第5章 電網絡分析[6,7]

5.1 電路分析的基本方法

87 電路分析

已知電路結構和元件參數，從而求出電路中的電壓、電流，或求出電路中激勵與響應之間的關系等，這類問題稱為電路分析。通常將獨立電源（電壓源或電流源）稱為激勵，而由激勵在電路中產生的電壓、電流稱為響應。電路分析的基本依據是基爾霍夫電流定律（KCL）、電壓定律（KVL），及元件的伏安關系（VCR）。

線性電路分析方法可歸納為三類：1）利用基爾霍夫定律和元件VCR進行直接計算，如支路電流法，回路電流法，節點電壓法等；2）利用線性電路的特性，如應用疊加定理、等效發電機定理等進行計算；3）利用等效電路的概念，如電阻的△聯結與聯結等效變換，電壓源與電阻的串聯組合對外等效為電流源與電阻的并聯組合等。

適用于線性電阻電路的上述方法，用相量法就可推廣應用于正弦電流電路。

88 電阻的△聯結與聯結等效變換

等效變換的條件是：當對應的三個端鈕間加上相同的電壓時，流入對應端鈕的電流應相等。

電阻△聯結與聯結等效變換見圖2.5-1。圖中已知聯結的三個電阻R₁，R₂，R₃，則等效△聯結的三個電阻R₁₂，R₂₃，R₃₁為

當時，。

已知△聯結的三個電阻R₁₂，R₂₃，R₃₁，則等效聯結的三個電阻R₁，R₂，R₃為

當R₁₂=R₂₃=R₃₁=R_△時，R₁=R₂=R₃=R_△/3。

89 支路法

以支路電流為未知量，應用KCL和KVL列寫出與支路電流數目相等的獨立方程，從而解出各支路電流，稱為支路電流法。

90 回路（網孔）電流法

以沿著l個[l=b-（n-1）]獨立回路環流的假想的回路電流為未知量，應用KVL列出l個獨立回路電流方程，從而解出各回路電流，稱為回路電流法。由于電路電流本身的連續性，故它能自動滿足KCL，與支路電流法相比，回路電流法的獨立方程數減少了（n-1）個。對平面電路，以網孔電流作為未知量列出方程，稱為網孔電流法。

91 節點法

對具有n個節點的電路，任選一個節點作為參考節點，其余（n-1）個節點相對參考節點之間的電壓為節點電壓。以節點電壓為未知量，應用KCL列出（n-1）個獨立節點電壓方程。從而解得各節點電壓，稱為節點電壓法。各節點電壓自動滿足KVL。

92 疊加定理

在線性電路中，任意一條支路電壓（或電流）都是各個獨立源單獨作用于電路時，在該支路產生的電壓（或電流）的代數和。

在線性系統中，凡是能夠用數學的一次表達式描述其相互關系的物理量都具有可疊加性；所以疊加定理僅適用于線性電路中的電壓或電流響應，不適用于功率。

在線性電阻電路中，響應與激勵之間的線性關系為

式中 y——電壓或電流響應；

U_si——獨立電壓源的電壓；

I_sj——獨立電流源的電流；

α_i，β_j——由電路結構和元件決定的常數。

93 戴維南定理和諾頓定理

（1）戴維南定理 圖2.5-2a所示的任意一個線性含源一端口網絡，對外可用一個電壓源和一個電阻的串聯組合等效替代（見圖2.5-2b）。其中電壓源的電壓等于含源一端口網絡的開路電壓U_oc，電阻R_eq為含源一端口網絡內部所有獨立源為零值時的輸入電阻。

（2）諾頓定理 任意一個線性含源一端口網絡，對外可用一個電流源與一個電阻的并聯組合等效替代（見圖2.5-2c）。其中電流源等于含源一端口網絡端口的短路電流I_sc；電阻R_eq為含源一端口網絡里所有獨立源為零值時的輸入電阻。

戴維南等效電路與諾頓等效電路之間的等效互換關系為

94 特勒根定理

特勒根定理是電路理論中一個普遍適用的定理。

（1）特勒根定理1 對一個具有n個節點和b條支路的網絡，令列向量i和u分別表示支路電流和支路電壓，即i=[i₁i₂…i_b]T，u=[u₁u₂…u_b]T，且假設各支路電流、電壓的參考方向一致，則對任何時間t，有

