03　找到漏洞

我和萊文在才華橫溢的業余數學家羅伯特·安曼（Robert Ammann）未發表的作品中發現了解開彭羅斯平面填充秘密的重要線索。

安曼是一位不同尋常的隱士。他才華橫溢，20世紀60年代中期被布蘭迪斯大學錄取，但他只上了3年大學，在此期間很少離開自己的房間。學校行政部門最終開除了他，而他此后也未獲得任何正式的學位。

之后，安曼自學了計算機編程，并獲得了一份低級計算機程序員的工作。但在公司裁員期間，他的職位被取消了，所以他又在郵局找了一份分揀郵件的工作，這是一種不需要太多人際交往的工作。安曼的同事認為他沉默寡言，非常內向。

郵局工作人員可能永遠不知道的是，安曼是一位數學天才。私下里，他與學術巨星羅杰·彭羅斯和約翰·康韋一樣，都喜歡娛樂數學。安曼謙虛地稱自己是一名“有數學底子的業余玩家”。

我和萊文在一本不太知名的期刊中讀到兩篇短文，偶然發現了安曼的觀點，這兩篇短文的作者是倫敦大學材料科學教授、晶體學家艾倫·麥凱（Alan Mackay）。麥凱和我們一樣，也癡迷于二十面體、彭羅斯平面填充以及被禁阻的五重對稱性物質。他的兩篇論文與其說是研究論文，不如說是思辨論文，都闡述了他對這個問題的一些概念性思考，其中兩張插圖引起了我們的興趣。

在圖3-1中，麥凱展示了一對菱面體。我和萊文已經非常熟悉這些三維形狀了。它們明顯是寬菱形和窄菱形的三維類似物，兩者可用于創建二維彭羅斯平面填充。麥凱似乎和我們走在同一條路上。

然而，我們失望地發現，麥凱的論文沒有提及任何可以阻止三維建構模塊形成周期性晶體結構的匹配規則。對于我和萊文來說，找到那些特殊的匹配規則至關重要。沒有它們，原子仍然能夠排列成許多普通晶體結構中的任何一種，但無法形成我們希望發現的不可能的結構。

麥凱在論文中展示的第二幅插圖也引起了我們的興趣。這是一張關于X射線衍射圖像的照片，這種圖像是通過激光照射彭羅斯平面填充產生的。從這張照片中可以清楚地看到，復雜的衍射圖像包括一些角度相當精確的針點，其中一些在十邊形的角上，一些在五邊形的角上。不過，我們無法確定這些針點是具有精確的角度還是稍微有偏離，抑或它們沿著完美的直線排列。

對于像我和萊文這樣的物理學家來說，這些細節至關重要。如果這些針點角度精確，且沿著完美的直線排列，可以排列成完美的正十邊形和正五邊形，那將會呈現出一幅前所未有的X射線衍射圖像。當然，這也意味著發現了一種前所未有的原子排列方式。這是第一種可能性。

然而還存在第二種可能性，它們如果是排列不規整且角度有偏離的針點，就沒有那么令人興奮了。這只表明相對應的原子排列是有序和無序的混合，類似于我和戴維·尼爾森已經研究過的排列，并不是一種新的物質形式。

顯然，第一種可能性意味著一些真正新穎的東西，是我和萊文所期盼的。然而，當我們聯系麥凱詢問匹配規則和衍射圖像的精確數學原理時，他沒有給出答案。麥凱解釋說，數學不是他的強項。因此，他不知道如何證明彭羅斯平面填充的衍射針點角度是完全精確的還是有些偏離。令人感到遺憾的是，他說自己只有一張照片，無法保證精確度。因此，他不能確定衍射圖像的特征。

麥凱還告訴我們，他在論文中討論的兩種菱面體并不是自己創造的，它們源自一位名叫羅伯特·安曼的業余愛好者的作品。這是我們第一次聽到有人提到這位神秘的天才，除了與《科學美國人》雜志的娛樂數學專欄開創者馬丁·加德納有交流之外，安曼很少與人來往。麥凱建議我們聯系加德納尋求幫助。

萊文立即寫信給加德納，加德納又讓我們去找布蘭科·格倫鮑姆（Branko Grunbaum）和杰弗里·謝潑德（Geoffrey Shephard），他們正在寫一本即將出版的關于平面填充的書，書中收錄了安曼的一些巧妙發明。從他們那里，我們發現安曼已經獨立發現了使菱形強制產生五重對稱性的匹配規則，類似于彭羅斯的發現。令人難以置信的是，他還發明了另一套具有匹配規則的圖形，可以強制實現同樣不可能的八重對稱性。

