1.2 電磁學基礎

首先，對于任何CAE軟件而言，仿真本身并不是目的，真正的目的是通過正確的仿真得到優質的設計。因此，我們首先需要確定我們的仿真是正確的，是能夠反映真實物理現象的。其次，我們還需要在仿真后能夠對仿真結果進行充分、詳細的分析。

了解電磁學的理論知識，能夠幫助我們加深對仿真方法的理解，從而比較深入地理解輸入條件并且能夠對結果進行詳細的分析，最終實現優質的設計。

下面將對JMAG仿真中相關的電磁學理論進行簡單的介紹，對這些內容十分熟悉的讀者可以跳過本節內容。

1.2.1 基本方程

有限元仿真中，最核心的思想就是將連續的模型分割成一個個網格進行離散化，通過基本方程計算這些網格上的值，再整合出整體的計算結果。而對于JMAG這款低頻電磁場仿真軟件而言，最核心的基本方程有麥克斯韋方程組和材料方程。

1.麥克斯韋方程組（Maxwell's equations）

麥克斯韋方程組是英國物理學家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋在19世紀建立的一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關系的偏微分方程。它由4個方程組成：描述電荷如何產生電場的高斯定律、論述磁單極子不存在的高斯磁定律、描述電流和時變電場怎樣產生磁場的麥克斯韋-安培定律、描述時變磁場如何產生電場的法拉第感應定律。

JMAG中定義的麥克斯韋方程組由以下4個公式組成：

式中，B是磁通密度（T）；D是電位移矢量；H是磁場強度（A/m）；J0是強制電流密度（A/m2）；Jc是傳導電流密度（A/m2）；E是電場強度（V/m或N/C）；ρ是電荷密度（C/m）。

式（1-1）與我們常見的公式不同，電磁場有限元仿真中通常會分別列出J0和Jc。其中J0代表的是強制電流密度，指的是仿真中用戶指定的輸入電流密度，因此稱之為“強制”電流密度。Jc指的是傳導電流密度，是指在電場作用下，自由電子在導體中運動產生的電流密度，在仿真中通常指的是渦流。

2.材料方程

除了麥克斯韋方程組以外，材料方程也是十分重要的。借助這些方程，JMAG可以把用戶設定的材料參數（介電常數、B-H曲線等）考慮到有限元仿真中。

式中，B是磁通密度（T）；μ是磁導率；H是磁場強度（A/m）；Jc是傳導電流密度（A/m2）；σ是電導率；E是電場強度（V/m或N/C）；ε 是介電常數；D是電位移矢量，也稱為電通量密度。

1.2.2 電流與磁場的關系

電磁學，顧名思義是電與磁的學科。我們都知道，有電流I（A）的地方就會有磁場，而描述磁場強弱和方向的物理量就是磁通密度B（T），電流與磁通密度的關系滿足右手螺旋定律，如圖1-1所示。

1.2.3 磁鐵與磁性材料

如圖1-2所示，環電流疊加形成線圈，最終形成右側的磁通密度。這也是通常所說的電磁鐵的原理。

1.安培分子電流假說

磁鐵的原理如圖1-3所示。安培認為在原子、分子等物質微粒的內部，存在著一種環形電流——分子電流，使每個微粒成為微小的磁體，分子的兩側相當于兩個磁極，最終在宏觀視角下形成了磁鐵。分子電流的起因是原子內部電子的運動，因此磁鐵的磁場其實與電流的磁場一樣，其本質都是由電荷的運動產生的。通過JMAG的仿真結果（圖1-4）可以看出，單從磁場來看，線圈產生的磁場和磁鐵產生的磁場沒有什么區別，在電磁場仿真中我們可以認為它們是同樣的模型。

2.磁化

此外，我們通常會使一些不具有磁性的物質獲得磁性，這種行為通常被稱為磁化。圖1-5所示為磁疇磁化的過程，雜亂無章的磁疇會因為外部磁場作用而排列整齊，最終形成具有磁性的磁體。反映磁體磁性強弱程度的物理量被稱為磁化強度M（A/m）。很多工程師只關心磁通密度和磁場的關系，而忽視了磁化強度和磁場的關系。我們會在后面介紹為什么需要考慮磁化強度和磁場的關系（M-H曲線）。

