數字 NUMBERS

其實我們并不理解這些數字到底意味著什么。

——戴維·斯托克曼，里根政府預算主管

我們都愿意認為自己對數字特別敏感。上學的時候你可能根本不喜歡數學，但你沒準依然能細讀銀行對賬單，瞥一眼就看清溫度計讀數，或者輕松計算現在離圣誕節還有幾周。

人類擅長處理這類小數字。雖然我們總愿意覺得自己敏銳機變、富有見地、擅長處理數字，但實際上，誰也無法擺脫人類自身的局限：大數字（以及非常小的數字）是我們的軟肋。

不過在本書中，我們將逼迫自己從日常認知走向極端值，尤其是在探索各種譜系的時候。就算我們無法真正理解那些非常大或非常小的值，至少可以通過直觀的方法更好地認識它們。

但是，直接從大數字開始毫無意義，例如十億或萬億；不，我們必須從小數字入手，循序漸進。

請想象“一”：一個按鈕，一個人，或者任何一個進入你腦海的東西。我們很容易想象一、三乃至七。想象寥寥幾件物品的時候，你的腦子里甚至可能出現一幅圖像：可能是三角形、五角形或者十字。用科學術語來說，這叫感知：你知道這個數字，你能夠感受到它，甚至無須去數。

不過一旦超過六或者七，你就需要數一下了，或者將它再分成更小的基本圖像。比如說，要想象“十”，你也許會看到兩組“五”；要想象“五十”，你可能會想到五組代表“十”的圖像。

但不幸的是，對于再大一點兒的數字，人類大腦很容易陷入混亂，無法準確感知。我們會開始估算近似值，或者用已知的數作為參照。比如說，提起“一千”，你可能會想到一個中等規模禮堂里的座位。

但這種思考方式與我們對“三”的認識完全不同。“三”是實實在在、天然存在、永恒不變的；三是個簡單的模式，而識別模式是人類最擅長的事情。研究表明，哪怕是剛出生一天的人類嬰兒也能理解小的抽象數字，他們能把聲音信號重復的模式與視覺刺激正確地聯系起來。瓦爾皮里語中代表數字的詞只有“一”“二”“一些”和“很多”，但說瓦爾皮里語的澳大利亞土著兒童卻能清楚地區分五和六——哪怕沒有相應的語言去描述，但他們能從直覺上理解兩種模式的區別。

符號背后的意義

把成組的物品擺成一種模式來代表數字，長此以往，數學家們由此創造出奇怪的符號和規則。比如說，乘法其實是一種定義模式的方法。所以5×3的意思是說，把3組5加到一起（5+5+5）。因此，乘法是一種定義加法模式的方式。

接下來，你又該怎么定義一種乘法模式呢？答案是指數——指數的本質是“把這個數相乘那么多遍”，只不過它用了個好聽的術語。比如說，53（有時候可寫作5^3）的意思是3個5相乘：5×5×5。

這聽起來很復雜，但你每天都會用到指數，甚至無須經過思考。誰都知道，10分等于1角，10角等于1塊，10塊等于……呃，就是10塊。明白了吧。指數就是把同一個數相乘多少次，所以101就是10，102等于100，103等于1000，以此類推。數學和財務的基本體系都以指數為基礎——確切地說，是10的指數。

這很好掌握，因為10的指數實際上描述的是1后面零的個數：10（101）有1個零，100（102）有2個零，1000（103）有3個零，以此類推。

我們也可以采用更直觀的圖像：想象一排有5枚硬幣，將這排硬幣重復5次，就得到了52，或者說5×5，即25枚硬幣。現在，再把這個矩陣重復五次——比如說，你可以在第一層的每枚硬幣上疊加4枚硬幣，形成一個長、寬、高都是5的“立方體”——最后得到53，即125枚硬幣。

用這樣的方法來書寫數字是理解科學計數法的關鍵。比如說，4.5×109是多少？一旦你理解了109是1后面加9個零，也就是10億，那么你就會明白，這個式子的意思是“45億”。

多大才算大？

指數的奇妙（和強大）之處在于，指數只需要變化一點點，它所代表的數值就會產生巨大的飛躍。比如說，102和103之間相差900，但103和10>4卻相差9000！指數值的變化只有1，但數值的差距已經從加州的長度（大約1200千米）變成了地球的直徑（約12700千米）。如果指數再往上加1（105），差值就變成了地月距離的三分之一（約127000千米）。

如果衡量的是體積，那變化就更大了。比如說，假如你有一個100×100×100的硬幣“立方體”，換句話說，長、寬、高都是102個1分硬幣，那么硬幣的總數是100萬枚，也就是1萬元。只需要把每條邊的硬幣數量增加到103個，那么硬幣的總數就會增加999個100萬，變成10億個，也就是1000萬元。