特勒根定理1的實質是功率守恒的具體體現。

（2）特勒根定理2 如果有兩個網絡N和，它們由不同的二端元件所構成，但它們的圖完全相同，設它們的支路電流和支路電壓列向量分別用i、u和、來表示，則對任何時間t，有

特勒根定理2僅僅是對兩個具有相同拓撲結構的網絡，一個網絡的支路電壓和另一個網絡的支路電流（或不同瞬間的同一網絡的相應支路電壓和電流）所必須遵循的數學關系。

95 互易定理

任一線性無源網絡在單一激勵的情況下，若將該網絡的激勵和響應互換位置且保持激勵值不變，則該網絡的響應值也保持不變。互易定理共有三種形式。

5.2 線性動態電路

96 動態電路

含有儲能元件的電路。描述線性動態電路動態過程的方程是常系數線性常微分方程，微分方程的階數n就是電路中作為電路變量的動態元件電壓或電流的獨立初始條件的個數。對應的電路稱為n階電路。動態電路求解的基本方法有兩種：1）經典解法，整個求解過程在時域中進行；2）運算法，用拉氏變換將時域分析問題轉化為復頻域分析問題，具體是將時域中的線性常微分方程轉化為復頻域中的復系數的代數方程求解。動態電路的解分為零輸入響應、零狀態響應、全響應，或暫態分量（自由分量）、穩態分量（強制分量）。

97 線性動態電路的電路變量初始值

動態電路中開關的接通或斷開，元件參數的變化等所引起的電路結構突然改變，統稱為換路。將電路換路的時刻記為t=0，電路換路前一瞬間記為t=0_-，把電路換路后一瞬間記為t=0₊。在換路的一瞬間

若電容電流為有限值時，則u_C（0₊）=u_C（0_-），q（0₊）=q（0_-）

若電感電壓為有限值時，則i_L（0₊）=i_L（0_-），Ψ（0₊）=Ψ（0_-）

顯然，u_C（0_-）和i_L（0_-）應根據換路前電路狀態來計算確定。

電路變量的初始值是指電路變量在t=0₊時的值。初始值是確定微分方程一般解中積分常數所必需的條件。

98 一階電路及其時間常數

只含有一個儲能元件的電路通常稱為一階電路。一階電路的時間常數τ決定了電路所有響應中自由分量的衰減速度，對于含一個電阻和一個電容的一階RC電路，τ=R₀C；對于含一個電阻和一個電感的一階RL電路，τ=L/R₀。

99 零輸入響應、零狀態響應、全響應

電路中激勵為零，僅由儲能元件的初始儲能所產生的響應，稱為零輸入響應；當電路中儲能元件的初始值為零，僅由激勵產生的響應稱為零狀態響應；由激勵和儲能元件初始值共同產生的響應被稱為全響應。全響應中與激勵變化規律相同的分量，稱為穩態分量或強制分量，按指數規律衰減變化的分量，稱為暫態分量或自由分量。

100 一階動態電路的求解

響應y（t）的一般表示式為

式中 y_s（t）——響應的穩態分量；

y_s（0₊）——穩態分量在t=0₊時的值；

y（0₊）——響應y（t）的初始值；

τ——時間常數。

101 一階電路的階躍響應和沖激響應

一階電路在零初始條件下由單位階躍激勵產生的響應稱為一階電路的階躍響應。其求解方法與求解一階電路的零狀態響應相同。

一階電路在零初始條件下由單位沖激激勵產生的響應稱為一階電路的沖激響應。由于沖激函數是階躍函數的一階導數，所以沖激響應是階躍響應的一階導數。

102 運算法

是用拉氏變換分析線性電路中動態過程的一種常用方法，它能直接求出符合給定初始條件的解。運算法的步驟如下：1）根據給定電路作出運算電路圖，其基本電路元件的等效運算電路見表2.5-1；如果電路中有受控源，其控制量要用象函數表示；2）選用合適的分析方法，節點法、回路法等，求出響應的象函數；3）進行反變換，求出時域響應。

