- Python概率統(tǒng)計
- 李爽編著
- 1786字
- 2024-12-27 19:43:16
1.2 事件的關(guān)系與運算
本節(jié)介紹事件之間的關(guān)系與運算規(guī)律。
1.2.1 事件的關(guān)系與運算
由于事件是樣本空間的一個子集，因而事件的關(guān)系與運算就是集合的關(guān)系與運算。事件的運算主要有并、交、差等。
（1）并集：“事件A與B至少有一個發(fā)生”的事件稱為事件A與B的并集，記為A∪B。
（2）交集：“事件A與B同時發(fā)生”的事件稱為事件A與B的交集，記為A∩B或AB。
（3）差集：“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”的事件稱為A與B的差集，記為A-B；“事件B發(fā)生而事件A不發(fā)生”的事件稱為B與A的差集，記為B-A。
事件的關(guān)系主要有包含、相等、相容、互斥、對立等。
（1）包含：如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，記作A?B。
（2）相等：如果A?B且B?A，則稱事件A=B。也就是說，A與B由完全相同的試驗結(jié)果構(gòu)成，它們是同一事件，只是說法不同而已。
（3）相容與互斥：如果A∩B=?，則稱事件A與B不相容，或A與B互斥；如果A∩B≠?，則稱事件A與B相容。互斥的事件不能同時發(fā)生。
（4）對立：如果A∩B=?且A∪B=S，則稱事件A與B對立，或A與B互為對立事件。也就是說，每次試驗事件A與B必有一個發(fā)生，并且僅有一個發(fā)生。A的對立事件記為
。
【例1-2】 設(shè)A、B和C是隨機(jī)事件，則結(jié)論正確的是（ ）。
A．當(dāng)AB=AC時，必有B=C
B．當(dāng)AB?AC時，必有B?C
C．當(dāng)AB=?且A=B時，必有A=?
D．當(dāng)AB=A時，必有A=B
解：當(dāng)A=B且AB=?時，有A=A，必有A=?，即選C。
【例1-3】 從一批產(chǎn)品中每次抽一件不放回，如此抽取三次，用Ai（i=1，2，3）表示事件“第i次取到的產(chǎn)品為正品”。
（1）用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录?i>A1A2∪A2A3∪A1A3，
。
（2）用Ai（i=1，2，3）表示下列事件：至少取到2件次品，最多取到2件正品。
解：（1）A1A2∪A2A3∪A1A3表示至少取到2件正品或最多取到1件次品。
表示至少取到1件次品或最多取到2件正品。
（2）至少取到2件次品：
；最多取到2件正品：
。
1.2.2 事件的運算律
事件的運算滿足以下規(guī)律。
（1）交換律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A。
（2）結(jié)合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；（A∩B）∩C=A∩（B∩C）。
（3）分配律：A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）。
（4）對偶律或德摩根律：
。
【例1-4】 設(shè)A、B和C是隨機(jī)事件，A的發(fā)生必然導(dǎo)致B與C最多有一個發(fā)生，則有（ ）。
A．A?BC
B．A?BC
C．
D．
解：B與C最多有一個發(fā)生就是B與C不能同時發(fā)生，即
。A導(dǎo)致了
就是
，也就是
，選D。
【例1-5】 設(shè)A和B滿足關(guān)系式
，則必有（ ）。
A．A-B=?
B．AB=?
C．
D．
解：因為
，所以
，即
，也就是
，AB=?。選B。
【例1-6】 設(shè)A、B和C是隨機(jī)事件，則結(jié)論正確的是（ ）。
A．當(dāng)A∪C=B∪C時，就有B=A
B．當(dāng)A-C=B-C時，就有B=A
C．當(dāng)A-B=C時，就有A=B∪C
D．當(dāng)
時，就有ABC=?
解：當(dāng)
時，有
。選D。
事件的運算律，代碼如下：
#第1章/1-1.py
import numpy as np
#全集
Omega = np.array(range(23))
A = np.array([0, 3, 4, 5, 23, 7])
B = np.array([3, 5, 14, 15, 18, 7, 9])
C = np.array([13, 5, 0, 15, 18, 17, 19])
print('樣本空間為', Omega)
print('集合A為', A)
print('集合B為', B)
print('集合C為', C)
#交換律
print('交換律:')
AB = np.intersect1d(A, B)
BA = np.intersect1d(B, A)
AB2 = np.union1d(A, B)
BA2 = np.union1d(B, A)
print('A交B等于', AB)
print('B交A等于', BA)
print('A并B等于', AB2)
print('B并A等于', BA2)
#結(jié)合律
print('結(jié)合律:')
t1 = np.union1d(np.union1d(A, B), C)
print('(A并B)并C為', t1)
t2 = np.union1d(A, np.union1d(B, C))
print('A并(B并C)為', t2)
t1 = np.intersect1d(np.intersect1d(A, B), C)
print('(A并B)并C為', t1)
t2 = np.intersect1d(A, np.intersect1d(B, C))
print('A并(B并C)為', t2)
#分配律
print('分配律:')
t1 = np.intersect1d(A, np.union1d(B, C))
t2 = np.union1d(np.intersect1d(A, B), np.intersect1d(A, C))
print('A交(B并C)為', t1)
print('(A交B)并(A交C)為', t2)
t1 = np.union1d(A, np.intersect1d(B, C))
t2 = np.intersect1d(np.union1d(A, B), np.union1d(A, C))
print('A并(B交C)為', t1)
print('(A并B)交(A并C)為', t2)
#對偶律
print('對偶律:')
a = np.intersect1d(A, B)
t1 = np.setdiff1d(Omega, a)
print('(A交B)的補集為', t1)
t2 = np.union1d(np.setdiff1d(Omega, A), np.setdiff1d(Omega, B))
print('A補并B補為', t2)
a = np.union1d(A, B)
t1 = np.setdiff1d(Omega, a)
print('(A并B)的補集為', t1)
t2 = np.intersect1d(np.setdiff1d(Omega, A), np.setdiff1d(Omega, B))
print('A補并B補為', t2)
輸出如下：
樣本空間為[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22]
集合A為[0 3 4 5 23 7]
集合B為[3 5 14 15 18 7 9]
集合C為[13 5 0 15 18 17 19]
交換律:
A交B等于[3 5 7]
B交A等于[3 5 7]
A并B等于[0 3 4 5 7 9 14 15 18 23]
B并A等于[0 3 4 5 7 9 14 15 18 23]
結(jié)合律:
(A并B)并C為[0 3 4 5 7 9 13 14 15 17 18 19 23]
A并(B并C)為[0 3 4 5 7 9 13 14 15 17 18 19 23]
(A并B)并C為[5]
A并(B并C)為[5]
分配律:
A交(B并C)為[0 3 5 7]
(A交B)并(A交C)為[0 3 5 7]
A并(B交C)為[0 3 4 5 7 15 18 23]
(A并B)交(A并C)為[0 3 4 5 7 15 18 23]
對偶律:
(A交B)的補集為[0 1 2 4 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22]
A補并B補為[0 1 2 4 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22]
(A并B)的補集為[1 2 6 8 10 11 12 13 16 17 19 20 21 22]
A補并B補為[1 2 6 8 10 11 12 13 16 17 19 20 21 22]
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