導讀
凌復華
(上海交通大學、美國史蒂文斯理工學院教授)
·Introduction to Chinese Version·

古希臘數學家歐幾里得畫像。
一、歐幾里得與《幾何原本》的傳說
《幾何原本》的作者歐幾里得,可以說是歷史上最為人知的數學家之一,他的名字早就成為經典幾何學的代名詞。但是,與之形成巨大反差的是,他的生平卻最不為人知。下面,我們以幾個“數字”為線索,看看與他有關的史料和有一定可信度的傳說。
一:“一”指的是,《幾何原本》是有史以來最成功、發行量最大、最有影響力的一部教科書。
二:“二”指的是“兩段傳說”。第一個傳說,公元5世紀,有一位希臘數學家,名字叫普羅克洛斯(Proclus),他是新柏拉圖學派的代表人物,曾為歐幾里得《幾何原本》做過注解。據普羅克洛斯記載,當時的埃及托勒密王曾經問歐幾里得,除了他的《幾何原本》之外,還有沒有其他學習幾何的捷徑。歐幾里得回答說:“幾何無王者之路。”意思是說,在幾何學里,沒有專為國王鋪設的大道。這句話后來成為傳誦千古的箴言。
第二個傳說,公元6世紀時的一位叫斯托貝烏斯的數學家,記述了另一則故事。一個學生才開始學第一個命題,就問歐幾里得:“老師,我學了幾何學之后將得到些什么?”歐幾里得想了想,轉頭對助手說:“給他三個錢幣,讓他走人,因為他想在學習幾何學中獲取實利。”的確,當時學習幾何學確實不能立竿見影給人帶來實際利益。但是,我們現在知道,幾何學后來對科學大廈的建立起到了巨大的作用。
三:“三”指的是“三個史實”。學術界一般認為,以下這三個史實是可信的。第一,歐幾里得出生在雅典,并曾在柏拉圖的“學園”學習。第二,歐幾里得于公元前300年左右活躍于埃及亞歷山大城,很可能是在亞歷山大圖書館教授數學。第三,歐幾里得大約生活于公元前330年至前275年,大約活了55歲。
四:“四”指的是《幾何原本》一書實際上有“四位作者”。除了歐幾里得之外,其他三位分別是畢達哥拉斯(Pythagoras),歐多克斯(Eudoxus of Cnidus),特埃特圖斯(The-aetetus of Athens)。
《幾何原本》一共十三卷。現在學術界普遍認為,這十三卷并不都是歐幾里得一個人的成果,書中大部分的內容直接取材于他之前的其他數學家。一般認為,第一卷至第三卷,以及第七卷至第九卷的許多內容,出自畢達哥拉斯學派;這個學派認為,“數”是萬物本原,最為人所知的成就是畢達哥拉斯定理,在我國稱之為勾股定理,這在《幾何原本》第一卷中就有明確表述。
《幾何原本》第五卷中的比例理論和第十卷中的窮舉法,出自歐多克斯。歐多克斯與柏拉圖是同時代人,曾求學于柏拉圖學園,之后返校執教。
《幾何原本》第十卷和第十三卷,出自特埃特圖斯;他是柏拉圖學園的一位數學家,對柏拉圖的影響很大,柏拉圖曾將他作為《對話錄》的標題人物和討論對象。
當然,在《幾何原本》中,歐幾里得本人也有不少精彩手筆,如用幾何圖形,寥寥數筆就證明了勾股定理,證明了不存在最大素數的歐幾里得定理,給出因式分解定理,等等。
一千:“一千”指的是《幾何原本》的各種版本,總數不下“一千種”。《幾何原本》的原稿早已失傳,在很長時間里,最流行的是賽翁(Theon)的希臘語修訂本,直到1808年,在梵蒂岡發現了更早的手抄本。海貝格(J.L.Heiberg)根據這個手抄本于1883—1888年編譯的希臘語版本,這也是當今學界公認的權威版本。
在歐洲的中世紀黑暗年代,希臘文明由阿拉伯人傳承。《幾何原本》的第一個阿拉伯語譯本出現于公元9世紀。1120年左右出現轉譯自阿拉伯語的第一個拉丁語譯本,它于1482年在威尼斯首次印刷出版。1505年,譯自賽翁希臘語文本的拉丁語譯本,也在威尼斯印刷出版。《幾何原本》最早的完整英語譯本,出現于1570年;而最流行的英語譯本,是1908年和1926年出版的希思(T.L.Heath)的注釋本。
