第2章 電磁場[1,4,5]

2.1 表征電磁場特性的物理量

21 電荷與電荷守恒定律

電荷是物質的固有屬性之一。任何物體內部都存在正負兩類電荷。通常，物體中正負電荷數量相等。當物體失去或得到一定量的電子時，就表現為帶正電或負電。目前已知的最小電荷量為電子的電量e=1.602×10-19C。同類電荷相排斥，異類電荷相吸引是電荷的一種基本屬性。

電荷遵從電荷守恒定律，表現為任何時刻，存在于孤立系統內部的正負電荷的代數和恒定不變。電荷守恒定律的數學表示為

式中 ρ——電荷體密度。

22 電容率與磁導率

（1）電容率也稱介電常數。各向同性的線性電介質的電容率ε（F/m）是常量，表示為

ε=ε₀+χ=ε₀ε_r

式中 ε₀——真空電容率（F/m）,ε₀=8.85×10-12F/m；

χ——電極化率（F/m），數值取決于介質材料的性質；

ε_r——相對電容率，無量綱。常見介質的相對電容率見表2.2-1。

（2）磁導率 真空磁導率μ₀和真空電容率ε₀及真空中的光速c₀（即電磁波在真空中的傳播速度，c₀=2.998×108m/s）滿足關系式：

因此，可得μ₀=4π×10-7H/m。

其他各向同性的線性磁介質的磁導率μ（H/m）是

μ=μ₀（1+χ_m）=μ₀μ_r

式中 χ_m——磁化率，數值取決于介質材料的性質，沒有量綱；

μ_r——介質的相對磁導率，沒有量綱。

一般非鐵磁性材料的μ_r≈1，其磁導率都可近似地認為等于μ₀。對于鐵磁質和亞鐵磁質，其μ_r遠大于1，而且是與磁感應強度B有關的變量。

23 電場強度與電力線

（1）電場強度（簡稱場強）E（x，y，z） 描述電場的基本物理量（V/m），定義為

式中 F——試探電荷在點（x，y，z）處所受到的電場力（N）；

q₀——電量和尺寸都很小的正試探電荷（C）。

電場強度是一個矢量，其方向與正試探電荷所受到的電場力的方向一致。

（2）電場強度的疊加原理 在線性介質中，所有電荷在空間某一點產生的場強等于每一個點電荷或電荷元dq在該點上單獨產生的場強的疊加，對于點電荷電場有：

對于連續分布電荷的電場：

式中 r——源點與場點間的距離（m）；

e_r——由源點指向場點的單位矢量。

幾種典型電荷分布的電場強度見表2.2-2。

（3）電力線 形象化地描寫電場分布而畫出的一些有方向的曲線，見圖2.2-1。曲線上任一點的切線方向與該點E的方向一致；電力線的疏密程度正比于E的大小；電力線不能相交；恒定場中的電力線起始于正電荷，終止于負電荷，電力線與等位面處處正交，與導體表面亦正交。

24 極化強度與極化電荷

在外電場作用下，電介質內量值相等的正、負電荷作用中心在空間拉開一個很小的距離形成一個個電偶極子，使電介質呈現電性，這種現象稱為極化。因極化而出現在介質表面及體內的宏觀電荷稱為極化電荷，它產生的附加電場與外電場合成形成電介質內的電場。

用電矩p（C·m）表征電偶極子的特性：

p=qh

式中 h——負電荷指向正電荷的有向距離（m）。

電介質極化后，單位體積內形成的電矩矢量和稱為極化強度P（C/m2），即

在各向同性的線性電介質中，P與合成電場E成正比，即

P=χE

極化電荷的面密度

σ_e=e_n·P

式中 e_n——介質表面外法線單位矢量。

極化電荷體密度

ρ_e=-Δ·P

25 電位移D

D（C/m2）又名電感應強度，是研究有電介質時電場的規律而引入的輔助物理量，它的定義式為

D=ε₀E+P

對于各向同性的電介質

D=εE=ε₀ε_rE

26 電位與電位差

電位φ（V）是表征電場特性的物理量。場中任一點P相對于參考點Q（其電位為零）的電位定義為

φ_P表示單位正電荷從P點移到Q參考點時電場力所做的功，它只與P點的位置有關，而與所取的積分路徑無關。電位的參考點可以任意選擇，一般常取無限遠點或大地。典型靜電場的電位或電位差見表2.2-3。