103 網絡函數

（1）網絡函數H（s）定義如下：

式中 R（s）——零狀態響應r（t）的象函數；

E（s）——單一激勵e（t）的象函數。

激勵E（s）可以是電壓源，也可以是電流源，響應R（s）可以是電流，也可以是電壓，在激勵與響應的位置都確定的情況，網絡函數僅取決于電路結構和元件參數。當激勵和響應在同一端口時，相應的網絡函數H（s）為驅動點函數，否則稱為轉移函數。

（2）網絡的單位沖激響應h（t）

h（t）=L-1[H（s）]H（s）=L[h（t）]

可見網絡函數與沖激響應成拉氏變換對。

（3）卷積積分 已知H（s），則可求出任意激勵作用下的零狀態響應：

此式稱為卷積積分。

5.3 電路圖論

104 電路的圖

（1）圖的定義 一個圖（G）是節點和支路的集合，每條支路都連接在相應的節點上。如果圖中各支路都有確定的方向（規定支路的方向就是支路電流的方向，也是支路電壓的方向），稱為有向圖。

圖2.5-3說明怎樣把一個給定的電路畫成所對應的圖G；這里G的每一條支路代表一個電路元件。有時，為了需要可以把某些元件的串聯組合或并聯組合作為一條支路來處理。

（2）子圖、回路和連通圖 1）子圖若圖G₁的每個節點和每條支路都是圖G的節點和支路，就稱G₁為G的一個子圖；2）回路 圖G中任一閉合路徑，且路徑上每個節點所關聯的支路數都是2；3）連通圖圖G的任意兩個節點之間至少存在一條支路，稱圖G為連通圖。

（3）樹 是連通圖G的一個子圖，用T表示，1）它是連通的，2）它包含了G的所有節點，3）它沒有構成回路，則稱T為G的一個樹。構成樹的支路稱為樹支，樹支數為（n-1），G的其余支路稱為連支，連支數為（b-n+1），其中n為節點數，b為支路數。

（4）平面圖 可畫在平面上，是支路僅在節點相交的圖（見圖2.5-3b）。網孔是平面圖的一個自然的“孔”。

（5）割集Q 是連通圖G的一個有關支路的集合，移去Q中的全部支路，將使圖G分離為兩個部分，但若少移去任意一條支路，圖G仍是連通的，則稱Q為圖G的一個割集。

105 關聯矩陣、基本回路矩陣、基本割集矩陣

（1）關聯矩陣A 表示圖G中節點與支路的關聯關系，設節點數為n、支路數為b，則A是一個（n-1）×b階矩陣，矩陣的元素用a_ij表示，當支路j與節點i關聯，支路j的方向背離節點i時，a_ij=+1，指向節點i時，a_ij=-1，支路j與節點i不關聯時，a_ij=0。在A中未列出的那個節點為參考節點。

KCL、KVL可用A來表示：

式中 i_b——支路電流列向量；

u_b——支路電壓列向量；

u_n——節點電壓列向量。

（2）基本回路矩陣B_f 表示了回路與支路的關聯關系。對于網絡的圖，先選一個樹，每連一個連支就構成一個單連支回路，稱為基本回路。該回路的繞行方向就是所含連支的方向。一個圖共有l=（b-n+1）個基本回路，其B_f為l×b階矩陣。寫B_f時，其支路編號次序為先連支，后樹支（反之亦可）。其矩陣元素用b_ij表示。當支路j在基本回路i之中且j的方向與i的繞行方向一致時b_ij=1，方向相反時b_ij=-1，若支路j不在回路i中，則b_ij=0。

KCL、KVL、可通過B_f來表示：

式中 i_l——基本回路中的回路電流列向量，即連支電流列向量。

（3）基本割集矩陣Q_f 表示了割集與支路的關聯關系。在圖G中先選一個樹，每個割集只能含一個樹支和有關的連支，稱為單樹支割集，即基本割集。每個割集的方向就選為所含的樹支的方向。一個圖G共有（n-1）個基本割集，其矩陣Q_f為（n-1）×b階矩陣。其元素用q_ij表示。當支路j在基本割集i中，且支路j與割集i的參考方向一致時，q_ij=+1，反之q_ij=-1，當支路j不在割集i中，q_ij=0，對于基本割集矩陣Q_f，支路編號次序為先樹支后連支（反之亦可）。