《幾何原本》的漢語翻譯其實也開始得很早。1607年,由天主教耶穌會傳教士意大利人利瑪竇和我國明代科學家徐光啟合譯出版了前6卷,但直到250年以后的1857年,才由英國的偉烈亞力和中國科學家李善蘭譯出后9卷,共出版15卷。不過,后兩卷現在一般認為是后人添加進去的,此后的版本不再收入。明清兩朝的這兩個漢譯本都是文言文,那時的術語和現在也不一樣。難以想象的是,此后130年間,《幾何原本》新的漢譯本竟然又是空白,直到1990年才出版了蘭紀正、朱恩寬的現代漢語譯本。近年來又出現了十余種漢譯本,但良莠不齊,總的說來并未見有什么超越。
從古代希臘語手抄本到阿拉伯語和拉丁語譯文的手抄本,再到近現代不同語言譯本的印刷版本,《幾何原本》各種版本總數不下一千種。
兩千三百:“兩千三百”指的是《幾何原本》成書于大約2300年前,這本書的面世起到了承上啟下的作用。所謂“承上”,指的是歐幾里得總結了在他以前古希臘幾何學中的所有重要成果,如上面提到的畢達哥拉斯、歐多克斯、特埃特圖斯,還有希波克拉底(Hip-pocrates of Chios)和泰烏迪烏斯(Theudius)。所謂“啟下”,是指《幾何原本》對世界數學的深遠影響。它直接影響了其后阿基米德(Archimedes)和阿波羅尼奧斯(Apollonius of Perga)分別開創的計算幾何學和形式與狀態幾何學,古典幾何學在那時已經成熟。
現在常把古典幾何學稱為歐幾里得幾何學,簡稱歐氏幾何。近代以來發展出來的解析幾何、羅巴切夫斯基幾何(簡稱羅氏幾何)、黎曼幾何等,也都可以溯源于此。許多偉人如開普勒、牛頓、愛因斯坦等,都稱自己受到《幾何原本》的極大影響。
二、《幾何原本》的三大特點
《幾何原本》構建了一個非常嚴密的理論體系,它的誕生,標志著古典幾何學已經成熟。《幾何原本》具有如下三大特點:
第一個特點,《幾何原本》中的作圖題占比很高,但作圖時使用的工具只是圓規和直尺,而且直尺是無刻度的,這正是高度抽象化的歐幾里得幾何學的特色。歐幾里得用圓規和直尺作出許多不同類型的圖,例如正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形和正十五邊形等。直到兩千年后,才有高斯(Gauss)增補了正十七邊形的作法。
第二個特點,《幾何原本》全書使用嚴格的邏輯證題。現在常見的說法是,歐幾里得從五條“公理”和五條“公設”出發,加上一些定義,嚴格地推導出龐大的命題系統。例如,有人說:“上帝定義了點,組成了線,繼而有了面,疊成立體空間;歐幾里得左手拿著直尺,右手拿著圓規,通過五條公設和五條公理,繪出了世界。”
不過,在我看來,這種說法是不準確的。由表1的統計可見,《幾何原本》中的“公設”,全書一共引用了15次,其中有13次都在第一卷;而“公理”,全書一共引用了19次,其中有18次都在第一卷。由此可見,這些“公設”和“公理”主要影響的是第一卷。
表1 《幾何原本》中引用了公設與公理的命題

在《幾何原本》中,對“命題”有直接影響的是各卷的“定義”,有些“定義”也對其他卷有影響。尤其是第一卷的“定義”,對涉及幾何問題的各卷都有影響;第七卷的“定義”,對涉及數的問題的各卷都有影響。
當然,《幾何原本》中的這個公理系統是可以改進完善的,后世有很多數學家在這方面做了工作,其中最有名的是德國數學家希爾伯特(Hilbert),他于1899年提出了一個嚴格的公理系統。在希爾伯特提出的這個公理系統中,有“關聯公理”八條,說明三組幾何對象——點、直線和平面之間的關聯;有“順序公理”四條,說明直線上的點的相互關系;有“合同公理”五條,處理圖形的移動;有“連續公理”兩條,說明直線的連續關系;有“平行公理”一條,說明兩條直線間的平行關系。
