◆歐幾里得的方法

圖1 古希臘數學家歐幾里得。

大約在公元前300年，古希臘數學家歐幾里得（圖1）寫過一本書，對幾何學進行了系統的論述。直到今天，這本書還被我們學習運用。

對于現在的中學生來說，書中的很多定理都非常簡單，但是在泰勒斯那個時代，還沒有這些定理。而在測量金字塔高度的過程中，必須利用到其中的一些定理，也就是下面的這些三角形特性：

●等腰三角形的兩個底角相等。反過來，如果三角形有兩個角相等，那么這兩個角的對邊也相等。

●對于任意一個三角形，它的內角和等于180°。

泰勒斯發明的測量高度的方法，正是建立在三角形的這兩個特性之上的。當影子的長度等于他的身高時，就說明太陽照向地面的角度正好等于直角的一半，也就是45°。這時候，金字塔的高度和影子的長度正好是一個等腰直角三角形的兩條邊，所以它們是相等的。

如果天氣比較好，在太陽的照射下，大樹便會有影子。這時，便可以利用這種方法來測量大樹的高度。不過最好是獨立的大樹，否則樹的影子會重合，不便于測量。

但是，如果是在緯度比較高的地方，這個方法并不是很好用。這是因為在這些地方，只有在夏天中午很短的一段時間里，影子的長度才會跟物體的高度相等。所以并不是所有的地方都可以使用這個方法。

不過，在這種地方，我們可以把這個方法改進一下，只要有影子就可以得到物體的高度。這時需要做的工作就是，先分別測量出物體的影子和自己的影子的長度，然后利用下面的比例關系計算出物體的高度，如圖2所示。

圖2

圖3

AB∶ab＝BC∶bc

這個關系之所以成立，也是利用了幾何學中的知識，如果三角形ABC和三角形abc相似，那么它們的對應邊就是成比例關系的。

所以，物體的影子長度與身體的影子長度的比值，就等于物體的高度跟身高的比值。

你可能會疑惑，這么簡單的道理還需要用幾何學來證明嗎？如果沒有幾何學，難道我們就沒有辦法得到物體的高度了嗎？其實，事實就是這樣的。

如圖3所示，剛才的方法并不適用于路燈以及它所形成的影子。從圖中可以看出，柱子AB的高度是矮木樁ab的3倍，但是它們的影子BC和bc卻不是3倍的關系，而是差不多8倍的關系。

如果沒有幾何學，想要充分解釋這個方法的原理，并且說明為什么這個方法在此行不通，是很難的。