兩點間的電位之差稱電位差或電壓，即

U_ab=φ_a-φ_b

電場強度可用電位梯度表達：

式中 e_n——該點電位有最大增長率方向上的單位矢量；

n——該方向的距離。

電位相等的點所組成的曲面稱為等位面，它與電力線處處正交。

27 磁感應強度與磁力線

（1）磁感應強度B B也稱磁通密度（T），是描述磁場特性的物理量。如已知在無限大，均勻各向同性媒質中有電流密度矢量J（x′，y′，z′）的分布，則空間任一點的B服從畢奧—薩伐定律：

式中 μ——磁導率；

dV——源點處的體積元（m3）；

e_r——源點指向場點的單位矢量；

r——dV到場點（x，y，z）的距離。

對于線形電流I，由于JdV=Idl′

式中 dl′——源點處的長度元（m）。真空中電流產生的磁感應強度見表2.2-4。

（2）磁力線 描述磁場分布的有向曲線，也稱磁感應線。磁力線上任一點的切線方向就是該點B的方向；磁力線的疏密正比于B的大小；磁力線不能相交，它是環繞電流的閉合曲線。

28 磁化強度與磁化電流

物質每個分子中的運動電子對外產生的磁效應，可等效為一個小環形電流，稱為分子電流，分子電流的磁矩稱分子磁矩，用m（A·m2）表示

m=IS

式中 I——分子電流強度；

S——分子電流圍成的面積。

在沒有外磁場作用時，分子磁矩總和為零，物質對外不顯磁性。在有外磁場作用時，分子磁矩受外磁場轉矩作用而轉動，總磁矩不再等于零，物質對外呈現磁性。這種現象稱為物質的磁化。