實際上,《幾何原本》的嚴謹邏輯,主要體現在“命題”的結構中。我們前面提到的曾經給《幾何原本》做過注解的那位希臘數學家普羅克洛斯,對此有一個極好的說明,他說:
這套嚴格的論證體系得益于古希臘辯論家的縝密邏輯,對后世數學發展的影響不可估量。
第三個特點,《幾何原本》完全沒有具體數字。這種情況不僅出現在有關幾何學的各章,也出現在有關數論的各章。顯然,在數論的場合中,沒有具體數字往往會增加閱讀和理解的困難。為了讀者閱讀方便,我們在翻譯過程中構造了一些數字實例,以譯者注形式給出,希望對讀者有所幫助。雖然這似乎不是歐幾里得的本意,他實際上更希望讀者用抽象思維理解本書的內容。不過,對于時間有限的一般讀者來說,要做到這一點并不容易。
我們知道,現代中小學幾何學包括“作圖”“證明”和“計算”三個部分。可是,在《幾何原本》中,完全沒有出現“計算”這部分的內容。到了《幾何原本》問世幾十年以后,古希臘另一位科學巨人阿基米德才彌補了這一缺憾,他發展了幾何學的計算部分,我們稱之為度量幾何學。
三、《幾何原本》的主要內容
《幾何原本》共13卷,有5條公理,5條公設,130個定義,465個命題。這些命題之間,以及它們與定義、公理、公設之間,具有錯綜復雜的邏輯關系。
表2 各卷的定義和命題統計

圖1展示了《幾何原本》中的187個命題之間及它們與公設、公理和20個定義之間的關系。我們在此展示這張由計算機建模而制成的示意圖,主要目的是讓讀者對這種錯綜復雜的邏輯關系有一個大致認識。

圖1 《幾何原本》中公理、公設、定義與命題之間的邏輯關系示意圖
一些人認為,《幾何原本》的內容只是幾何學。其實,書中關于“數”的理論,也占了相當大的篇幅,幾近一半。不過其中多數內容,特別是關于不可公度線段的部分,現在已很少用到。
我們知道,在現代初等幾何中,包含了“作圖”“證明”和“計算”三類題目,其中前兩類,本書基本上都提及了。而關于“計算”,本書只給出了一些形狀的面積或體積的相對關系,至于具體數字結果,前面我們講過,還有待幾十年之后阿基米德來完成。
本書的內容可以分為三大部分,簡述如下。
第一部分,從第一卷到第六卷,講述平面幾何。
第一卷是開宗明義的首卷,十分重要。包括了公理、公設和平面幾何的主要定義,陳述了平面幾何的基本概念和結果。其核心命題是勾股定理及其逆定理(命題Ⅰ.46-48)。前面各命題或多或少為之作了鋪墊。歐幾里得對勾股定理的證明十分簡潔巧妙且有啟發性。我們特別在此展示,讀者在閱讀時可仔細領會、欣賞。
如圖2,欲證斜邊上的正方形等于二直角邊上的正方形之和。

圖2 勾股定理的幾何證明[1]
證明如下:
三角形ABF=正方形ABFG的一半,
三角形BDM=矩形BDLM的一半,
三角形BCF=三角形ABD(兩邊夾一角相等),
三角形BCF=三角形ABF(同底等高),
三角形BDM=三角形ABD(同底等高),
由以上條件,可得:
三角形BDM=三角形ABF,
正方形ABFG=矩形BDLM,
同理可證,正方形ACKH=矩形CELM,而正方形CBDE=矩形BDLM+矩形CELM,故正方形ABFG+正方形ACKH=正方形CBDE。
證畢。
第二卷有14個命題,它們其實是一些代數式的幾何表示。代數是后世阿拉伯人發明的。古希臘人用幾何圖形來表示代數式并作證明,頗具匠心。
第三卷討論圓和弓形及與之相關的弦、弧、角、切線、割線等,囊括了圓的幾何學的主要內容。
