第二節(jié)　投入產(chǎn)出基本模型

一、價(jià)值型投入產(chǎn)出表的平衡關(guān)系

價(jià)值型投入產(chǎn)出表可以按行、按列以及行與列之間分別建立起平衡關(guān)系。

（一）各行的平衡關(guān)系

各行的平衡關(guān)系為：各行的中間產(chǎn)品+各行的最終產(chǎn)品=各行的總產(chǎn)品。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

即

這些平衡關(guān)系反映了各產(chǎn)業(yè)部門(mén)產(chǎn)品的流向。

（二）各列的平衡關(guān)系

各列的平衡關(guān)系為：各列的生產(chǎn)資料轉(zhuǎn)移價(jià)值+各列新創(chuàng)造價(jià)值=各列的總產(chǎn)值。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

即

各列的平衡關(guān)系說(shuō)明了各產(chǎn)業(yè)部門(mén)的價(jià)值形成的產(chǎn)出過(guò)程，反映了每一產(chǎn)業(yè)部門(mén)的產(chǎn)出與各產(chǎn)業(yè)部門(mén)為之投入的平衡關(guān)系。

（三）行與列之間的平衡關(guān)系

橫行各產(chǎn)業(yè)部門(mén)的總產(chǎn)出等于相對(duì)應(yīng)的同名稱(chēng)的縱列各產(chǎn)業(yè)部門(mén)的總投入。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

最終產(chǎn)品總量等于國(guó)民收入總量和固定資產(chǎn)折舊總量之和，需求部分和附加價(jià)值部分相等。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

二、投入產(chǎn)出模型

投入產(chǎn)出模型是由系數(shù)、變量的函數(shù)關(guān)系組成的數(shù)學(xué)方程組構(gòu)成。其模型建立一般分兩步：第一步，依據(jù)投入產(chǎn)出表計(jì)算各類(lèi)系數(shù)；第二步，在第一步基礎(chǔ)上，依據(jù)投入產(chǎn)出表的平衡關(guān)系，建立投入產(chǎn)出的數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)式，即投入產(chǎn)出模型。

（一）各類(lèi)系數(shù)

1．直接消耗系數(shù)

直接消耗系數(shù)又叫投入系數(shù)，其經(jīng)濟(jì)含義是生產(chǎn)單位j產(chǎn)品所直接消耗的i產(chǎn)品的數(shù)量，直接消耗系數(shù)的計(jì)算公式為

用矩陣形式表示則為

式（1-7）中

矩陣A就是直接消耗系數(shù)矩陣，反映了投入產(chǎn)出中各產(chǎn)業(yè)部門(mén)間的技術(shù)經(jīng)濟(jì)聯(lián)系和產(chǎn)品之間的技術(shù)聯(lián)系。直接消耗系數(shù)是建立模型最重要、最基本的系數(shù)。

2．直接折舊系數(shù)

直接折舊系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義是某產(chǎn)業(yè)部門(mén)生產(chǎn)單位產(chǎn)品所提取的直接折舊費(fèi)用的數(shù)額。其計(jì)算公式為

其中，a_Dj表示第j產(chǎn)業(yè)部門(mén)單位產(chǎn)品所提取的折舊費(fèi)。

3．國(guó)民收入系數(shù)

國(guó)民收入系數(shù)也稱(chēng)凈產(chǎn)值系數(shù)，表示某產(chǎn)業(yè)部門(mén)生產(chǎn)單位產(chǎn)品所創(chuàng)造的國(guó)民收入或凈產(chǎn)值的數(shù)額。其計(jì)算公式為

其中，a_Nj表示j部門(mén)生產(chǎn)單位產(chǎn)品所創(chuàng)造的國(guó)民收入數(shù)額。

4．完全消耗系數(shù)