在物質中每單位體積內所有分子磁矩的矢量和稱為磁化強度M（A/m）

介質磁化時，由于分子電流的有序排列，從而使介質表面及內部在宏觀上顯現出未被抵消的電流，這種電流叫磁化電流。

介質表面的磁化電流線密度。

K _m=M×e_n

介質內的磁化電流面密度

J _m=Δ×M

29 磁場強度

H（A/m）是為研究有介質時的磁場而引入的一個輔助物理量，定義為

對于各向同性的導磁物質

對于抗磁質和順磁質，磁化強度與磁場強度成正比

M=χ_mH

對于鐵磁物質，M和H的關系一般是非線性的。

30 磁位與磁矢位

（1）磁位φ_m φ_m（A）是計算磁場的一個輔助場量。在無傳導電流分布的區域，φ_m與磁場強度的關系為

H=-Δφ_m

磁位相等的各點形成的曲面稱為等磁位面，它與磁場強度H線處處正交。

磁場中某點P相對于參考點Q的磁位φ_mP，亦即P、Q兩點間的磁壓U_mPQ定義為

磁位是多值的，其值與積分路徑有關。在均勻各向同性的線性導磁媒質中磁位滿足拉普拉斯方程。

（2）磁矢位A A（Wb/m）也是計算磁場的一個輔助場量。它與磁感應強度B的關系為

顯然有一系列的A滿足式（2.2-1），為了簡便，規定

Δ·A=0

上式稱為庫侖規范。在有電流區域磁矢位滿足泊松方程。

31 通量

電場強度E的通量Φ_E和電位移矢量D的通量Φ_D分別是

磁感應強度B的通量Φ_m是

2.2 電磁場的基本定律

32 庫侖定律

它是描述點電荷間相互作用力的定律。無限大真空中，兩個相距為r（10-7＜r＜107m），電荷分別為q₁和q₂的兩個靜止點電荷之間的相互作用力為

式中 e_r——兩個點電荷之間連線方向的單位矢量。

33 高斯定律

在電場中，穿出任意閉合面S的電位移D的通量，等于這一閉合面內自由電荷q的代數和：

該式說明D線起始于正的自由電荷，而終止于負的自由電荷。

34 磁通連續性原理

在磁場中，穿出任一閉合面的磁感應強度B的通量恒為零：

該式說明環繞電流回路的磁力線是連續的閉合線。

35 安培環路定律

在磁場中，沿任意閉合路徑磁場強度H的線積分等于穿過積分路徑所限定面積上的傳導電流I的代數和，即

∮H·dl=∑I

式中，當積分路徑的繞行方向和電流的方向符合右手螺旋關系時，則取電流I為正，反之為負。

36 電磁感應定律

通過一閉合回路的磁通量?_m變化使回路中出現電動勢的現象稱為電磁感應，所產生的電動勢稱為感應電動勢E，它與穿過回路的磁通量Φ_m隨時間變化率的負值成正比：

式中，感應電動勢的參考方向和磁通量Φ_m的參考方向按照右手螺旋關系標定，見圖2.2-2。

即感應電動勢總是企圖產生感應電流來阻止回路中磁通的變化。

如果回路是匝數為N的線圈，通過各匝線圈的磁通量為Φ₁，Φ₂，…，Φ_n，當磁通量變化時，整個線圈的總電動勢等于各匝線圈中的電動勢之和：

式中 Ψ_m——磁通鏈或全磁通。如果穿過每匝線圈的磁通量均為Φ_m，則：

由于磁場隨時間變化而在一靜止回路中產生的感應電動勢叫感生電動勢，即

當回路的整體或局部相對于恒定磁場B運動而產生的感應電動勢叫動生電動勢，即

在一般情況下，回路中的感應電動勢為這兩種電動勢之和：

回路中的感應電動勢可看作是沿回路上的感應電場力對單位正電荷所作的功，在不考慮回路運動的情況下，有

式中 E_i——感應電場強度；dS的方向和l繞行方向符合右手螺旋關系。上式說明，電場不僅可由電荷產生，而且也可由隨時間變化的磁場產生。

37 全電流定律

在電磁場中，傳導電流與位移電流的總和稱為全電流。

（1）傳導電流 導電媒質中自由電荷的定向運動所形成。傳導電流密度J（A/m2）為

J=ρv

式中 ρ——電荷的體密度；

v——電荷運動的平均速度。傳導電流服從歐姆定律：

J=γE

（2）位移電流 電位移D隨時間的變化所形成。位移電流密度為

全電流具有連續性，即穿過任一閉合面S的全電流為

位移電流在產生磁場的效應上完全和傳導電流等效，這樣把安培環路定律中的∑I看作全電流，得出全電流定律：

該式說明，磁場不僅由傳導電流產生，而且也由隨時間變化的電場產生。

38 電磁場的基本方程組

概括電磁場分布變化規律的四個方程式見式（2.2-3）、（2.2-4）、（2.2-5）和（2.2-6），稱為電磁場基本方程組的積分形式，亦稱麥克斯韋方程組的積分形式。其相應的微分形式是

對于各向同性的媒質，其電磁性能方程是

D=εE

B=μH

J=γE

電磁場基本方程組全面地描述了電磁場的空間分布和隨時間變化所遵循的規律，說明變化的電場會產生磁場，變化的磁場也會產生電場，因此任何電磁擾動都將以有限速度（光速）向空間傳播，形成電磁波。