第四卷系統地處理了直線圖形與已知圓的相互內接、外切、內切與外接問題,并已對一般三角形、正方形、正五邊形、正六邊形和正十五邊形獲解。
第五卷講的是比與比例。“比”是兩個量之間的關系,“比例”是兩個比之間的關系。這一卷囊括了已知的所有比或比例,如:正、反、合、分比、更比、換比、依次(首末)、攝動等。這些比與比例十分有用且理解起來并不困難,但需仔細閱讀,搞清它們的定義和相互間的區別。
第六卷討論相似圖形,即對應角相等的圖形。還引入了黃金分割的概念和應用。
第二部分,從第七卷至第十卷,講述數的理論。
第七卷引入了各種數的概念,例如奇數、偶數、素數、合數、面數、體數、平方數、立方數、完全數等。還介紹了對它們的計算,如乘法、求最大公約數(公度)、求最小公倍數、相似面數、相似體數等。特別是最大公約數的輾轉相除法,一直沿用至今。這個著名的歐幾里得算法是他的數論的基礎。
第八卷與第九卷的內容緊密相連。主要講“連比例數組”及其性質。“連比例數組”其實是各項都是自然數的一個幾何級數。記住這一點,再參看我們構造的數字實例,就不難理解各個命題。
第十卷約占全書篇幅的四分之一,第一個命題給出了十分重要的窮舉法基礎,其余討論“可公度量”與“不可公度量”。記住,把這些量用指定為一單位的尺度量度得到一個數,就可以與現代數學中常用的有理數和無理數聯系起來,從而降低閱讀的難度。
第三部分,從第十一卷至第十三卷,講述立體幾何。
第十一卷敘述立體幾何基礎,主要研究立體角和平行六面體,它們分別相當于平面幾何中的三角形和平行四邊形。
第十二卷使用窮舉法討論球、棱錐、圓柱和圓錐的體積,但只提到例如球的體積與直徑立方成正比,并未真正定量。
第十三卷講解了五種正多面體。
《幾何原本》的內容十分豐富,定義很多,命題一個接一個,讀者往往不易掌握其間的關聯。我們對各卷內容做了詳細的分類和說明,主要以圖與表的形式,作為“內容提要”在每卷開頭列出,以便讀者對該卷的內容先有一個大致的了解。
四、《幾何原本》對現代中小學數學的影響
筆者的中小學時代始于七十多年前。那時我們在小學有算術,初中有平面幾何和代數,高中有三角和立體幾何。平面幾何與立體幾何中的證明題和作圖題,多半來自《幾何原本》,占比大約為50%,計算題當然不是來自歐幾里得。算術和代數估計也各有20%來自《幾何原本》。總體看來,那時數學大約有30%的內容來自《幾何原本》。
現在我國中小學數學教材,比幾十年前增加了不少內容,特別是高中數學教材(只考慮必修課),增加了集合、算法、統計、概率等內容。因此,《幾何原本》中的內容,在我國現行中小學教材中所占的比例有所下降。筆者根據幾本常用的小學、初中、高中數學書粗略統計得到,《幾何原本》在其中所占的比例分別約為15%,34%和9%。讀者可以從表3、表4、表5三個表中看出大致情況。表中的“內容占比”這一列,表示該章節知識內容在該學段數學書中的占比;“來自《幾何原本》”這一列,表示該章節知識內容本身有多少是來自《幾何原本》的;“實際占比”這一列,則由前兩列的數據相乘得來,表示該章節知識內容實際上有多少源于《幾何原本》。
表3 我國小學某版本數學教材中來自《幾何原本》的內容[2]

表4 我國初中某版本數學教材中來自《幾何原本》的內容[3]


表5 我國高中某版本數學教材中來自《幾何原本》的內容[4]

筆者也瀏覽了美國中小學的一些數學教材。美國還是分為算術、幾何、代數、三角等課程,但沒有統一的教科書,在必修課中并未看到集合、算法、統計、概率等內容。筆者估計,來自《幾何原本》的內容大約在30%左右。
的確,《幾何原本》影響了一代又一代的莘莘學子,為他們通向科學殿堂的道路打下了堅實的基礎。《幾何原本》在過去、現在和將來對科學思維的重要作用,怎么強調也不為過。正如愛因斯坦所言:“一個人當他最初接觸到歐幾里得幾何學時,如果不曾為它的明晰性和可靠性所感動,那么他是不會成為一個科學家的。”
