1.8　常見考題解析：隨機(jī)事件和概率

本章是概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)，近幾年單獨(dú)出本章考題較少，大都是作為基礎(chǔ)知識點出現(xiàn)在以后的各章考題中。本章的基本概念、基本理論和基本方法應(yīng)熟練掌握。

本章的考題主要是選擇、填空等客觀題。考核重點有事件的關(guān)系和運(yùn)算，概率的性質(zhì)，概率的加法、減法、乘法公式，全概率公式和貝葉斯公式，古典概型與伯努利概型。本章的考題不難，重在理解概念和掌握基本技巧，不必追求復(fù)雜的難題。

【考題1-1】　有3個箱子，第1個箱子有4個黑球1個白球，第2個箱子有3個黑球3個白球，第3個箱子有3個黑球5個白球。現(xiàn)隨機(jī)地取一個箱子，再從這個箱子里取出一個球，這個球是白球的概率是多少？若已知此球是白球，則此球來自第2個箱子的概率是多少？

解：設(shè)事件A為取出白球，設(shè)事件Bi為從第i個箱子取出。由全概率公式可得

如果已知此球是白球，即時間A發(fā)生，求來自第2個箱子，即求P（B2|A），由貝葉斯公式可得

代碼如下：

     #第1章/1-13.py
     PB1 = PB2 = PB3 = 1/3
     PA_B1 = 1/5
     PA_B2 = 1/2
     PA_B3 = 5/8
     p = PB1 * PA_B1 + PB2 * PA_B2 + PB3 * PA_B3
     print('白球的概率為', p)
     p2 = PB2 * PA_B2/p
     print('來自第2個箱子的概率為', p2)

輸出如下：

     白球的概率為0.44166666666666665
     來自第2個箱子的概率為0.3773584905660377

【考題1-2】　已知事件A的概率P（A）=0.5，事件B的概率P（B）=0.6，條件概率P（B|A）=0.8，求概率P（B∪A）是多少？

解：P（B∪A）=P（A）+P（B）-P（A∩B）=P（A）+P（B）-P（B|A）P（A）=0.7

【考題1-3】　甲乙兩人獨(dú)立射擊同一目標(biāo)，命中率分別是0.6和0.5。現(xiàn)已知目標(biāo)被射中，則它是甲射中的概率為多少？

解：設(shè)事件A為甲射中，事件B為乙射中，則射中的概率為

P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）

又知道甲乙兩人獨(dú)立射擊，故P（A∩B）=P（A）P（B），因此

P（A∪B）=0.6+0.5-0.6?0.5=0.8

由貝葉斯公式可知，所求的概率為

【考題1-4】　設(shè)事件A和B，A∪B的概率分別是0.4、0.3和0.6，如果表示B的對立事件，則積事件是多少？

解：由可知，只需求出P（AB）。再根據(jù)

P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）

得P（AB）=0.4+0.3-0.6=0.1，從而得。

【考題1-5】　已知P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=0，P（AC）=P（BC）=1/12，則事件A、B和C全不發(fā)生的概率為多少？

解：先求P（A∪B∪C）：

然后由可知。

【考題1-6】　一批產(chǎn)品共有10個正品和2個次品，任意抽取兩次，每次抽完后不放回，則第2次抽出是次品的概率是多少？

解：設(shè)Ai表示第i次抽出次品，則由全概率公式

【考題1-7】　若A和B兩個事件滿足條件，并且P（A）=p，則P（B）是多少？

解：由知P（A）+P（B）=1，故P（B）=1-p。

【考題1-8】　設(shè)工廠A和B的產(chǎn)品次品率分別為1%和2%，現(xiàn)從工廠A和B分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該次品是工廠A生產(chǎn)的概率是多少？

解：設(shè)事件A表示產(chǎn)品由A工廠生產(chǎn)，表示產(chǎn)品由B工廠生產(chǎn)；設(shè)事件B表示取出的產(chǎn)品是次品；所求概率為P（A|B），由貝葉斯公式

【考題1-9】　設(shè)A和B是事件，并且，則必有（　　）。

A．

B．

C．P（AB）=P（A）P（B）

D．P（AB）≠P（A）P（B）

解：由可得

故，整理可得P（AB）=P（A）P（B）。

【考題1-10】　設(shè)兩兩相互獨(dú)立的3個事件A、B和C滿足ABC=?，P（A）=P（B）=P（C）＜1/2，并且P（A∪B∪C）=9/16，則P（A）是多少？

解：設(shè)P（A）=x ，則由

得到3x-3x2+0=9/16，解出x=1/4或x=3/4。又已知x＜1/2，則P（A）=1/4。

【考題1-11】　設(shè)兩個互相獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生與B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，則P（A）是多少？