式（2.2-7）中若場量不隨時間變化，可得靜電場、恒定電場和恒定磁場的基本方程的微分形式。即：靜電場基本方程

恒定電場基本方程

恒定磁場基本方程

39 電磁場中兩種媒質分界面上的銜接條件

電磁場的場量從兩種不同媒質分界面的一側過渡到另一側時所遵循的變化規律稱為銜接條件。用1，2表示兩種媒質，則

式中 K、σ——分別為分界面處的電流線密度和自由電荷面密度。場量的切線分量用下標t表示，場量的法線分量用下標n（由1媒質指向2媒質）表示。

2.3 電容、電感、能量和力

40 電容

兩個導體，帶等量異號電荷Q，兩導體間的電壓為U，其電容（F）定義為

電容的大小與兩導體的形狀、尺寸、相互位置及導體間的介質有關。幾種典型結構的電容計算公式見表2.2-5。

由多個導體組成的系統，它們的電荷與電壓的關系要用多個參數（部分電容）描述。

41 電感

（1）自感 電路中因自身電流變化而出現感應電動勢的現象叫自感。自感總是正值。

一個載流線圈的自感L（H）定義為

式中 N——線圈匝數；

Φ_m——穿過該線圈的磁通（Wb）；

Ψ_m——與該線圈交鏈的磁鏈（Wb）；

I——線圈中的電流（A）。

（2）互感 因一線圈中的電流變化在鄰近另一個線圈中出現感應電動勢的現象叫互感。兩個線圈之間的互感M₂₁（H）定義為

式中 M₂₁——線圈1對線圈2的互感；

Ψ₂₁——線圈1中的電流I₁產生的磁通與線圈2交鏈的磁鏈。

同樣，線圈2對線圈1的互感是

可以證明M₁₂=M₂₁。互感有正負。

自感、互感和線圈形狀、大小、匝數及媒質分布有關。互感還與兩線圈間相互位置有關。幾種典型結構的自感和互感計算公式見表2.2-6。

42 電阻與接地電阻

導電媒質的電阻R（Ω）定義為

根據靜電比擬，R與靜電場的電容有如下關系

實際問題中為了人身與設備的安全，通常要求接地，接地電阻主要決定于電流從接地器流經大地的土壤電阻，其值為

幾種典型接地器的工頻接地電阻計算式見表2.2-7。

當大電流經接地器流入土壤時，接地器附近地面有較高電場，人在此區域內兩足間的電位差稱為跨步電壓U₀（V）：

式中 b——兩足間距離（m）；

l——距接地器中心的距離（m）。

43 電磁能量

在線性媒質中，電磁場某一點的電磁能量密度瞬時值w（J/m3）為

式中 ——電場能量密度；

——磁場能量密度。

電磁場某一體積V中儲存的電磁能量為

44 電磁力

電荷、電流在電磁場中所受力的總稱。

（1）靜電力的計算

1）兩個點電荷之間的相互作用力用庫侖定律計算，參見式（2.2-2）。

2）點電荷q在電場E中所受到的力

f=q·E

3）帶電體或媒質受到的電場力在廣義坐標g方向的分量f（N），與靜電場的能量W_e有以下關系：

4）法拉第觀點認為，電場中由E線組成的每一段電力線管沿軸向的張力和側面的壓力在單位面積上的量值都為

（2）磁場力的計算

1）點電荷q在磁場B中以速度v運動所受的力稱為洛侖茲力，為

f=q（v×B）

2）磁場作用于載流導線l上的力

式中 Idl——載流導線上的電流元。

3）載流導體或媒質受到磁場力在廣義坐標g方向的分量f與磁場能量W_m有以下關系

4）法拉第觀點認為，磁場中B線組成的每一段磁力線管沿軸向的張力和側面的壓力在單位面積上的量值都為

2.4 電磁場的傳播、損耗和效應

45 理想介質中的均勻平面波

在理想介質的無源區，電場強度E和磁場強度H均滿足波動方程

等相位面為平面，且在等相位面上各點場強相等的電磁波稱為均勻平面電磁波。均勻平面電磁波的電場和磁場在空間相互垂直，且都垂直于傳播方向，稱為橫電磁波（TEM波）。

在無限大理想介質中，沿x方向傳播的隨時間作正弦變化的均勻平面電磁波（設E=E_ye_y，則H=H_ze_z）的表達式為

式中 ——電場入射波有效值；

β——相位常數（rad/m），；

θ_E——電場入射波的初相；

Z ₀——波阻抗（Ω），。

46 有耗媒質中的均勻平面波

在有耗媒質的無源區，E、H滿足的方程為

在無反射情況下，有耗媒質中沿x方向傳播的正弦均勻平面波的表達式為

式中 α——衰減常數（Np/m）；

β——相位常數（rad/m）；

ε′——等效介電常數（F/m）。

當波在良導體中傳播時，由于良導體滿足條件，因而有

由于α、β都是頻率的函數，因此不同頻率的信號經過同一距離后幅值的衰減及相位的滯后量都不同，這種現象稱為色散。具有色散性質的媒質稱為色散媒質，有耗媒質都是色散媒質。