由于各產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)品在生產(chǎn)過(guò)程中除了與相關(guān)產(chǎn)業(yè)有直接聯(lián)系外，還與有關(guān)產(chǎn)業(yè)有間接聯(lián)系，從而使得各產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)品在生產(chǎn)中除了直接消耗，還存在間接消耗，完全消耗系數(shù)是對(duì)這種直接消耗聯(lián)系與間接消耗聯(lián)系的全面反映。完全消耗系數(shù)在投入產(chǎn)出分析中起著重要的作用，它能深刻地反映一個(gè)部門(mén)的生產(chǎn)與本部門(mén)和其他部門(mén)發(fā)生的經(jīng)濟(jì)數(shù)量關(guān)系，因此，完全消耗系數(shù)比直接消耗系數(shù)更本質(zhì)、更全面地反映部門(mén)內(nèi)部和部門(mén)之間的技術(shù)經(jīng)濟(jì)聯(lián)系，這對(duì)正確地分析國(guó)民經(jīng)濟(jì)、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)十分重要。除此之外，完全消耗系數(shù)對(duì)經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和計(jì)劃制訂也有很大的作用。

完全消耗系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義是某產(chǎn)業(yè)部門(mén)單位產(chǎn)品的生產(chǎn)，對(duì)各產(chǎn)業(yè)部門(mén)產(chǎn)品的直接消耗量和間接消耗量的總和。也就是說(shuō)，完全消耗系數(shù)等于直接消耗系數(shù)與間接消耗系數(shù)之和。用公式表示為

其中，b_ij為完全消耗系數(shù)，表示生產(chǎn)單位j產(chǎn)品直接消耗和間接消耗i產(chǎn)品數(shù)量之和（i=1，2，…，n）；a_ij為直接消耗系數(shù)，其含義如前所述；為間接消耗系數(shù)，其中k為中間產(chǎn)品部門(mén)，表示通過(guò)k種中間產(chǎn)品而形成的生產(chǎn)單位j產(chǎn)品對(duì)i產(chǎn)品的全部間接消耗量。

用矩陣表示，即

式（1-11）中

（I-A）^-1是（I-A）的逆陣。

上述系數(shù)的確立，為建立一系列的投入產(chǎn)出模型做了準(zhǔn)備。

（二）投入產(chǎn)出兩個(gè)基本模型

1．按行平衡關(guān)系式建立的投入產(chǎn)出模型

由直接消耗系數(shù)，得到x_ij=a_ij×X_j，并將其代入上文按行建立的平衡關(guān)系式，就得到如下投入產(chǎn)出模型

用矩陣變換，上述投入產(chǎn)出方程組模型可轉(zhuǎn)換成

（I-A）X=Y

其變換過(guò)程是：

用和式號(hào)表示上述方程組，則為

由式（1-14）移項(xiàng)得

將式（1-15）變換成矩陣，則得到

式（1-16）中

（I-A）被稱(chēng)為列昂惕夫矩陣，其經(jīng)濟(jì)含義是，矩陣中的縱列表明每種產(chǎn)品的投入與產(chǎn)出關(guān)系；每一列都說(shuō)明某產(chǎn)業(yè)為生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所要投入各相應(yīng)產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)品數(shù)量；負(fù)號(hào)表示投入，正號(hào)表示產(chǎn)出，對(duì)角線(xiàn)上各元素則是各產(chǎn)業(yè)產(chǎn)品扣除自身消耗后的凈產(chǎn)出。顯然，上述投入產(chǎn)出的變換矩陣式（1-16），通過(guò)矩陣（I-A）把X與Y的關(guān)系揭示了出來(lái)，即揭示了總產(chǎn)品與最終產(chǎn)品之間的相互關(guān)系。

2．按列平衡關(guān)系式建立的投入產(chǎn)出模型

同理，將x_ij=a_ij代入按列建立的平衡關(guān)系式，可得如下投入產(chǎn)出模型

用矩陣可將該模型轉(zhuǎn)換成：。

其轉(zhuǎn)換過(guò)程是：

將直接折舊系數(shù)公式得到的D_i=a_DjX_j代入上述方程組，用和式符號(hào)表示：，可得

將式（1-18）整理可得

將式（1-19）寫(xiě)成矩陣形式可得

其中，I為單位矩陣，X矩陣同前。

矩陣各元素描述了轉(zhuǎn)移價(jià)值系數(shù)，即直接物質(zhì)消耗系數(shù)加直接折舊系數(shù)；矩陣中的各元素則揭示了總產(chǎn)值與國(guó)民收入之間的函數(shù)關(guān)系。