在印象中，自己所知的凹多邊形并不多。除了最近提到了凹四邊形，其他都未曾遇到過。與凸多邊形不同，凹四邊形有一個角是大于180度的。這種角稱為優角，而其他小于180度的是劣角。凹四邊形可以通過圖形拼湊得到，而凸四邊形也可以只不過，凹四邊形的痕跡明顯，而凸四邊形則不明智。理論一個幾何圖形有無數種拼湊方案。若是以頂點為拼湊圖形的頂點，則拼湊方案就不多。假設兩個鈍角三角形的鈍角合在一起，可以形成一個凹四邊形。延長那個鈍角的頂點的兩條相鄰邊，可以形成一個凸四邊形。以及兩個小的三角形。

在桂陽，有這么一個人。他住在僧帽街一處不大的居所里，家里有各種書籍。其中尤其是數學書籍。他每日埋頭苦學，倒也并未覺得有什么辛苦。古時候有寒窗苦讀，這句話用在他身上倒是貼切。不過，有時也會遇到一些問題。這一天，他在作圖時忽然覺得凹四邊形與凸四邊形有聯系。一切都有一個原因。關于0.9的循環一直是個熱門問題，他自然也就更加關注。在這個問題上，引人注目的就是1/3。有人在爭論它化為小數后的最后一位數字是多少，對此很多人都不能給出滿意的答案。他另辟蹊徑，覺得如果把1/3變成其他進制會如何。比如變成九進制。不如先從簡單的入手。33化為九進制就是36。但是，0.1化為多少呢？他認為1/3化成九進制就是0.3。如此他看到了不同進制對數的影響。我們先來做個定義。把1、2這樣的數叫做平凡因子，而把0.3的循環當成是非平凡因子。他認為必定存在一種轉換機制，可以讓它們相互。當他處理凹多邊形，就覺得一定可以在某種情況下轉變為凸多邊形。然而，這個機制卻并不容易發現。有人說過一句話，若是一個人可以畫出數學意義上的圓，那么整個世界都會隨之改變。人們都知道，用圓規可以畫圓。然而，用放大鏡來看，我們畫的其實是圓環，而不是。在物理中，存在維度空間的說法。而數學意義上的圓是二維的，而我們的世界是三維的。本質上，是不能畫出數學意義上的圓的。不過，物理學家相信不同維度之間存在一個通道。所以，只要我們可以找到辦法來畫數學意義上的圓，嚴格來說就可以接近二維空間。又或者在這套機制之中，就存在畫出數學意義上的圓的線索。事實上，我們可以通過制作小型的圓規來實現。不過，這就像計算圓周率一樣。需要很久才可以實現。

一次，他偶然聽到有個數學書的傳說。因此，他就四處打聽。終于，他得到消息。但是，他卻什么都沒有做。而是繼續呆在自己的家里，期望用自己的手畫出數學意義上的圓。于是，他就在紙上畫起來。那是兩個直角三角形，它們的一個銳角重合。但是，它們不完全重合。這樣，就形成了一個凹四邊形。一個接著一個，他在紙上不停地畫著。