1　緒論

1.1　研究的背景和意義

地球重力場作為大地測量學領域一個重要的物理量，對研究地球形狀及其內部構造有重要意義。地球重力場是地球系統質量空間分布的綜合反映，提供地球表面及其外部空間一切運動物體力學行為的先驗約束，決定著地球的物理形狀以及外部空間的物質運動狀態，因此歷來是大地測量學研究的核心問題和熱點問題（寧津生，2001）。

確定地球重力場，主要是建立重力場模型和確定大地水準面，特別是確定區域性高分辨率和高精度的大地水準面模型（李建成等，2003）。大地水準面作為一個最接近平均海平面的重力等位面，是正高的起算基準面。一方面，高精度的大地水準面為確定地球幾何形狀提供了重要保障，借助于精確的大地水準面信息，GPS（全球定位系統）橢球高便能轉化為正高，在一定程度上取代傳統耗時、費力的水準測量方法；另一方面，大地水準面的分布及其變化與地球內部物質的密度異常密切相關。大地水準面的長波信息主要反映地球深部或下地幔的密度異常分布；而中短波信息與巖石圈內部負荷及地形有很強的相關性。密度異常對大地水準面起伏造成的影響如圖1-1所示。

從圖1-1可以看到，在質量過剩的區域，大地水準面在橢球面之上，對應的重力異常為正值；而在質量虧損的區域，大地水準面在橢球面之下，對應的重力異常為負值。除此之外，大地水準面還可用于研究巖石圈的熱演化過程和彈性厚度、地幔對流、造山運動、火山熱點、大洋中脊等地球動力學問題（見圖1-2）。因此，精確的大地水準面信息對地球物理學、大地構造學等地球相關學科的研究具有十分重要的意義。

近幾十年，空間觀測技術和地面觀測手段都得到了顯著改善，地球局部地區累積了越來越多的重力觀測數據，如地面重力數據、衛星重力數據、航空重力數據和測高重力數據等，重力場數據的觀測精度和分辨率都得到了前所未有的提高。但是，隨著固體地球物理學、海洋學和冰川學等地球相關學科研究的不斷深入，對重力場數據的觀測精度和分辨率的需求也達到了新的高度，重力場模型的發展依然相對滯后。

目前，國際上公認的地球重力場模型EGM2008和EIGEN-6C的大地水準面整體精度僅為±24cm（與GPS/水準比較）；世界各國單獨構建的大地水準面模型，即使是歐美等發達國家，在復雜地區的精度也在±5cm之外。上述這些情況不僅難以滿足現代大地測量厘米級的大地水準面精度要求，也與地球相關學科對重力場模型精度和分辨率的需求相去甚遠（見表1-1）。因此，如何充分有效地融合各類重力數據，彌補彼此間的不足，構建高于2000階、大地水準面精度優于1cm和重力異常精度優于1mGal的地球重力場模型的任務依然艱巨。

地球重力場模型通常用球諧函數進行表達，如EGM2008和EIGEN-6C等，但由于大氣、海洋潮汐等背景場以及球諧函數本身固有特性的影響，球諧函數重力場模型的精度仍有較大的提升空間。一方面，球諧系數的解算需要全球范圍足夠均勻的重力觀測值，以便進行數值積分（調和分析法），實際上，上述條件很難滿足，因此必須對原始數據進行格網化，但在格網化的同時會引入插值誤差。另一方面，球諧函數難以顧及重力場信號分布的不均勻性，進而會造成局部有用信號的嚴重浪費。例如，若要恢復復雜地區的重力場信號（高山、陸海交界區等），則必須采用高階或超高階球諧函數建模，這不僅會導致平滑信號區域的過度參數化，大量的球諧函數系數還會給計算機性能帶來嚴峻的挑戰；相反，若僅考慮稀缺區和平坦區域（這些區域的重力場模型階次無須太高），雖然不會出現過度參數化和數值不穩定現象，但復雜地區的高頻信號將不能恢復。

實際上，造成球諧函數重力場模型劣勢的原因是其全局緊支撐特性，或者說其缺乏空間“局部化”特性。這里的“局部化”，指的是一個函數在某特定的域（空域或頻域）內非零范圍的大小，范圍越小，該函數的局部化特性越好（Eicker，2008）。Heisenberg的不確定性理論指出，一個函數可以同時擁有頻率局部化特性和空間局部化特性，但兩種局部化特性不可能同時達到最優化效果，即一個函數的空間局部化特性越好，其頻率局部化特性必然越差；反之亦然。圖1-3清晰地展示了函數局部化特性的變化規律。

從圖1-3可以看到，球諧函數具有最佳的頻率局部化特性，每個固定的階次都有一個單一的頻率與之對應，但是不具備任何的空間局部化特性，即任意一個球諧函數在球面上的幾乎所有區域都不等于零。因此，球諧函數又被稱為“全局支撐函數”，即任何一個球諧系數的改變都會導致整個重力場發生變化；反之，局部地區任何重力場變化也會影響整套的球諧函數系數。所以，雖然球諧函數在構建全球重力場方面取得了非常豐碩的成果，但在局部重力場的表示方面，顯得無能為力。

與球諧函數對應的另一個極端是狄拉克（Dirac）函數（見圖1-3），它的特點是只有一個球面點值不為零，因而具有最好的空間局部化特性，但也失去了頻率局部化特性。

徑向基函數是球諧函數和Dirac函數的折中（見圖1-3），兼具優良的空間局部化特性和頻率局部化特性，近年來在模型化局部重力場方面受到越來越多的青睞。一般地，徑向基函數分為帶限與非帶限兩種類型，非帶限型徑向基函數可以用閉合公式表達，空間局部化特性顯著，但不如帶限型徑向基函數在表示觀測數據時那樣靈活。利用徑向基函數的球面展開，可將重力場信號表達為多個依賴頻率的細節信號，進而逼近局部大地水準面。徑向基函數還能顧及觀測數據不同的頻譜特性、空間分布和精度差異，非常適合融合多種類型的重力觀測數據共同建模。徑向基函數的數量由建模區域和觀測數據的分布等因素共同決定，不過數量一般不會太大，這使得徑向基函數較球諧函數在數值計算方面存在優勢。此外，徑向基函數系數與球諧系數還可以互相轉換，現有的球諧分析工具仍然可以繼續使用。總之，徑向基函數方法在融合多源重力數據、構建高精度高分辨率重力場模型方面有巨大的發展潛力，因此本書重點挖掘其在上述兩個方面的能力。