2.1.2 隨機事件

在隨機試驗中，隨機變量取一個值或者取一組值，或者一組隨機變量取一組值，稱為一個隨機事件（后續一般簡稱為事件）。“X=1”是一個事件，同樣，“X=1或者X=2”“X=1且Y=3”“X=1或者Y=3”都是事件。舉一些具體的例子，“拋硬幣后頭朝上”“對象大于40歲”“患者康復了”都是事件。第一個例子中，“拋硬幣的結果”是一個變量，“頭朝上”是變量的取值。在第二個例子中，“對象的年齡”是一個變量，“年齡大于40歲”是這個變量的一組可能的取值。在第三個例子中，“患者的狀態”是一個變量，“康復”是其取值。在這里，關于“事件”的定義與我們日常生活中關于“事件”的提法有所不同，在日常生活中，“事件”通常是指一定變化的發生。比如，在日常生活中，我們不會說一個人年齡多大是一個事件，相反，我們一般把一個人又長了一歲稱為一個事件。這里事件的概念也可以從概率的角度來理解：任何一個斷言（關于事物為真或假的陳述）都是一個事件。隨機試驗中必然發生的事件，稱為必然事件，比如，學生身高、體重統計中，學生的身高大于0；在隨機試驗中必然不發生的事件稱為不可能事件，比如，學生身高、體重統計中，學生的身高小于0。

擲骰子，觀察骰子朝上一面的數字，這是一個隨機試驗，因為它滿足隨機試驗的三個條件：擲骰子可以按相同條件重復進行；全部可能的結果是確定的，是1～6這6個數字中的一個；試驗的結果到底是哪個數字，在試驗完成之前無法確定。（觀察到的）骰子朝上一面的數字是一個變量，我們用X來表示這個變量。如果試驗得到的骰子朝上一面的數字是5，即X=5，這就是一個事件。在這個隨機試驗中，變量X所有可能的結果，即變量X的所有取值有6個，分別是X=1、X=2、X=3、X=4、X=5和X=6，這是6個事件，并且這6個事件在每次試驗中必然發生一個且僅發生一個，這樣的事件稱為基本事件。這個試驗的結果也可能是X>4，這也是一個事件，它等價于X=5或X=6，由多個基本事件組合而成，我們稱之為復合事件。對于一個隨機試驗，由全部基本事件作為元素所組成的集合稱為樣本空間。樣本空間中的一個元素稱為一個樣本點。樣本點所對應的事件，既可以是基本事件，也可以是復合事件。

對于一個隨機試驗，其所有的事件都是樣本空間中的子集，因此，事件之間的關系和運算可以按照集合論中集合之間的關系和運算來處理。假設隨機試驗的樣本空間為Ω，事件A、B、A_k(k=1,2,…)是Ω的子集。相應地有下列事件之間的關系。

（1）包含關系

A?B，即事件A發生必然導致事件B發生，稱為事件B包含事件A。在擲骰子試驗中，若事件A是X=5、事件B是X＞4，則有A?B。

（2）和事件

事件A∪B={ω|ω∈A或ω∈B}稱為事件A與事件B的和，即當且僅當A和B中至少有一個發生，事件A∪B就會發生。

（3）積事件

事件A∩B={ω|ω∈A且ω∈B}稱為事件A與事件B的積，即當且僅當A和B同時發生，事件A∩B發生，通常A∩B簡寫為AB。

（4）互不相容事件

若A∩B=?（這里?表示空集，不可能事件），則稱事件A與事件B互不相容（也可稱為互斥），即事件A與事件B不可能同時發生。

（5）對立事件

若A∩B=?且A∪B=Ω，則稱事件A與事件B互為對立事件（也稱為逆事件）。這是指對每次試驗，事件A與事件B必有一個發生，且僅有一個發生。事件A的對立事件記為。

（6）差事件

事件A-B={ω|ω∈A且ω?B}稱為A與B的差事件，當且僅當A發生而同時B不發生。結合對立事件的概念，可有A-B=，=Ω-A。

進行事件運算時，相應的運算規則有：

1）交換律：A∪B=B∪A,AB=BA。

2）結合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,A(BC)=(AB)C。

3）分配律：A(B∪C)=(AB)∪(AC),A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A(B-C)=(AB)-(AC)。

4）吸收律：若A?B，則有AB=A,A∪B=B。

5）德·摩根公式：。

以上事件運算規則可推廣到有限個或可列無窮多個事件的情形。