第1講 等份劃分

第1節(jié)　折疊描痕法

把一個(gè)圖形劃分為大小相等、形狀相同的幾部分叫作圖形的等份劃分。那么，如何將一個(gè)圖形劃分成相同的幾部分呢？這里介紹一種簡(jiǎn)單易行的方法——折疊描痕法。

【例1】　把正方形劃分成相同的4部分。

解：具體劃分方法如下圖所示。

聯(lián)想：還有別的折疊方法嗎？

【例2】　把大等邊三角形劃分成相同的4部分，使每部分的形狀都與原來的圖形一樣。

解：具體劃分方法如下圖所示。

第一步：左右對(duì)折，然后展開，將折痕描成虛線，虛線與底邊的交點(diǎn)就是底邊的中點(diǎn)。

第二步：將上角向下折疊，使該角的頂點(diǎn)與底邊的中點(diǎn)重合。

第三步：按照與第二步相同的方法折疊左角和右角。

第四步：將這三個(gè)角展開，描畫折痕。

聯(lián)想：對(duì)于下圖所示的一般三角形，能將其劃分為相同的4部分嗎？試試看！

【例3】　用折疊描痕法等分長(zhǎng)方形紙條。

（1）對(duì)折1次，展開描痕，數(shù)一數(shù)紙條被等分成了幾份。

（2）對(duì)折2次，展開描痕，數(shù)一數(shù)紙條被等分成了幾份。

（3）對(duì)折3次，展開描痕，數(shù)一數(shù)紙條被等分成了幾份。

（4）對(duì)折4次，展開描痕，數(shù)一數(shù)紙條被等分成了幾份。

（5）對(duì)折5次，展開描痕，數(shù)一數(shù)紙條被等分成了幾份。

解：等分的份數(shù)如下圖所示。

【例4】　將一張正方形紙片上下對(duì)折兩次，然后左右對(duì)折兩次，完成后展開描痕，看一看它被分成了多少個(gè)小正方形。

解：題意所述的折疊方法如下圖所示。

這張正方形紙片最終被分成了16個(gè)小正方形，如下圖所示。

【例5】　如下圖所示，一個(gè)長(zhǎng)方形由28個(gè)小正方形組成，請(qǐng)把它劃分成形狀相同、大小相等的4塊，你能有多少種劃分方法？

解：有多種劃分方法，部分如下圖所示。

提示：在本章中，如果一個(gè)圖形通過平移、旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后與另一個(gè)圖形重合，則我們認(rèn)為它們的形狀相同，大小相等。

【例6】　用兩條直線將正方形劃分成形狀相同、大小相等的4塊，有多少種劃分方法？

解：如下圖所示，兩條對(duì)角線一同旋轉(zhuǎn)時(shí)，即可將正方形劃分為4等份，因此有無數(shù)種劃分方法。

【例7】　請(qǐng)想辦法將正方形劃分為形狀相同、大小相等的20個(gè)直角三角形。

解：本題的難點(diǎn)在于將正方形劃分的份數(shù)太多，因此我們很難想象通過一步完成。這里分為兩步進(jìn)行，先把大正方形劃分為5個(gè)同樣的長(zhǎng)方形，然后將每個(gè)長(zhǎng)方形劃分為4個(gè)同樣的直角三角形，如右圖所示。

聯(lián)想：一種更有趣的劃分方式如下圖所示，妙不可言，發(fā)人深思！

【例8】　請(qǐng)把下圖所示的由15個(gè)小正方形組成的大長(zhǎng)方形劃分為3份，每一份剪開后都能折疊成一個(gè)無蓋的立方體盒子。

解：首先應(yīng)該弄清楚無蓋立方體盒子的展開圖是什么樣子，即有多少種不同形式的“五連格”，然后才能從中選擇符合題意要求的劃分方法。下面給出了無蓋立方體盒子的5種展開圖。

經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)第一種和第四種展開圖不能采用，因此本題唯一的劃分方式如下圖所示，所得的3種無蓋立方體盒子的展開圖為上述的第二種、第三種和第五種展開圖。

【例9】　用剪刀沿下圖中小方格的邊界把4×4方格紙剪成形狀和大小都相同的兩部分，共有幾種不同的剪法？

解：共有6種不同的剪法，如下圖所示。注意，剪切線必須經(jīng)過4×4方格紙的中心點(diǎn)才能使兩部分的形狀和大小完全相同，同時(shí)應(yīng)注意對(duì)稱性。

【例10】　在6×6方格紙的4個(gè)角各剪掉一個(gè)小方格，如右圖所示。從一邊的中點(diǎn)A開始，沿小方格的邊畫線，最終將方格紙分成形狀相同、方格數(shù)相等的兩部分，有幾種不同的分法？（注意，如果一組圖形通過平移、旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)可以與另一組圖形重疊，則認(rèn)為這兩種方法是同一種分法。）

解：共有14種分法，如下圖所示。