KCL、KVL可用Q_f來表示：

式中 u_t——樹支電壓列向量。

106 節點電壓方程的矩陣形式

在大規模網絡的計算機輔助分析中，是用系統化的方法來建立電路方程的矩陣形式。以節點電壓方程為例，用相量表示的矩陣為

式中 Y——支路導納矩陣；

——節點電壓列向量；

——由獨立電源引起流入節點的電流列向量；

Y _n ——節點導納矩陣。

在大型網絡的機輔分析中，只要將有關網絡拓撲結構和元件類型、參數的原始數據輸入計算機，就能自動地建立電路方程并求解。

107 狀態方程

狀態方程是用狀態變量來描述動態電路特性的一組獨立的一階微分方程。其矩陣形式為

式中 X（t）=[x₁（t），x₂（t）…x_n（t）]T——狀態向量，其中的元素為狀態變量；

V（t）=[v₁（t）、v₂（t）…v_m（t）]T——輸入向量，其中的元素為網絡中的m個獨立電源；

A（n×n）、B（n×m）——由網絡結構和元件參數決定的系數矩陣。對線性動態網絡，一般取電容電壓（或電荷）和電感電流（或磁通鏈）為狀態變量。

108 列表法

該法對網絡支路類型沒有過多的限制，其適應性很強，且網絡方程易于建立，如同填寫表格一樣。這里僅介紹節點列表方程的矩陣形式。列表法規定：一個元件一條支路。節點列表方程的矩陣形式為

式中 A——電網絡的圖 G的（n-1）×b階關聯矩陣；

F和H——取決于網絡元件的b階方陣；

——獨立節點電壓列向量；

——支路電壓列向量；

——支路電流列向量；

，——b階電壓源列向量和b階電流源列向量，1_b是b階單位矩陣。

109 計算機仿真技術

隨著電路的規模和復雜度不斷增加，很多電路的分析已無法通過人工來完成。需要借助計算機進行仿真和分析。

電路的計算機仿真對象一般是難以人工分析的電路，通常是非線性電路，或者是線性電路，但規模相對較大。不過，由于電路易于進行計算機仿真，有時為了快速得到結果，或者對手工計算結果進行驗證，即使是簡單的線性電路，人們也可能進行計算機仿真。

電路的計算機仿真軟件非常多，例如PSpice、Multisim、MATLAB、PSCAD等。不同的仿真軟件具有不同的特點，限于篇幅，僅對幾種常用的電路仿真軟件做扼要的介紹。

PSpice是發布較早的電路仿真軟件，主要用于電子電路，對電路元件的建模與實際比較接近，但是仿真速度相對較慢，目前使用已越來越少。

Multisim是目前使用較多的電路仿真軟件，簡明易用，非常適合用于教育領域。大多數電路都可以用Multisim仿真，不過對于非常復雜的大規模電路，Multisim仿真能力有限。

MATLAB是一個通用的數學軟件，其自帶的Simulink仿真平臺可以仿真各類系統。如果用于電路仿真，需要用到Simpowersystem工具箱。由于MATLAB自身是一個數學軟件，所以基于MATLAB的Simulink電路仿真具有模型清晰，可以建立任意復雜電路模型的優勢，并且在仿真數據后處理方面功能也十分強大。不過MATLAB/Simulink電路仿真畢竟不是專業的電路仿真軟件，仿真速度相對較慢，這限制了其在大規模復雜電路仿真中的應用。

PSCAD是世界上廣泛使用的電磁暫態仿真軟件，非常適合進行大規模復雜電路的仿真。PSCAD是專業的仿真軟件，在仿真速度方面具有較大的優勢。相對于MATLAB/Simulink而言，PSCAD電路模型構建的靈活性略差，數據后處理能力也略差。相對于Multisim而言，PSCAD的簡明易用性略差。