五、非歐幾何
歐幾里得的第五公設與其他公設有兩點明顯不同,一是它相當冗長,二是歐幾里得一直推遲到命題Ⅰ.29才引用它,而且全書不過引用了四次(命題Ⅰ.29,Ⅰ.44,Ⅱ.10,Ⅵ.4)。看來歐幾里得本人也試圖避免它。因此,兩千多年來,不少人都試圖避免它或證明它,但均徒勞無功。
直到18世紀20年代,俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基(N.I.Lobachevsky)另辟蹊徑。他提出了一個與歐氏平行公設相矛盾的命題來代替第五公設,然后與歐氏幾何的前四個公設結合成一個公理系統,展開一系列的推理。他認為如果自己的新系統在基礎的推理中出現矛盾,就等于證明了第五公設。此即數學中的反證法。但是,在極為細致深入的推理過程中,他得出了一個又一個在直覺上匪夷所思,但在邏輯上毫無矛盾的命題。最后,羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論:
1.第五公設不能被證明。
2.在新的公理體系中展開的推理,得到了一系列在邏輯上沒有矛盾的新的定理,并形成了新的理論。這個理論像歐氏幾何一樣是完善嚴密的幾何學。
這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學。從羅氏幾何學中,可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結論:邏輯上不矛盾的一組公理都可以形成一種幾何學。
羅巴切夫斯基的論文《幾何學原理及平行線定理嚴格證明的摘要》于1829年2月23日在喀山大學的物理數學系學術會議上宣讀。參加這次學術會議的學者不乏著名的數學家、天文學家等。但該論文并未受到重視,反而因其離經叛道而被人們嘲笑,直到多年后才得到學術界的認可。
幾乎在羅巴切夫斯基創立非歐幾何學的同時,匈牙利數學家鮑耶(J.Bolyai)也得到了相同的結果。鮑耶的研究開始時未得到他的父親(也是數學家)的支持,但他堅持了下來,最終于1832年在他父親的一本著作里,以附錄的形式發表了研究結果。
同期,大數學家高斯也發現第五公設不能證明,并且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會遭到當時教會勢力的打擊和迫害,不敢公開發表自己的研究成果,也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基和鮑耶他們的新理論,只是在書信中向他的朋友表示了自己的認可。
另一種非歐幾何學是黎曼(B.Riemann)幾何。1845年,黎曼在哥廷根大學發表了題為《論作為幾何基礎的假設》的就職演講,標志著黎曼幾何的誕生。黎曼的新公理認為,“過直線外的一點不能作出一條平行線”。在黎曼幾何中,最重要的一種對象就是所謂的常曲率空間,對于三維空間,有曲率恒等于零、曲率為負常數和曲率為正常數三種情形。黎曼指出,前兩種情形分別對應于歐幾里得幾何學和羅巴切夫斯基幾何學,而第三種情形則是黎曼本人的創造,它對應于另一種非歐幾何學(圖3)。
近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的應用。愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論里,愛因斯坦放棄了關于時空均勻性的觀念,他認為時空只是在充分小的空間里近似地均勻,但是整個時空里卻是不均勻的。在物理學中,這種看法恰恰與黎曼幾何的觀念相吻合。

