約公元前1650年　可以化圓為方嗎？

相關數學家：

古埃及人、古希臘人

結論：

由于π是一個超越數，“化圓為方”不可能。

希臘人如何應對無理數

“化圓為方”是古代數學家面前最古老的一項挑戰。僅用尺規作圖，能否畫出一個面積與給定圓相同的正方形？本質上，這可以歸結為求π精確值的問題。π，指圓的周長與直徑之比。如果假定圓的半徑r為一個長度單位（可以是1毫米，也可以是1千米），圓的面積就為πr2或π平方單位。具有相同面積的正方形邊長將為π的平方根，即約為1.772單位。

這個問題在古埃及的《萊因德紙草書》（Rhind Papyrus，參閱下一節）中得到了初步解答。書中記載的計算方法，是針對圓形區域的面積求一個粗略的值。這一方法所采用的規則是切掉圓直徑的，以剩余直徑的長度為邊長，從而得到一個面積與圓相似的正方形，即取π的近似值為或3.160 49——這個值相當接近我們現在所采用的π值3.141 59。盡管非常接近，但還是沒有解決化圓為方問題。然而，這場關于化圓為方的競賽在希臘人加入之后才真正拉開帷幕。

估算π

公元前440年左右，阿那克薩戈拉被關押在雅典。據記載，他是第一個研究化圓為方問題的希臘人。幾年后，安提豐想了一個辦法，他先作了一個圓內接正方形，然后將邊數加倍，可以得到一個內接八邊形，接著再將邊數加倍，又能得到一個內接十六邊形，依此類推，直到他能計算出來的多邊形面積幾乎和圓相等。

與此同時，希俄斯的希波克拉底（不要與來自科斯島的同名醫師混淆）以等腰直角三角形的三條邊為直徑作了三個半圓。這三個半圓所圍成的兩個月牙（以兩個重疊的圓為界限的新月形區域）的面積之和，等于該三角形的面積。然后，他所要做的就是作一個和該三角形面積相等的正方形。不過，他最終沒能解決這個問題。

希波克拉底的方法

是否可能？

幾個世紀以來，許多數學家都在試圖解決這個問題，但這個問題似乎沒有答案。“化圓為方”也被人們賦予了新的含義——嘗試去做那些不可能的事情，比如阻止潮水的流動。

維多利亞時代的數學家查爾斯·路德維希·道奇森以“劉易斯·卡羅爾”為筆名，創作了《愛麗絲夢游仙境》。他熱衷于揭穿那些聲稱能夠化圓為方的虛假理論。1855年，他在日記中寫道，希望寫本書來探討一下“化圓為方者得知道的幾個簡單事實”。

想要化圓為方，首先你得作一條長度為的線。1837年，有研究表明，長度為整數、有理數（例如）甚至某些無理數的情況下，可以作特定長度的線。無理數是指那些不能僅用含有整數的分數來表示的數字。因此，是有理數，也是有理數。但是無理數，我們可以寫作1.414 213 562 373 1，但它不等于任何整數相除的值，并且小數位不會重復。不像，我們可以寫作0.142 857 142 857 142 857…，雖然也除不盡，但小數位是重復的。雖然是無理數，但也可以寫成具有整數系數的方程的乘積：x2＝2。這樣一來，它就成了一個代數數，我們便可以作長度為任意代數數的線。

超越數

不幸的是，π不僅是無理數，還是超越數。這意味著，π并不能通過上述方程式計算出來。1882年，德國數學家費迪南德·馮·林德曼證明了π是超越數。因此，我們無法作長度為（或）的線。

證明某一數字是超越數確實非常困難，但絕大部分實數都是超越數。當代數學研究中，還有許多數字尚未被證明到底是代數數還是超越數。要想證明一個數字是超越數，必須證明它不是任何代數方程的根。鑒于有這么個典型特征，絕大多數超越數都很難被用到，因為它們都極難處理。

在數論中，人們常把林德曼的發現，與和他同一時期的卡爾·魏爾斯特拉斯的發現相結合，并稱為“林德曼－魏爾斯特拉斯定理”。該定理采用了一系列復雜的證明去驗證數字的超越性。由該定理可以直接得出，π和e都是超越數。這兩個數也是迄今為止最常用的超越數。

通過證明π是超越數，林德曼－魏爾斯特拉斯定理同時證明了人們無法作出長度為π的線。這一來自19世紀數論的結果，解決了幾個世紀以來的經典幾何問題。至此，人們徹底證明了化圓為方并不可能。