段AB。這正是所需要做的。

命題45

作一個平行四邊形等于給定直線圖形并有一個角等于給定的直線角。

設ABCD是給定的直線圖形，[22]E是給定的直線角。故要求的是作一個平行四邊形等于直線圖形ABCD，并且它有一個角等于給定的直線角E。

連接DB，作等于三角形ABD的平行四邊形FH，其中的角HKF等于角E[命題 Ⅰ.42]。并把等于三角形DBC的平行四邊形GM，以等于E的角GHM適配于線段GH[命題 Ⅰ.44]。且由于角E等于角HKF，GHM的每一個，角HKF因此也等于角GHM。對二者各加上KHG。于是，FKH，KHG之和等于KHG，GHM之和。但FKH，KHG之和等于兩個直角。因此，KHG，GHM之和也等于兩個直角。于是，KH與KM在同一條直線上[命題 Ⅰ.14]。且由于直線HG與平行線KM，FG相交，內錯角MHG與HGF彼此相等[命題 Ⅰ.29]。對二者各加上HGL。于是，MHG，HGL之和等于HGF，HGL之和。但MHG，HGL之和等于兩個直角[命題 Ⅰ.29]。因此，HGF，HGL之和也等于兩個直角。于是，FG與GL相接于同一條直線上[命題 Ⅰ.14]。由于FK等于且平行于HG[命題 Ⅰ.34]，以及HG平行且等于ML[命題 Ⅰ.34]，KF因此也等于且平行于ML[命題 Ⅰ.30]。線段KM與FL連接它們。于是，KM與FL也相等且平行[命題 Ⅰ.33]。因此，KFLM是一個平行四邊形。由于三角形ABD等于平行四邊形FH，三角形DBC等于平行四邊形GM，整個直線圖形ABCD因此等于整個平行四邊形KFLM。

這樣就作出了等于給定直線圖形ABCD的平行四邊形KFLM，其中角FKM等于給定角E。這就是需要做的。

命題46

在給定線段上作一個正方形。

設AB是給定線段，故要求的是在線段AB上作一個正方形。

設由線段AB上點A作線段AC與AB成直角[命題 Ⅰ.11]，取AD等于AB[命題 Ⅰ.3]。通過點D作DE平行于AB[命題 Ⅰ.31]，通過點B作BE平行于AD[命題 Ⅰ.31]，于是ADEB是平行四邊形。因此，AB等于DE及AD等于BE[命題 Ⅰ.34]。但AB等于AD。因此，四條邊BA，AD，DE，EB彼此相等。于是，平行四邊形ADEB是等邊的。我說它也是直角的。其理由如下。由于線段AD與平行線AB，DE相交，角BAD與角ADE之和等于兩個直角[命題 Ⅰ.29]。但BAD是直角，因此，ADE也是直角。且平行四邊形的對邊與對角彼此相等[命題 Ⅰ.34]。因此，相對二角ABE，BED每個都是直角。于是，ADEB是直角的。且已證明它是等邊的。

這樣，ADEB是在線段AB上的一個正方形[定義 Ⅰ.22]。這就是需要做的。

命題47

在直角三角形中，對向直角的邊上的正方形等于夾直角的兩邊上的正方形之和。[23]

設ABC是一個直角三角形，角BAC是直角。我說在BC上的正方形等于在BA，AC上的正方形之和。

其理由如下。在BC上作正方形BDEC，并分別在AB，AC上作正方形GB，HC[命題 Ⅰ.46]。過點A作AL平行于BD或即CE[命題 Ⅰ.31]。連接AD與FC。由于角BAC與BAG都是直角，于是，不在同側的兩邊AC，AG，與某一直線BA在點A處成兩個鄰角，其和等于兩個直角，因此，CA與AG在同一條直線上[命題 Ⅰ.14]。同理，BA也與AH在同一條直線上。且由于角DBC等于FBA（因為二者都是直角），對它們各加上ABC。所以，整個角DBA等于整個角FBC。且由于DB等于BC及FB等于BA，兩邊DB，BA分別等于兩邊CB，BF。而且角DBA等于角FBC。因此，底邊AD等于底邊FC，三角形ABD全等于三角形FBC[命題 Ⅰ.4]。平行四邊形BL的面積等于三角形ABD的兩倍，因為它們有相同的底邊BD且在相同的兩條平行線BD與AL之間[命題 Ⅰ.41]。正方形GB的面積是三角形FBC的兩倍，因為它們有相同的底邊FB且在相同的兩條平行線FB與GC之間[命題 Ⅰ.41]。[相等物加倍后彼此相等。[24]]因此，平行四邊形BL也等于正方形ABFG。類似地，連接AE與BK，也能證明平行四邊形CL等于正方形HC。于是，整個正方形BDEC等于兩個正方形GB，HC之和。而正方形BDEC是作在BC上的，正方形GB，HC是分別作在BA，AC上的。因此，邊BC上的正方形等于邊BA，AC上的正方形之和。

這樣，在直角三角形中，對向直角的邊上的正方形等于夾直角的兩邊上的正方形之和。這就是需要證明的。

命題48

若三角形一邊上的正方形等于剩下的兩邊上的正方形之和，則剩下的兩邊之間的夾角是直角。

設三角形ABC一邊BC上的正方形等于邊BA，AC上的正方形之和。我說角BAC是直角。

其理由如下。在點A作AD與AC成直角[命題 Ⅰ.11]，并使AD等于BA[命題 Ⅰ.3]，連接DC。由于DA等于AB，DA上的正方形因此也等于AB上的正方形。[25]對二者各加上AC上的正方形。于是，DA，AC上的正方形之和等于BA，AC上的正方形之和。但DC上的正方形等于DA，AC上的正方形之和。因為角DAC是直角[命題 Ⅰ.47]。但BC上的正方形等于BA，AC上的正方形之和。因為已假設如此。于是，DC上的正方形等于BC上的正方形。故邊DC也等于邊BC。又由于DA等于AB，且AC為公共邊，兩邊DA，AC等于兩邊BA，AC。且底邊DC等于底邊BC。因此，角DAC等于角BAC[命題 Ⅰ.8]。但DAC是一個直角，因此，BAC也是一個直角。

這樣，若三角形一邊上的正方形等于剩下的兩邊上的正方形之和，則剩下的兩邊之間的夾角是直角。這就是需要證明的。