1.3.1 十進制數

我們通常用所謂的十進制位值記數法（decimal place-value notation）來書寫數字。讓我們來分析一下。位值記數法（或按位記數法）是指被書寫數字的每個位置都代表一個不同的數量級，十進制（或以10為基數）是指數量級的因數是10，每個位置可以是0～9這十個不同符號中的一個，參見圖1-1的位值記數法示例。

在圖1-1中，該數字用十進制位值記數法寫作275。5在個位上，代表它的值是5×1=5。7在十位上，代表它的值是7×10=70。2在百位上，代表它的值是2×100=200。所有位置代表的值的總和為5+70+200=275。

圖1-1 十進制位值記數法表示的275

很容易吧？你可能在一年級就明白了。但是，讓我們仔細研究一下為什么最右邊的是個位？為什么下一個位置是十位？這是因為我們采用的是十進制，或者以10為基數，所以每個位置的權重就是10的冪，如圖1-2所示，最右邊的位置是10的0次冪，也就是1，下一個位置是10的1次冪，也就是10，再下一個位置是10的2次冪，也就是100。

圖1-2 在十進制位值記數法中，每個位置的權重都是10的冪

如果需要用十進制表示大于999的數，就在左邊再增加一位，即千位，它的權重等于10的3次冪（10×10×10），也就是1000。繼續按這個模式擴展，我們就可以得到任意大的數字。

我們已經知道了為什么不同的位置有不同的權重，讓我們繼續深挖一下為什么每個位置都使用符號0～9？當使用十進制時，我們只有10個符號，因為根據定義，每個位置只能表示10個不同的值。0～9是目前所使用的符號，但其實可以使用任何一組10個具有唯一性的符號，這其中的每個符號對應一個特定的數值。

大多數人喜歡把以10為基數的十進制系統作為數字系統。據說這是因為我們有10個手指和10個腳趾，但不管理由是什么，現代世界的大多數人閱讀、書寫和思考數字時都使用十進制。當然，這只是我們集體選擇用來表示數字的一種約定。正如我們前面提到的，這種約定不適合應用在計算機上，計算機只使用了兩個符號。讓我們看看在限定兩個符號的同時，如何運用位值系統。