47 趨膚效應、鄰近效應和電磁屏蔽

（1）電磁場在導電媒質中按指數規律衰減。定義電磁波進入導體內場量衰減到表面值的1/e（即36.8%）時的深度d為透入深度：

電磁場集中分布在導體表面附近的這種現象稱為趨膚效應。它增加了導體的電阻，減少了內電感。幾種常用材料在不同頻率下的透入深度見表2.2-8。

（2）對多導體系統，由于導體之間電磁場的相互作用，影響了導體中傳導電流分布的現象稱為鄰近效應。當導體截面較大，相距很近或頻率很高時需考慮鄰近效應。

（3）電磁屏蔽 防止或者減少電磁波進入空間某些部位的措施。

1）靜電屏蔽：利用接地的導體空腔將空腔內外的場分割為兩個互不影響的獨立系統。

2）磁屏蔽：利用鐵磁材料μ_r>>1的特點制成有一定厚度的外殼，使置于其內的設備少受磁干擾。常用屏蔽系數k來表示屏蔽效果，當μ_r>>1時

式中 R₁、R₂——鐵磁殼體的內外半徑。

3）電磁屏蔽：利用良導體能阻止高頻電磁波透入這一特性可做成電磁屏蔽裝置。屏蔽層的厚度必須接近于被屏蔽的電磁波的波長。高頻電磁波幾乎不能透入銅、鋁、鐵等金屬，所以這些材料常用作電磁屏蔽材料。

48 渦流損耗、磁滯損耗和電介質損耗

（1）渦流損耗 交變電磁場中，由于電磁感應在導電媒質里引起的環形電流稱為渦流。因渦流引起的損耗稱渦流損耗。減小渦流損耗常采用切斷渦流路徑的辦法，如用硅鋼片疊制成鐵心。寬度為2b的無限大薄平板中的渦流損耗：

式中 H_m——薄板表面磁場強度的最大值；

d——透入深度。

（2）磁滯損耗 由于磁性材料在交變磁場作用下存在不可逆的磁化過程而引起的能量損耗稱磁滯損耗。可按下述經驗公式計算：

式中 B_m——磁滯回線上磁感應強度的最大值；

η，n——與材料有關的常數；

V——鐵磁物質的體積。

（3）電介質損耗 可分成兩部分，一是由于電介質都存在微弱導電性而引起的電導損耗；二是由與電介質有關的極化而引起的損耗。不同材料的介質損耗均用損耗角δ的正切表示

式中 G——電介質樣品的全部有功電導；

C——電介質樣品的全部電容。

49 均勻傳輸線

當傳輸線（平行雙導線或同軸線）的長度l與線上傳遞信號的波長λ可比擬時，電磁波沿線傳播所需的時間不能忽略，傳輸線必須用分布參數的電路模型（見圖2.2-3）來描述。沿線參數均勻分布的傳輸線稱為均勻傳輸線。線上各點的電壓、電流均為x的函數，模型中R₀、L₀、G₀、C₀分別是傳輸線單位長度的電阻、電感、電導和電容，稱為傳輸線的原參數。

（1）均勻傳輸線的方程：

如果均勻傳輸線的R₀、G₀可忽略不計，稱為無損耗傳輸線。其上的電壓電流滿足如下的波動方程：

（2）均勻傳輸線方程的正弦穩態解 在正弦情況下，沿線電壓、電流滿足相量形式方程：

式中 Γ——傳輸線的傳播常數，

α——衰減常數；

β——相位常數。

設傳輸線終端為坐標原點，若已知線路終端的電壓和電流，則沿線電壓、電流的分布為

式中 Z₀——傳輸線的特性阻抗，

對于無損耗傳輸線有

（3）均勻傳輸線的輸入阻抗定義：

式中 Z₂——傳輸線終端負載阻抗，顯然Z_in是傳輸線長度和負載的函數。

（4）反射系數與匹配

1）反射系數：定義傳輸線上某點的反射波電壓和入射波電壓的比值為反射系數。傳輸線終端反射系數為

2）匹配：如傳輸線終端所接負載的阻抗Z₂=Z₀，此時反射系數Γ=0，即不存在反射波，這種情況稱為負載與線路匹配，匹配時沿線各點的Z_in=Z₀，線路的傳輸效率接近最高值，η=e-2al。

（5）無畸變傳輸線 當有損耗傳輸線的原參數滿足條件：

這時，為常量，與ω成正比，于是對不同頻率的信號不會產生振幅及相位畸變。稱式（2.2-8）為無畸變條件，滿足無畸變條件的傳輸線為無畸變線、無損耗線一定是無畸變線。