解：由于，所以P（A）-P（AB）=P（B）-P（AB），即P（A）=P（B）。又因為，并且A和B獨(dú)立，所以，故P（A）=2/3。

【考題1-12】　已知甲乙兩個箱中裝有同種產(chǎn)品，甲箱中有3件合格品和3件次品，乙箱中有3件合格品，從甲箱中任取3件放入乙箱，求

（1）乙箱中次品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。

（2）從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率。

解：（1）設(shè)X為從甲箱中取出次品的個數(shù)，X可能的取值為0、1、2、3，先求X的分布，

則E（X）=P（X=0）×0+P（X=1）×1+P（X=2）×2+P（X=3）×3=3/2

（2）設(shè)A表示從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品，由全概率公式可得

代碼如下：

     #第1章/1-14.py
     from scipy.special import comb
     import numpy as np
     n1a = 3
     n1b = 3
     n2a = 3
     #第(1)問
     k = np.array([0, 1, 2, 3])
     p = comb(3, k) * comb(3, 3 - k)/comb(6, 3)
     p = (k * p).sum()
     print('乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望為', p)
     #第(2)問
     p = comb(3, k) * comb(3, 3 - k)/comb(6, 3)
     p = (k/6 * p).sum()
     print('從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率為', p)

輸出如下：

     乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1.5
     從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率為0.24999999999999997

【考題1-13】　設(shè)A和B為事件，并且P（B）＞0，P（A|B）=1，則必有（　　）。

A．P（A∪B）＞P（A）

B．P（A∪B）＞P（B）

C．P（A∪B）=P（A）

D．P（A∪B）=P（B）

解：由

可得P（AB）=P（B），從而有P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）。

【考題1-14】　設(shè)在一次試驗中，事件A發(fā)生的概率為p，現(xiàn)進(jìn)行n次獨(dú)立試驗，則A至少發(fā)生一次的概率為多少？事件A至多發(fā)生一次的概率為多少？

解：A至少發(fā)生一次的概率為1-（1-p）n；A至多發(fā)生一次的概率為（1-p）n+np（1-p）n-1。

【考題1-15】　設(shè)在三次獨(dú)立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率相等，如果已知A至少出現(xiàn)一次的概率等于19/27，則事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率為多少？

解：根據(jù)題意，A至少出現(xiàn)一次的概率等于19/27，則A一次也沒出現(xiàn)的概率為8/27，從而，解得，即P（A）=1/3。

代碼如下：

     #第1章/1-15.py
     from sympy import *
     p = 1-Rational(19, 27)
     q = p ** (Rational(1, 3))
     print('事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率為', q)

輸出如下：

     事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率為2/3

【考題1-16】　在區(qū)間（0，1）中隨機(jī)取兩個數(shù)，則兩個數(shù)之和小于6/5的概率為多少？

解：本題是幾何概型，不妨假定隨機(jī)取出的兩個數(shù)分別是X和Y，它們是相互獨(dú)立的。如果把（X，Y）看成平面上一個點的坐標(biāo)，則由于0＜X＜1，0＜Y＜1知，（X，Y）是相應(yīng)的正方形中的一個點。所求概率為X+Y＜6/5的區(qū)域，即陰影區(qū)域，面積為17/25，如圖1-4所示。

圖1-4　考題1-16示意圖

【考題1-17】　隨機(jī)向半圓內(nèi)投擲一點，點落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與該區(qū)域的面積成正比，則原點和該點連線與x軸的夾角小于π/4的概率為多少？

解：本題是幾何概型，見圖1-5，所求概率為陰影區(qū)域的面積占半圓面積的比例，即

圖1-5　考題1-17示意圖

【考題1-18】　袋中有50個乒乓球，其中20個是黃球，30個是白球。今有兩人依次從袋中各取一球，取后不放回，則第2個人取得黃球的概率為多少？

解：設(shè)Ai為第i個人取得黃球，根據(jù)全概率公式

【考題1-19】　某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次命中目標(biāo)的概率為p，則此人4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為（　　）。

A．3p（1-p）2

B．6p（1-p）2

C．3p2（1-p）2

D．6p2（1-p）2

解：4次射擊恰好第2次命中說明4次且前3次射擊恰有一次命中。故所求概率為

【考題1-20】　在區(qū)間（0，1）中隨機(jī)地取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之差的絕對值小于1/2的概率為多少？

解：本題是幾何概型。不妨假定隨機(jī)取出的兩個數(shù)分別是X和Y，它們是相互獨(dú)立的。如果把（X，Y）看成平面上一個點的坐標(biāo)，則由0＜X＜1，0＜Y＜1可知，（X，Y）是相應(yīng)的正方形中的一個點。所求概率為|X-Y|＜1/2的區(qū)域，即陰影區(qū)域，面積為3/4，如圖1-6所示。

圖1-6　考題1-20示意圖