安曼不是一位訓練有素的數學家，他沒有提供任何證據證明自己提出的匹配規則是有效的，也從未寫過相關的科學論文，他只是憑直覺知道應該這樣做。

加德納還為我們找來了安曼的一些筆記，其中闡述了他對二十面體對稱性的建構模塊的想法。這個想法也沒有經過嚴格的證明，以及沒有任何令人信服的論證。

幾年后，我和萊文設法在波士頓找到了這位神秘的天才，并成功吸引他來費城看我們。安曼和我想象的一樣聰明。他那些充滿創造性的幾何思想和有趣的猜想，雖然從未發表過，但結果往往正確無誤。其中一些想法，比如出現在麥凱插圖中的菱面體的想法，是我和萊文經過獨立的辛苦工作和論證才發現的。然而對于安曼來說，一切都靠直覺。令人感到遺憾的是，幾年之后安曼去世了，我和萊文再也沒有見過他。

對于我和萊文而言，安曼最具影響力的發明是，提出了以自己名字命名的“安曼線條”（Ammann bar），以說明一條解釋力極強的匹配規則。根據圖3-2中虛線所示的精確格局，安曼在每個寬菱形和窄菱形上畫了一組線條。

安曼的匹配規則是，只有當一塊地磚上的安曼線條能夠筆直地沿著另一塊地磚任何一邊的安曼線條延伸下去，這兩塊地磚才能相互連接在一起。這就產生了與彭羅斯的絲帶或互鎖裝置相類似的約束。所以，初看之下，這沒什么了不起的。

然而，如果你仔細觀察就會發現，安曼線條改變了一切。我和萊文發現，這些線條揭示了彭羅斯平面填充的一些玄機，連彭羅斯自己都沒有意識到。這一發現讓我和萊文進入了一個充滿不可能對稱性的新世界。

我和萊文觀察到，當地磚按照匹配規則連接在一起時，單個的安曼線條連接起來形成安曼線（Ammann line），這些安曼線以直線的形式延伸穿過整個平面填充。圖3-3顯示了該平面填充和疊加于平面填充之上交叉排列的筆直安曼線，該陣列由5組不同方向的平行線組成。

我和萊文發現，這5組平行線中的每一組都是相同的，而且每組交叉的線條之間的角度與五邊形相鄰邊的夾角完全相同。這是我們所能想象到的最簡單的證據，證明該平面填充具有完美的五重對稱性。

對于我和萊文來說，這絕對是激動人心的時刻?，F在，我們非常確定地知道，我們正朝著一個發現前進，而它與幾個世紀前阿維和布拉維提出的晶體學定律完全相悖。我們確信，安曼線提供了避開那些既定定律的線索，并解釋了彭羅斯平面填充中神秘的對稱性。不過，我們仍然需要破譯安曼線的含義。

破譯的關鍵是只關注5組平行線中的一組，比如圖3-4中用粗線表示的一組。我們可以看到，平行的安曼線之間的通道被限制為兩種可能的寬度之一，我們用W（寬）和N（窄）表示。對于我們來說，最重要的兩點分別是兩個通道寬度之間的比值和它們在模式中重復的頻率。我們將揭示這兩個特征——比值和序列，它們與兩個非常著名的數學概念有關，分別是“黃金分割率”和“斐波那契數列”。

黃金分割率在自然界中隨處可見，自古以來常被運用于藝術創作之中。古埃及人用它來設計偉大的金字塔。據說在公元前5世紀，古希臘雕塑家和數學家菲狄亞斯（Phidias）根據黃金分割率在雅典建造了帕臺農神廟，它被認為是古希臘文明的標志。黃金分割率有時用希臘字母ф表示，讀作“phi”，以紀念菲狄亞斯。

對于黃金分割率，古希臘數學家歐幾里得借用一個簡單的物體給出了有記錄以來最早的定義。他曾考慮如何把一根棍子掰成兩段，使得短段與長段之比等于長段與棍子總長之比。他的解決方法是較長的一段必須正好是較短一段長度的ф倍，其中ф是一個無限不循環小數，其值為：

ф是一個無限不循環小數，無限不循環小數被稱為無理數，因為它們不能用整數的比值來表示。這與有理數形成對比，比如2/3或143/548等有理數，它們是整數的比值，其十進制形式為0.333和0.260 948 905 109 489 051 09，如果小數點后面保留的位數足夠多，就會看到它們有規律地重復著。