磁通密度B（T）、磁化強度M（A/m）和磁場強度H（A/m）之間的關系為

式中，H是磁場強度（A/m）；B是磁通密度（T）；μ0是真空磁導率；μr是相對磁導率；M是磁化強度（A/m）。

3.磁飽和

我們可以發現，向磁性材料施加磁場時，產生的磁通密度的大小由磁導率所決定。較大的磁導率，使得少量的磁場（電流、磁化）產生大量的磁通密度。然而，由于導磁材料物理結構的限制，磁化強度無法無限增大，會保持在一定的數量下。我們稱這個現象為磁飽和。此處需要強調的是，飽和時無法無限增大的不是磁通密度B，而是磁化強度M。根據式（1-8），只要H增加，B就會增加。即便是飽和的情況下，也僅僅是M不再增加，而B會按照磁場和真空中磁導率的關系不斷增加。因此，真正飽和的是磁化強度M，如圖1-6所示。從圖中可以看出，隨著H的增加，M會達到一個穩定狀態，此時斜率為0。所以說常見的B-H曲線，在飽和狀態下都是向右上方斜向增加的，而不是水平的（水平的是磁化強度M）。

4.磁滯回線

如果把磁性材料放入磁場中進行磁化，再將磁場去除會發生什么？在將磁場施加到磁性材料之后，即便是把磁場減小，也無法回到原始磁化曲線。在增加磁場之后減小磁場，磁化會減小，但是減小時的路徑與增加時的路徑不同，并且即使去除磁場，磁性材料也會保持磁性。例如，將螺釘旋具放在磁鐵上來回摩擦后，即使移除了磁鐵，螺釘旋具也會吸引螺釘。換句話說，接下來的M-H曲線上的位置不僅取決于當前位置，還取決于之前磁化的路徑，這種特性稱為磁滯。磁滯曲線如圖1-7所示。

不妨思考下，如果施加反向磁場，然后撤銷反向磁場，再施加正向磁場，如此循環會怎么樣？如圖1-8所示，充、去磁路徑形成閉環，該曲線被稱為磁滯回線。磁滯回線是引起電氣設備產生損耗的重要原因，其本質是上文所提到的磁疇在改變方向及疇壁移動時消耗能量，這部分能量即是損耗。可以證明，磁滯回線所包圍的面積正比于在一次循環磁化中的能量損耗。

需要根據磁場改變的磁化狀態（工作點）改變跟隨的軌跡來繪制復雜的小回環。如圖1-9所示，原點開始的軌跡是初始磁化曲線，代表的是由未充磁狀態充磁至飽和的過程。外側曲線是主要循環，它是施加H到最大值使得B達到飽和的磁滯回線軌跡。而內側曲線是主要循環以外的軌跡。此外，當施加到磁性材料的外部磁場的頻率改變時，主要循環的軌跡也會改變，如圖1-10所示。

5.硬磁性材料

在磁化后能長久保持磁性、不容易失去磁性的材料被稱為硬磁性材料。硬磁性材料和軟磁性材料的最大區別就是矯頑力Hc的不同，軟磁性材料的矯頑力通常為10～1000A/m，硬磁性材料通常為10000A/m以上。硬磁性材料通常也被稱為永磁體，它不易失磁，也不易被磁化。軟磁材料與硬磁材料的具體區別如圖1-11所示。

6.退磁

若加熱永磁體至居里溫度以上，或將其置于反向高磁場強度的環境中時，永磁體的磁性會減少或消失，這種現象被稱為退磁。當外加反向磁場強度大于拐點所對應的磁場強度，便會導致不可逆退磁。不可逆退磁是指磁鐵的殘留磁通密度變小，磁化強度變弱。越過拐點的不可逆退磁，即便是再度磁化也無法恢復到原來的狀態，如圖1-12所示。這與彈簧的彈性變形與塑性變形類似，當變形量超過某個閾值之后，狀態就不可逆轉了。

