1.3　用數學證明

我：“話說回來，你知道這個判別法怎么證明嗎？”

由梨：“知道什么？”

我：“‘各位數相加，是不是3的倍數’是相當知名的判別法，但為什么這樣可以判別數是否為3的倍數呢？你知道原因嗎？”

由梨：“咦……”

由梨玩弄著發梢，一臉困擾。

我：“‘計算各位數相加是不是3的倍數’是3的倍數判別法，它的數學證明，初中生也辦得到。”

由梨：“證明？”

我：“數學證明指利用題目所給的條件，有條理地敘述某個數學主張。”

由梨：“這樣啊！”

我：“‘大概是這樣’或‘根據經驗，應該是這樣’無法說服人，必須‘有所根據，保證主張絕對成立’。”

由梨：“哦！有所根據，保證主張絕對成立。數學證明好像很對我的胃口哦！”

我：“你一定會喜歡。”

由梨很喜歡“瞬間了解”的感覺。

由梨：“怎么證明呢？”

我：“我們先把要證明的數的范圍縮小到1000以下吧。”

要證明的事項

設為整數，且（=0、1、2……998、999）。

設為的“各位數總和”，則有以下規則成立：

① 若是3的倍數，則是3的倍數；

② 若不是3的倍數，則不是3的倍數。

由梨：“哦。”

我：“你的反應好冷淡，這就是數學證明啊！”

由梨：“我不懂呢，哥哥，為什么一定要弄得這么復雜呢？寫一堆和……”

我：“為了精準地敘述問題，必須用和這種符號。如果用‘原本的數’或‘一開始的數’這種文字去敘述，難以辨別你所指的是哪個數。”

由梨：“可以用123這種數來練習嗎？”

我：“當然可以，以具體的例子練習與思考相當重要。”

由梨：“先加起來吧，，6是3的倍數。接著，把123除以3……呃……嗯，，剛好整除，所以123是3的倍數。OK，成功！”

我：“嗯，你剛才以具體的數123，來確認‘要證明的事項’的規則 ①。”

由梨：“是啊！”

我：“舉例是理解的試金石，以具體的數來確認要證明的事項，代表你已經明白要證明的事項是什么了。”

由梨：“嘿嘿。”

我：“不過……”

由梨：“嗯？”

我：“接下來，你必須更上一層樓，證明更一般化的情形。”

由梨：“一般化的情形？”

我：“沒錯，剛才你以具體的數123，確認規則 ① 為真，但是我們不可能確認0到999的所有數吧？”

由梨：“會嗎？124、567、999的計算都很簡單吧？”

我：“好吧，是我說得不夠精確。計算0到999的每個數，并不是不可能，但會相當費時費力。”

由梨：“對，好麻煩。”

我：“每個數都驗證會很浪費時間，這種情形在數學上用符號來表示。”

由梨：“符號？”

我：“沒錯，即‘用符號表示一般化’，用符號、、表示，如下所示。”

用符號來表示

設為整數，且。用、、表示，如下：

其中，、、為0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任意一個數。

由梨：“算式狂熱者出現了！”

我：“這種程度還不算狂熱。你能用乘法符號‘×’，表示嗎？”

由梨：“可以啊，是這樣吧？”

我：“沒錯，‘100倍的加10倍的，再加’。”

由梨：“咦？是什么意思？”

我：“問得好，由梨。在這里，代表百位數，代表十位數，代表個位數。”

由梨：“為什么？”

我：“咦，為什么啊？”