對于我和萊文來說，在彭羅斯平面填充的五重對稱性中發現黃金分割率并不奇怪，因為黃金分割率本身與五邊形的幾何形狀直接相關。例如，在圖3-5a中，連接五邊形一組對角的一條線的長度與五邊形一條邊的長度之比為黃金分割率。如圖3-5b所示，二十面體中同樣存在黃金分割率，它的12個角形成3個垂直的矩形，每個矩形的長、寬之比等于黃金分割率。

然而，令我和萊文感到吃驚的是，前面提到過的W和N通道序列中也存在黃金分割率。

考慮一下圖3-6中標出的W和N的通道序列。W和N通道永遠不會有規律地重復出現。如果數一數圖中W和N的個數，然后計算出W和N的個數比例，你就會發現前3個通道的比例是2∶1，前5個通道的比例是3∶2，前8個通道的比例是5∶3……

有一個簡單的算法可以生成這個序列。首先思考一下第一個比例，2∶1，將這兩個數字相加（2+1=3），然后將總和（3）與原來兩個數字中較大的一個（2）進行比較，這個新的比例是3∶2，這也是通道序列中的下一個比例。將接下來的兩個數字相加（3+2=5），再一次將這個數字與前面兩個數字中較大的一個進行比較，結果是5∶3。你可以無限期地繼續這個過程，以獲得8∶5，13∶8，21∶13，34∶21，55∶34等。這些比例能精確地預測出安曼通道構成的序列。

我和萊文立刻認出了這個整數序列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，……這被稱為斐波那契數列，數列的名稱是以13世紀居住在比薩的意大利數學家列奧納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）的名字命名的。

斐波那契數列之間的比例相繼為2∶1，3∶2，5∶3，……它們都是整數的比例，因此都是有理數。斐波那契數列的一個著名特征是，隨著整數越變越大，比值越來越接近黃金分割率。這就是斐波那契數列和黃金分割率之間的聯系。

事實證明，以W和N模式再現斐波那契數列的唯一方法是，讓W以比N更高的頻率重復，就像彭羅斯平面填充，向各個方向延伸，其倍數正好等于黃金分割率，這是一個無理數。簡而言之，這就是彭羅斯平面填充的奧秘。

由兩個以不同頻率重復的元素組成的序列，其元素出現的頻率的比值是一個無理數，這樣的序列被稱為“準周期序列”。一個準周期序列永遠不會出現相同的重復。

例如，斐波那契數列中沒有哪兩個通道周圍的W和N模式是相同的，盡管在某些情況下只有看得足夠遠才能發現差異。這同樣適用于彭羅斯平面填充。如果仔細觀察，你會發現沒有哪兩個填充圖形的周邊結構是完全相同的。

我和萊文終于可以準確地指出阿維和布拉維提出的長達幾個世紀的定律中存在的漏洞。晶體學的基本定律是：如果填充圖形或者原子的排列圖案是周期性的，以單一的重復頻率出現，那么只有某些特定的對稱性是可能的。特別是，對于周期性的原子排列來說，沿任何方向的五重對稱性都是不可能的，我們可以稱之為第一種不可能，即絕對不可違反，就像一加一永遠不可能等于三一樣。

然而，科學家向一代又一代的學生斷言，任何類型的物質都不可能具有五重對稱性，這其實是第二種不可能。這種說法基于一種并非總是有效的假設。在這種情況下，物理學家和材料科學家在沒有證據的情況下，假設所有有序排列的原子都是周期性的。

我和萊文現在明白了，彭羅斯平面填充雖然是有序排列的幾何案例，但不是周期性的。它是準周期性的，精確地來說就是，它具有以兩種不同頻率重復的填充圖形或原子，重復的次數之比是無理數。這就是我們一直在尋找的漏洞?？茖W家一直假設原子在物質中總是呈周期性或隨機性排列，而從未考慮過準周期排列。

如果真實的原子可以以某種方式排列成一種模式，以兩種不同的頻率重復，這兩種頻率的比例是無理數，那么它將是一種全新的物質形式，突破了阿維和布拉維建立的規則。

這一切看起來如此簡單卻又如此深刻，就好像一扇新的窗戶神奇地出現在我們面前，這扇窗戶只有我和萊文能看透。我知道，遠處是一整片潛在的待突破領域。目前，這片土地是屬于我們的，只有我倆可以探索。