圖3 三種幾何學
六、幾何學的現代研究:希爾伯特公理系統
《幾何原本》為幾何學奠定了基礎,但如上所述,其公理系統并非嚴謹完備的,有改進的必要。但幾何學有堅實的基礎,且有不少互相關聯的分支,這就使數學家不可能只關心個別元素,而必須提供關于概念、公理和定理的一整套嚴密的系統,這是一項有相當難度的工作,由希爾伯特于20世紀末在《希爾伯特幾何基礎》一書中完成。
《希爾伯特幾何基礎》對歐幾里得幾何及有關幾何的公理系統進行了深入的研究,不僅對歐幾里得幾何提供了完善的公理體系,還給出證明一個公理對別的公理的獨立性以及一個公理體系確實為完備的普遍原則。
希爾伯特把幾何進一步公理化了。他首先敘述了一些不予定義的基本概念。設想有三組不同的東西,分別叫作點、直線和平面,它們被統稱為“幾何元素”,若它們之間的關系須滿足一定的公理要求,則稱這些幾何元素的集合為“幾何空間”。這樣,不同的幾何便是滿足不同公理要求的幾何元素的集合,這樣一來,也去掉了幾何學里那些與感性有關的東西,只保留抽象的邏輯骨架,不但不會喪失現實的基礎,反而擴大了幾何命題的范圍。
《希爾伯特幾何基礎》共七章,各章內容為:五組公理,公理的相容性和互相獨立性,比例論,平面中的面積論,德沙格定理,巴斯噶爾定理,根據五組公理的幾何作圖。全書成功地建立了歐幾里得幾何的完整的公理體系(希爾伯特公理體系),把幾何的基本對象叫作點、直線、平面,然后用五組公理確定了基本幾何對象的性質,并且推出了歐幾里得幾何的所有定理,使歐幾里得幾何成為一個邏輯結構非常完善且嚴謹的幾何體系。這本書成功地建立了希爾伯特公理體系,不僅使歐幾里得幾何的完善化工作告一段落,而且使數學公理方法基本形成,對20世紀數學的發展起了促進作用。
如上所述,希爾伯特把歐幾里得幾何轉化為下列五組共20條公理的體系:
第一組關聯公理8條,說明點、直線和平面三組幾何對象之間的關聯。
第二組順序公理4條,說明直線上的點之間的相互關系。
第三組合同公理5條,主要是為了處理圖形的移動而引進的。
第四組連續公理2條,說明直線的連續關系。
第五組平行公理1條,說明兩直線間的平行關系。
希爾伯特還明確地提出了公理體系的三個基本要求,即相容性、獨立性和完備性。而這五組公理滿足了這些要求。如果替換其中的某組公理,就可以得到不同的幾何學。例如把平行公理從歐幾里得的換成羅巴切夫斯基的,便是把“歐幾里得幾何學”換成了“羅巴切夫斯基幾何學”。另外,滿足前四組公理的幾何學被稱為“絕對幾何學”(Absolute Geometry)。
七、《導讀》的寫作說明
本導讀寫作過程中參考了不少文獻,這里列出主要的幾種,以供讀者深入閱讀或研究時參考。希思的英譯注釋本,卷帙浩繁,有豐富的歷史資料和詳細的注釋,是十分有用的參考書。[5]菲茨帕特里克(R.Fitzpatrick)的英譯本中附有海貝格的標準希臘語譯本,也很經典。[6]在網絡資源能找到另一些較新的英譯本。在這些較新譯本中,許多幾何圖形用Java語言生成,可以變動把玩。[7][8]有的用Java語言對公理、公設、定義與命題之間的邏輯關系編程,是深入研究其間邏輯關系的有用工具。本導讀中的部分圖即取材于此。
目前國內有售的《幾何原本》漢譯本將近十種,其中蘭紀正、朱恩寬的譯本有注釋,能幫助讀者更好理解原著。值得指出的是,《幾何原本》是一部嚴謹的經典學術巨著,并非輕松易讀的小書。如果簡單將之包裝為一般的科普書,其實十分不妥。為了便于一般讀者,特別是青少年讀者當作入門閱讀,我們同步編寫了《幾何原本》的學生版并于2022年8月出版。[9]學生版精選了原書的最重要部分(約六分之一)并輔以說明。