這樣勢不可當的“指數式增長”可能帶來非常驚人的結果。有一個古老的故事曾經提到，一位工匠獻給國王一張精致的棋盤，并請求國王賜給他相應的回報：他要求在棋盤的第一個格子里放1粒大米，第二個格子里2粒，第三個格子4粒，第四個格子8粒，以此類推，填滿棋盤的64個格子。這個要求看起來很合理，于是國王馬上就答應了。

不幸的是，這位國王不懂指數的威力。每次都翻倍，也就是“n個2相乘”，或者說2n。所以第二個格子需要21粒大米，第三個是22（只有4粒），到第八個格子——就是第一排的最后那個格子——也只需要27粒大米，也就是128粒。但以此類推……第21個格子就需要100萬粒大米，到第41個格子需要的大米已經超過1萬億粒。做完整個運算，你會發現總共需要264-1粒大米（必須減掉1是因為第一個格子是從1粒大米開始的，也就是20），也就是18446744073709551615（1.84×1019）粒——足以填滿4英里長、4英里寬、6英里高（6.4千米×6.4千米×9.7千米）的立方體——比珠穆朗瑪峰還高。

當然，故事里的國王雖然數學不靈光，但卻擁有政客的機敏：他宣稱，工匠要想得到賞賜，就得數清楚獎品中的每一粒米。如果每秒鐘數1粒，那么他需要5000億年——約等于宇宙年齡的42倍——才能完成這個任務！

這個故事很好地解釋了指數式增長到底有多恐怖，以及人們有時候為什么會用“棋盤的后半張”來形容遠超控制范圍的情況。

數不清的數

不幸的是，不需要到棋盤的后半張，光是在前三分之一處，人類大腦就會出現認知科學家侯世達所說的“數不清的數”現象。歸根結底，我們能夠一次性看到1000件物品，所以我們能理解這個量級的數字——雖然可能不太精確。

我們甚至能同時看到一萬乃至十萬件物體——想象一下座無虛席的足球場或政治示威集會，放眼望去全是密密麻麻的人頭。

不過，人類視覺分辨率的上限介于100萬到1000萬之間——你可以打印一張百萬個點組成的海報，然后把它放到合適的距離，以便在看清全貌的同時仍能大體分辨出一個個獨立的點。老話說“眼見為實”，背后自有道理：一旦數量多到我們看不清的程度，我們就很難感知它的確切意義。所以對很多人來說，百萬以上的數量級聽起來都差不多，無論是百萬、十億、萬億還是千百萬億（抱歉，最后這個其實不是常用量級）。

現代政治和經濟（更別提科學和數學）領域動不動就會出現大得不可思議的數字，于是我們對大數字的理解缺陷也隨之成為一個嚴肅的問題。既然如此，我們如何真正理解十億就是1000個百萬，而萬億是一百萬個百萬（1012）？

再次強調，圖像可以幫助我們更好地理解這樣的量級。所以請想象一整疊100美元的鈔票——加起來也只有1萬美元，體積不大，可以輕松塞進衣兜。然后是100疊——大約能裝進一個小盒子，或者一個小號購物袋——等于100萬美元。再加上99個100疊，那么1億美元的鈔票可以在一塊船運墊板上堆起6英尺多一點點。

現在，要得到10億美元，你需要10塊這樣的墊板。接下來，1萬億就是再加一點點？不對，你需要把1000組10塊墊板放到一起，才能得到1萬億美元。

這個數字大得不可思議，真的很大。正如一位博主所說：“你的腦子無法掌握這么龐大的數字。”現在，再把它翻倍——把每張鈔票配成一對——你才得到了2萬億。直到10萬億，這串數字后面才會增加一個零——從1012變成1013。說起來容易，做起來卻很難：每增加一個零，就意味著已經大得不可思議的數字還要再翻10倍；而每增加三個零，那就是1000倍。

有數不清的例子可以說明這些極大的數字彼此間的差值到底有多大。譬如以長度為例：不到一小時你就能走一百萬毫米，但要跨越十億毫米的距離，你需要開10個小時的車。至于一萬億毫米？那得繞地球25圈。

或者時間：一百萬秒大約等于一周半，十億秒則是30年，看起來夠久了吧？別急，要知道，一萬億秒（30000年）前，尼安德特人還是地球的主人呢。

要么還是以鈔票為例（最后話題總是回到錢，不是嗎？）。一位收入優渥的專業人士在銀行里的存款達到10萬美元基本就算有了底氣，但他可能希望存款達到100萬。好的，現在我們找一把尺子，如果上面1英寸（2.54厘米）就等于100萬美元，于是這位專業人士可以看到，自己的存款高度是1/10英寸，和旁邊的百萬富翁相比顯得相當可憐。但是，再把這位百萬富翁與身家650億美元的沃倫·巴菲特相比：在同樣的尺度下，巴菲特的財富高度超過1英里（1609米）！