無論采用哪種電路仿真軟件，電路的計算機仿真過程都是類似的。主要包括以下6個步驟：

1）確定電路原理圖。

2）根據電路原理圖選擇或構建電路仿真需要用到的元件模型。絕大部分電路仿真用到的元件模型都可以在仿真軟件的元件庫中找到，但對于少數特殊的電路元件，如果在元件庫中找不到對應的元件模型，那么可以根據特殊元件的數學模型在軟件中構建相應的電路元件模型。

3）根據電路原理圖和仿真元件模型建立完整的電路仿真模型。這一步是電路仿真過程中最關鍵的一步，也是工作量最大的一步。

4）確定電路模型的測量位置，并放置相應的虛擬測量儀器。電路仿真可以通過虛擬儀器測量任意位置的電壓、電流等電路物理量。但是，測量位置過多會使得內存需求增大，并且會使得仿真系統看起來十分混亂。因此，應根據不同電路的需要來選擇合理的測量位置。

5）進行電路仿真，如果仿真出錯，需要根據錯誤提示對仿真模型進行修改。這一步是電路仿真中最耗時的一步。如果出錯，大多數是因為第3）步建立電路仿真模型時不夠細心或不夠合理導致。

6）最后一步是查看仿真結果，必要時還要對仿真結果做進一步數據處理。一般說來，通過電路仿真軟件的虛擬測量儀器和數據分析功能就能得到想要的電路仿真結果。不過，如果電路仿真軟件不具備某些數據分析功能，或者對于仿真圖形有特別的格式要求，此時需要將仿真結果存儲為數據矩陣，然后通過MATLAB等軟件對仿真數據做進一步處理。

電路的計算機仿真不是簡單地將元件模型連接起來就能得到正確的仿真結果。要想高效準確地進行電路的計算機仿真，需要注意以下事項：

1）要注意不同電路仿真軟件的具體要求。例如Multisim要求一定要將接地符號放置在電路模型中，而人們在繪制電路原理圖時，并不一定會標出接地符號。

2）要注意仿真步長的選擇。電路仿真本質上是通過數值方法進行計算，因此所有電路仿真都涉及仿真步長的選擇。仿真步長可以選擇變步長或定步長，兩者各有優缺點。變步長適用于電路相對簡單的情況，此時步長較大時也可以獲得較高的仿真精度。但是，如果電路非常復雜，變步長很可能為了達到期望仿真精度而大幅度增加仿真時間。隨著計算機計算能力的大幅度提高，目前對于復雜電路的仿真一般采用定步長。定步長簡單明了，仿真時間易于控制。如果對仿真精度要求低，步長可以大一點；如果對仿真精度要求高，步長可以小一點。建議初步仿真時用相對較大的步長，如果發現仿真結果與預期結果一致，就不需要用較小的步長，這樣可以節省仿真時間。如果發現仿真結果與預期結果明顯不一致，再將仿真步長逐步減小，直到仿真結果與預期結果一致為止。

3）建立復雜電路的仿真模型時，建議采用模塊化分層次的結構。復雜電路仿真模型建立時，建議先搭建總體框架，整個系統由多個大的模塊組合而成。每個大的模塊再由若干個小的模塊組成，每個小的模塊可以進一步細分為更小的模塊，直至最小的模塊由電路元件模型組成。這樣的建模過程思路清晰，界面整潔，易于仿真調試。

5.4 二端口

110 二端口網絡的基本方程和基本參數

若一個網絡有兩對與外電路相連接的端鈕（見圖2.5-4），每一對端鈕形成一個端口，對一個端口流進的電流必等于流出的電流，這種網絡統稱為二端口網絡。

表示兩個端口處的電壓、電流關系的方程稱為二端口網絡的基本方程，方程中自變量前的系數稱為二端口網絡的基本參數，它取決于二端口網絡的結構和元件參數。其基本方程有六種形式。這些反映同一個二端口網絡端口特性的基本方程和基本參數可以互相轉換。常用的四種基本方程見表2.5-2。

當線性二端口網絡中無受控源時，這種線性無源二端口網絡端口特性具有互易性，也就是說當激勵和響應互換位置時，并不改變同一激勵所產生的響應。對凡具有互易性的二端口網絡只有三個參數是獨立的。若二端口網絡的兩個端口互換位置后與外電路連接，其端口電氣性能相同，則稱此二端口網絡是對稱二端口網絡，對稱二端口網絡只有兩個參數是獨立的。