7.熱退磁

此外，對于退磁而言，溫度也是一個十分重要的參數。即使在低溫下沒有超過拐點，但溫度升高可能會導致熱退磁。一旦發生熱退磁，即使永磁體返回到低溫，也無法恢復到原來的磁性能，即發生不可逆退磁。如圖1-13所示，藍色線表示低溫，黃色線表示高溫。在低溫情況下，施加反向磁場，磁化狀態（工作點）并不會超過拐點，但是在高溫狀態下則會超過拐點引起熱退磁。

1.2.4 電磁感應與渦流

介紹完磁鐵與磁性材料的相關知識之后，本節將介紹電磁鐵的一些知識。

1.電磁感應

電磁感應是指放在變化的磁通量中的導體會感應出電動勢，此電動勢被稱為感應電動勢（感生電動勢）。若將此導體閉合成一回路，則該電動勢會驅使電子流動，從而形成感應電流（感生電流）。如圖1-14所示，當下方電路的開關打開時，燈泡會閃爍一下；當開關合上時，燈泡也會閃爍一下。

在電磁感應中，法拉第電磁感應公式是十分重要的，即

式中，Vemf是指電動勢（Electromotive Force），即感應電壓（V）；Φ是磁通量（Wb），即通過線圈的磁通；t是時間（s）。

磁通量可以表示為磁場在曲面面積上的積分，單位為韋伯（Wb），如圖1-15所示。其計算公式為

式中，Φ是磁通量（Wb）；B是磁通密度（T）；S是線圈面積（mm2）；n是在面積S上的法線矢量。

2.電感

電感是一個十分重要的參數。如圖1-16所示，線圈中流過電流I，產生磁通Φ。而磁通Φ和電流I成比例，并滿足式（1-11）。其中L就是電感，單位為亨利（H）。

式中，Φ是磁通量（Wb）；L是電感（H）；I是電流（A）。

此時，電磁感應的方程可以寫為

式中，Vemf是電動勢（Electromotive Force），即感應電壓（V）；Φ是磁通量（Wb）；L是電感（H）；I是電流（A）；t是時間（s）。

3.自感與互感

電感是閉合回路的一種屬性，即當通過閉合回路的電流改變時，會產生電動勢來抵抗電流的改變，這種形式的電感被稱為自感（圖1-17a），它是閉合回路自身的屬性。假設一個閉合回路的電流改變，由于在另一個閉合回路感應出電動勢，這種電感稱為互感（圖1-17b）。也可以說，電感是流過某個線圈的電流產生的與自身或另一個線圈相互連接的磁通能力的一個指標。

如圖1-18所示，對于電感較大的電路，施加電壓后產生的電流響應會有延遲。電流延遲τ是根據線圈的電感L和電阻R的比例來決定的。如果使用帶鐵心的線圈，那么相同的電流會獲得更大的磁通，這說明帶鐵心線圈的電感會更大。

式中，τ是電流延遲；L是電感（H）；R是電阻（Ω）。

4.渦流

電磁鐵和小燈泡的例子相同，當鋼板或銅塊之類的導體處于隨時間變化的磁通時，導體內會產生電流，也就是渦流。金屬中的傳導電流與電場的關系如下

式中，Jc是傳導電流密度（A/m2）；σ是電導率；E是電場強度（V/m或N/C）。

如圖1-19所示，渦流產生的磁通對輸入的磁通有屏蔽的效果。

5.趨膚效應

趨膚效應是渦流集中在導體表面的效應，如圖1-20所示。導體中電流密度減小到導體截面表層電流密度的1/e處的深度為集膚深度δ，計算公式見式（1-15）。對于半無限導體，其渦流的分布是從表面開始向內部呈指數減少。