看看這些數字，你也許會開始感覺到，一百萬是多么微不足道。

向著無限再進一步，試想一下，我們的銀河系里大約有2000億（2×1011）顆恒星；根據哈勃太空望遠鏡的觀察結果，整個宇宙里大約有1500億個星系。這個數字看起來的確很大，但是我們可以用你書桌上一些非常平凡的東西來比較：一塊普通的計算機硬盤能存儲一萬億比特的信息——所以，如果每個星系代表一個0或1，那么你的硬盤里能存儲6個宇宙。再想一想，你的身體里大約有100萬億（1014）個細胞，與之相比，硬盤的存儲能力也黯然失色。

自遠古以降，人類一直在苦苦追問，是《圣經》里所說“地球上所有的沙粒”多，還是天空中的星星多。顯然，這兩個數字都不可數，但夏威夷大學的研究者（他們應該知道）估計，地球上大約有7.5×1018顆沙粒；與此同時，盡管我們裸眼能看見的星星只有寥寥幾千顆，但天文學家目前認為，整個已知宇宙里大約有16×1021顆恒星。這個數字看起來大得不可思議，但實際上，它僅僅和大約10滴水里蘊含的分子數相當。

是的，分子就是那么小，當然，原子比分子更小。僅僅12克（不到半盎司）純碳12里就有6.02×1023個原子。這個數字看似毫無規律，但它在化學研究中至關重要，所以它擁有一個專用名稱：阿伏伽德羅常量（Avogadro constant）。這個數字定義了1“摩爾”的大小——也就是說，1摩爾任意物質中都含有6.02×1023個原子。有了阿伏伽德羅常量，你只需要瞥一眼化學質量表就會發現，1粒糖里含有一萬億（1012）個蔗糖分子。不過比起一粒鹽的分子數，蔗糖只能甘拜下風：一粒鹽里含有1.03×1018個致密的氯化鈉分子。

組塊

面對602214179300000000000000這樣的數字，你可以單獨給它一個名字，例如“阿伏伽德羅常量”，這種方法叫作組塊(2)。在處理極大或極小的數字時，組塊能讓我們省不少事。我們經常用組塊來規范數字：談到錢的時候，以“元”為單位總比“百分”容易得多。就連“百萬”這樣的數字也是一種組塊，但既然可以說“兩萬美元”，那誰也不愿意費力用“兩百萬美分”。在英語里，人們還習慣說“二十千”，因為“二十”和“千”都是直觀易懂的數字，我們不用把它再分成更小的單元。組塊構成了某種心理上的真實：我們知道它是什么，然后才能明白它的意義，你也能分辨廣告上的車到底值不值那么多錢。

與此相似，我們用“赫茲”來代替“每秒次數”，然后又引入前綴來形成更大的組塊，所以“千赫”（kHz）代表每秒一千次，而“兆赫”（MHz）代表每秒一百萬次。（在上面的例子里，談論車的價錢時用“那輛車要賣2兆分”更合理，但如果你在現實中這么說的話，別人只會奇怪地看著你）

天文學家將地球與太陽之間的平均距離定義為1個天文單位（AU）——寫起來比1.5億千米簡單點兒——又將63000AU定義為1光年。你或許無法直觀感受1光年（光在太空中旅行1個地球年的距離）到底有多遠，但你肯定明白，在討論地球到織女星的距離時，隨手寫個25光年肯定比147962000000000英里愉快得多，更別提2.37×10 17米。當然，無論我們定義的組塊有多大，數字的增長依然會超出控制，進入大得可怕——或者說可笑——的范疇。目前我們通過一顆恒星爆炸釋放的伽馬射線探測到的最遠天體離地球的距離大約是13140000000光年，即1.2×1026米。

超越可能

1938年，數學家愛德華·卡斯納讓九歲的侄子米爾頓給一個大得不可思議、超乎想象的數取個名字。孩子回答說：“古戈爾”（googol）(3)，并相當早慧地把這個單位定義為1后面100個零（10100）。隨后，急于突破極限的米爾頓又提出了古戈爾普勒克斯（googolplex），起初小男孩希望把這個數定義為“寫零寫到手酸”，但后來他決定將之標準化，定義為“1后面古戈爾個零”。

這些數超越了目前已知事物的極限。事實上，已知世界里還沒有能達到1古戈爾量級的東西！地球上所有物質加起來的分子總數也不到1古戈爾，太陽里所有的氫原子加起來也沒有這么多。更讓人震驚的是，已知宇宙里的所有原子總共只有大約1081個，比1古戈爾小了18個數量級。

