1.5 預備知識：統計學基礎

1.5.1 隨機現象、隨機試驗與概率

隨機現象是無法事先準確確定其結果的現象。在社會經濟領域中，隨機現象是普遍存在的，研究隨機現象，對認識這些現象是非常必要的。

觀察隨機現象或為了觀察隨機現象而進行的試驗稱為隨機試驗。隨機現象可以重復多次；可能的結果不止一個，但事先可知；每次試驗都會出現上述結果中的某一個，但事先不能預知是哪一個。

隨機試驗的每個可能結果稱為一個樣本點，全體樣本點的集合稱為樣本空間。隨機試驗的結果稱為隨機事件，隨機事件由一系列樣本點組成。

某隨機事件A發生的可能性稱為事件A發生的概率，記為p(A)，(0≤p(A)≤1)。p(A)=0表示不可能發生的事件，p(A)=1表示必然發生的事件。

1.5.2 隨機變量

以隨機試驗的結果為取值的變量稱為隨機變量。一個隨機變量具有下列性質：可以取許多不同的數值，取這些數值的概率為p。

重復抽樣得到的樣本就是一個隨機變量，所謂“樣本容量為n的樣本”就是n個相互獨立且與總體有相同分布的隨機變量X1，…，Xn。每次具體抽樣所得的數據，就是n元隨機變量的一個觀察值，記為(X1,…,Xn)。

隨機變量可以分為離散隨機變量和連續隨機變量。一個離散隨機變量只能取有限（或可數無窮）多個值，例如，投擲骰子的所有可能點數為1~6中的任何一個，我們就可以定義隨機變量為點數X=1，2，3，4，5，6，因此它是一個離散隨機變量。連續隨機變量可以取某一區間的任何值，如人的身高、體重、學生的分數等都是連續隨機變量。

若X為一隨機變量，對任意實數x，稱F(x)=p(X<x)為隨機變量X的分布函數。對于連續隨機變量：

其中f(x)≥0。

我們稱f(x)為X的概率分布密度函數，簡稱為分布密度。

分布密度函數具有如下性質：

（1）f(x)≥0；

（2）=1；

（3）；

（4）F′(x)=f(x)。

如果X的分布密度為f(x)，則記為X~f(x)。

1.5.3 隨機變量的數字特征

1.數學期望

數學期望也稱為均值，它描述隨機變量（總體）的一般水平，從計算方法上看它是一個加權平均值。

離散隨機變量X的數學期望記為E(X)或μ，定義如下：

式中 p(x)——取x值的概率。

連續隨機變量數學期望的定義如下：

式中 f(x)——分布密度。

數學期望具有如下性質。

（1）如果a，b為常數，則E(aX+b)=aE(X)+b，特別的是E(b)=b。

（2）如果X，Y為兩個隨機變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)。

（3）如果g(x)和f(x)分別為X的兩個函數，則E[g(X)+f(X)]=E[g(X)]+E[f(X)]。

（4）如果X，Y是兩個獨立的隨機變量，則E(XY)=E(X)E(Y)。

2.方差

如果隨機變量X的數學期望E(X)存在，稱[X-E(X)]為隨機變量X的離均差或離差，顯然，隨機變量離均差的數學期望是0，即E[X-E(X)]=0。

隨機變量離差平方的數學期望叫作隨機變量的方差，記作Var(X)或σ2，即：

方差的算術平方根稱為標準差，即：

方差和標準差刻畫了隨機變量取值相對于均值的分散程度，方差或標準差的值越大，說明隨機變量的取值越分散。

方差具有以下性質(c是常數)：

（1）Var(c)=0；

（2）Var(c+X)=Var(X)；

（3）Var(cX)=c2Var(X)；

（4）X,Y為相互獨立的隨機變量，則

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=Var(X-Y)