111 二端口網絡的等效電路

兩個結構不同的二端口網絡，若它們的基本參數相同，就稱這兩個二端口網絡端口特性對外等效。具有互易性的二端口網絡只有三個獨立參數，其最簡單的等效電路將由三個元件組成，且只有兩種可能的形式，即Π形電路和T形電路，見圖2.5-5。

112 二端口網絡的聯接

二端口網絡三種基本聯接方式見圖2.5-6。

在正確的串、并聯方式中，應使每個二端口網絡滿足端口條件，即進出每個端口的電流相等。如將基本參數寫成矩陣形式：

則復合二端口網絡與部分二端口網絡的關系為

級聯　T=T₁T₂

并聯　Y=Y₁+Y₂

串聯　Z=Z₁+Z₂

5.5 非線性電路

113 非線性元件

電路元件的參數與電壓或電流有關，就稱為非線性元件，含有非線性元件的電路稱為非線性電路。

（1）非線性電阻 電阻元件的伏安特性曲線不是一條通過坐標原點的直線，這種電阻元件稱為非線性電阻。當非線性電阻的伏安特性函數關系表示為u=f（i）時，電阻兩端電壓是其電流的單值函數。這種電阻稱為電流控制的非線性電阻。當非線性電阻的伏安特性函數關系表示為i=g（u）時，電阻中的電流是兩端電壓的單值函數。這種電阻稱為電壓控制的非線性電阻。另一種非線性電阻屬于“單調型”，其伏安特性是單調增長或單調下降的。它同時是電流控制又是電壓控制的。

非線性電阻的靜態電阻：

動態電阻：

（2）非線性電容 電容元件的庫伏特性曲線不是一條通過坐標原點的直線，這種電容元件稱為非線性電容。當非線性電容元件的電荷-電壓關系式為q=f（u），即電荷是電容電壓的單值函數。此電容為電壓控制的電容。當非線性電容元件的電荷-電壓關系式為u=h（q），即電容電壓是電容電荷的單值函數。此電容為電荷控制的電容。

非線性電容的靜態電容：

動態電容：

（3）非線性電感 非線性電感元件的韋安特性曲線不是一條通過坐標原點的直線，這種電感元件稱為非線性電感。當非線性電感元件的電流與磁通鏈關系式為i=h（Ψ），此電感稱為磁通鏈控制的電感。當非線性電感元件的電流與磁通鏈關系式為Ψ=h（i），此電感稱為電流控制電感。多數的實際非線性電感元件是由鐵磁材料制成的，由于鐵磁材料的磁滯現象，它的Ψ-i特性具有回線的形狀，此電感既非電流控制又非電壓控制。

非線性電感的靜態電感：

動態電感：

114 非線性電阻電路

含有非線性電阻元件的電阻電路稱為非線性電阻電路。基爾霍夫定律KCL和KVL是編寫非線性電阻電路方程的兩條基本定律。在編寫電路方程時，同時要考慮表征元件特性的方程。采用表格法或改進節點分析法，可以編列非線性電阻電路的方程，結果得到一組非線性代數方程。它一般無閉式解析解，工程上主要采用圖解法、數值分析法（如牛頓-拉夫遜算法）、分段線性化法、小信號分析法等近似方法求解。

115 非線性動態電路

含有儲能元件（電感和電容）的非線性電路稱為非線性動態電路。其中含有非線性儲能元件的一階電路稱為一階非線性電路。基爾霍夫定律KCL和KVL是編寫一階非線性微分方程的兩條基本定律。在編寫電路方程時，同時要考慮表征非線性儲能元件特性的方程。

當一階非線性微分方程為

該式顯含時間t，稱為一階非線性非自治微分方程。

該式不顯含時間t，稱為一階非線性自治微分方程。在已知狀態的初始值x（0）的條件下，式（2.5-1）或式（2.5-2）的解，可通過下列方法求得：1）數值分析法；2）分段線性化法；3）圖解法。