式中，δ是集膚深度；ω是角頻率（rad/s）；σ是電導率；μ是磁導率。

1.2.5 磁路

磁路即磁通通過的路徑。磁路預測中最值得關注的一點是軟磁材料相比空氣更容易導磁，因此如果存在軟磁材料，則磁通會被引導在軟磁材料中，而在軟磁材料外側的地方，磁通就不易通過，從而起到屏蔽的效果。如圖1-21所示，如果磁鐵周圍沒有軟磁材料那么磁鐵左側畫圈處就會有磁通流過；如果磁鐵周圍有軟磁材料，那么左側畫圈處就沒有磁通流過。

1.2.6 電磁力

諸如電動機和電磁鐵等許多磁性裝置，都在積極地使用電磁力。本節將介紹各種引起電磁力的原因，并且會說明JMAG中電磁力設定的區別及使用場景。

1.導體上的力

運動電荷在磁場中所受到的力稱為洛倫茲力，即磁場對運動電荷的作用力。從場的角度來說，彎曲的磁力線有會自動拉直的傾向，如圖1-22所示。JMAG中的[Lorentz Force]就是用于計算洛倫茲力的條件。通過洛倫茲力的定義可知，該條件適用于計算磁場中導體所受的電磁力，并不能用于計算磁性材料上的電磁力。

2.作用于磁場中磁鐵的力

如圖1-23所示，磁鐵的磁場與外部磁場相互疊加，形成合成磁場。此時，可以想象合成磁場的磁力線向兩側拉伸，以此來預測電磁力的方向。在JMAG中，可以通過[Nodal Force]節點力條件來進行計算。節點力是通過有限元分析中的有限元節點的結果來推導整個部件的作用力。相比于上述洛倫茲力而言，它的應用范圍更廣，常見磁性材料的受力都可以用節點力條件來計算。但是，由于它是基于有限元節點推導的，所以會因為有限元網格的劃分而產生不同的結果。因此，在使用節點力條件的計算中，合理地劃分網格十分重要。

3.表面上的力

表面力其實并不是某一種物理現象引起的力，而是通過麥克斯韋應力張量理論的一種電磁力計算方法。在JMAG中，[Surface Force]對應的就是這種計算方法。它是通過計算經過某個表面上的磁通密度來進一步計算出電磁力的，就好像在電機的NVH分析中，我們經常會通過仿真計算出氣隙處的磁密，再通過式（1-16）算出電磁力。

式中，Fr是徑向電磁力（N）；Br是徑向磁通密度（T）；μ0是真空磁導率。

之所以使用這種方法，是因為電機定子內側是由齒和槽口組成的，如果通過節點力計算，則無法提取出連續的電磁力（槽口處為空氣，電磁力為0）。通過表面力方法則可以觀察到電機氣隙部分的磁力線和力，并且可以看到空氣中電磁力的相互排斥、吸引或者推動，如圖1-24所示。

然而，表面力需要畫出計算面，計算面的選取對計算精度有非常大的影響。通常我們并不推薦JMAG用戶使用表面力進行計算，因為如何選擇計算面是一個很復雜的問題。如圖1-25a所示，將鐵塊和磁鐵放在一起，在鐵塊外側取多個不同的計算面，它們與鐵塊表面的距離各不相同。如圖1-25b所示，通過仿真求得的作用于鐵塊的力會因計算面到鐵塊表面距離的不同而不同。也就是說，計算面的選取會導致計算結果的不同。如果計算面選取不當（如距離鐵塊表面0mm或0.5mm），那么計算結果偏差就會偏大。

考慮到大部分用戶都會有“如何選擇合適的方法？”這個問題，本節將直觀地對JMAG中3種電磁力的計算方法進行對比，詳見表1-1。

由于任何問題都需要因地制宜、具體分析，這里就基于最常用的情況提供如下判斷基準：明確計算對象。如果是導體，則請用洛倫茲力方法求解，比如計算磁場中通電導線的電磁力；如果是磁性材料，則請用節點力方法求解，比如電機定子上齒部的電磁力；而表面力密度條件在計算定轉子之間磁拉力的時候會用到，比如偏心的時候，雖然力是施加到轉子上，軟件會自動擴展為在氣隙中間表面積分電磁力密度，以此來觀察定轉子之間磁拉力的分布情況。