（5）Var(X)=E(X2)-（E(X)）2。

3.協方差

設X,Y是兩個隨機變量，定義X,Y的協方差為

如果X=Y，則有Cov(X，Y)=E[X-E(X)]2=Var(X)=σ2。

4.相關系數

描述X與Y線性相關程度可以用相關系數度量，X與Y的相關定義為

相關系數的取值范圍為[-1，1]，ρ>0說明X與Y為正相關，反之為負相關；越接近1，說明X與Y的相關程度越高，反之越低。

1.5.4 重要的理論分布

1.正態分布

分布密度為

正態分布如圖1-1所示。

正態分布取決于兩個參數：均值μ和方差σ2。如果X服從正態分布，則記為X~N(μ,σ2)。

如果正態分布μ=0，σ2=1，則稱其為標準正態分布，記為Z~N(0,1)。標準正態分布的分布密度為

標準正態分布的分布函數記為Φ(Z)，即，它有三個重要的性質：

（1）p(a<Z<b)=Φ(b)-Φ(a)；

（2）Φ(-a)=1-Φ(a)；

（3）。

利用這三個性質，可以查標準正態分布表得到相應的概率。

可以證明，對于任意一個正態分布，我們都可以通過標準化變換為標準正態分布：

這樣，我們可以求出任意一個正態分布所對應的概率。

關于正態分布還有一個重要的結論：如果X1,X2,…,Xn都是服從的獨立隨機變量，那么其線性組合也服從均值為、方差為的正態分布，即：

2.χ2分布

設Z1，Z2，…，Zk是互相獨立的標準化的正態分布變量，則服從自由度為k的χ2分布，記為Z~χ2(k)。

χ2分布取決于自由度k。χ2分布的分布密度圖像是一個右偏分布（見圖1-2），當k的值越來越大時，χ2分布的分布密度圖像會越來越趨于對稱。一般認為，當自由度超過100時，χ2分布近似為正態分布。

查χ2分布表可以得到給定自由度及上側面積的臨界值。

3.t分布

如果Z1~N(0,1)，Z2~χ2(k)，則服從t分布，記為t~t(k)。

t分布取決于自由度，形態是對稱分布，與標準正態分布近似，但比較平緩（見圖1-3），當自由度越來越大時，趨近于標準正態分布。

查t分布表可以得到給定自由度及上側面積的臨界值。

4.F分布

如果Z1~χ2(k1)，Z2~χ2(k2)，則服從自由度為k1，k2的F分布，記為F~F(k1,k2)，其中k1稱為分子自由度，k2稱為分母自由度。

F分布取決于自由度，是右偏分布（見圖1-4）。

查F分布表可以得到給定自由度及上側面積的臨界值。

1.5.5 統計推斷

1.參數估計

參數估計是用樣本統計量估計總體參數的統計方法。參數估計分為點估計和區間估計兩種，進行參數估計需要知道統計量的分布——抽樣分布。

在參數估計中用得最多的是用樣本平均數估計總體均值，關于樣本平均數的抽樣分布的結論是中心極限定理。

設總體均值為μ，且存在有限方差σ2，從中抽取樣本容量為n的樣本。當樣本容量足夠大時，樣本平均數的抽樣分布近似地服從正態分布。這個結論用數學表達式表示為

根據中心極限定理，可以認為樣本平均數圍繞在總體均值μ附近，故對于某一個樣本平均數，可以認為，即是μ的一個點估計值。

在點估計的基礎上，給出μ的一個取值范圍，稱為區間估計。

當總體方差已知，大樣本，顯著性水平為α時，μ的1-α的置信區間是：

其中Z~N(0,1)。

當總體方差未知，大樣本，顯著性水平為α時，μ的1-α的置信區間是：

如果是小樣本，則要求總體服從正態分布，仍然可以用式（1-16）和式（1-17）進行估計。

此外，我們可以得到常用的統計量樣本比率、樣本方差的抽樣分布，并運用這些分布對對應的總體比率和總體方差進行估計。

2.假設檢驗

假設檢驗也稱為顯著性檢驗，是用來判斷樣本與樣本、樣本與總體的差異是由抽樣誤差還是本質差別造成的統計推斷方法。其基本原理是先對總體的特征做出某種假設，然后通過抽樣研究的統計推理，對此假設應該被拒絕還是接受做出推斷。

假設檢驗的邏輯方法是反證法和小概率原理，并運用樣本統計量的分布來進行判斷。其基本步驟為：提出假設→建立檢驗統計量并確定其分布→設定顯著性水平并構造拒絕域→根據檢驗統計量的值做決策。

假設檢驗的決策規則是：如果檢驗統計量的值落入拒絕域，則拒絕原假設，否則不拒絕。

上述決策的方法稱為臨界值法，我們還可以根據檢驗統計量的伴隨概率——p值進行檢驗。決策的規則是：如果p值小于顯著性水平，則拒絕原假設，否則不拒絕。

限于篇幅，對于統計學的具體內容，讀者可參閱其他專門的統計學資料。