所以，既然古戈爾這樣的數字（更別提更加瘋狂的古戈爾普勒克斯）已經超越了任何物質的數量，那我們為何還要為它費神？因為數學上的需求。大部分人對數學的了解止步于算術，但專業的數學家走得更遠，鉆研得更深。他們的工作遠不止淺顯地解方程，而是努力試圖理解數字潛藏的本質，乃至宇宙的本質。要描述這個宇宙——或者說眾多可能的平行宇宙之一——你必須超越它的極限，正如畫紙必須比畫更大。

鉆研高等數學、學習破解密碼或研究宇宙學的時候，你完全無法避開那些“極大的數字”。比如說，稍早前我們探查過44這個簡單數字的含義，它等于256。但的四次方呢？乍看之下這個數似乎平凡無奇，但實際上它代表的數字超過154位（1.34×10154）！數學家稱之為迭代冪次——記作“4連續取冪于自己3次”——有時候也叫作迭代乘方、超冪，或者9歲的米爾頓為之驕傲的稱呼——“超4”。

超4運算將數學帶入全新的領域，超越了電子計算機吱吱嘎嘎處理數字的層面。當然，計算機可以憑蠻力算出一局國際象棋中所有可能的選擇（整局國際象棋里可能的走法加起來大約是1050這個數量級），但在古老的圍棋游戲——用簡單的黑白子在19×19的網格上下棋——中，可能的走法共有10150種。

邏輯與數字的螺旋還能進一步向上攀升。1933年，南非數學家斯坦利·斯奎斯當時正在研究質數(5)在數字譜系中的分布，他在論文中提出了1.397×10316這個數——它如此巨大，甚至有了自己專門的名字（斯奎斯數）；著名數學家G.H.哈代開玩笑說，這是“數學中有確切目的的最大數字”。但斯奎斯數創造的紀錄很快就被打破了，與目前最先進的經常包含這種數字的數學函數相比，斯奎斯數顯得相當老式。這些數真的很大。

走向負數

老話常說：“下如其上。”（as above so below），在數字的世界里，你更能領會它的含義。2的倒數是1/2，即0.5；3的倒數是1/3，比0.5還小。隨著數字逐漸增大，從4、5到10、100，等等，它的倒數也不斷減小（1/4，1/5，1/10，1/100，以此類推），不斷逼近但永遠不會等于零。那么，比1/古戈爾還小的數會是什么？答案當然是1/古戈爾普勒克斯！

順便說一下，極大的數與極小的數記錄方法基本相同。1×103意味著“將小數點向右移動3位”（1000），那么1×10-3就是“將小數點向左移動三位”（0.001，或1/1000）。以此類推，百萬分之一就是10-6，十億分之一是10-9。

但是，數字不斷變小，早晚會變成零……然后呢？你無法數清楚1古戈爾件物品，同樣，你也沒法數出比零還小的數。古希臘人在兩千五百年前就擁有超乎現代人想象的數學技巧，但卻有個致命的軟肋：他們不承認任何無法用幾何圖形來描繪的數字。你能畫出比零還小的數嗎？顯然不行，那么在希臘人的世界里，這樣的數等于不存在。說實在的，他們的想法也不無道理：你可以問一個六歲小女孩：“2減2等于幾呀？”她會告訴你答案；可是你再問她：“2減3等于幾？”你會看到她小小的眉毛像《星際迷航》里的斯波克先生那樣倒立起來：這根本沒法算！

不過，公元前的中國人和印度人就沒有這個毛病，他們不需要用圖畫或者可數的物品來代表數字，而且他們都想出了在那個年代堪稱激進的概念：負數。

負數無法實實在在地數出來，但你知道它在那里，因為事情就應該如此，順理成章。正如偉大的數學家卡爾·弗雷德里希·高斯曾經寫道：“在普通的算術中，誰也不會拒絕接受分數的存在，雖然對于很多可數的物品，分數毫無意義；同樣，既然有正數存在，我們也沒有理由拒絕負數。”

所以，我們又找到了數字的另一種配對方式：15與-15成對，10261的鏡像則是-10261，以此類推。

以此類推？如果你停下來想一想，“以此類推”的說法和負數一樣激進：它暗含著永遠、無盡、無窮的意思。在這里，我們再次要求自己放遠目光，超越舒適的可數宇宙。我們的數學有一個基本前提：世界上存在無窮大和無窮小的東西。但是，“無窮”——它有許多種叫法，包括“阿列夫零”（aleph null，）、“N的集合”，等等——是個棘手的概念，只有意志堅定的人才能理解并運用。

記住，無窮不是終點，更像是一個想法。我們不能確切地指出，從什么地方開始，那些極大的數就等同于無窮。天文學家卡爾·薩根曾經寫道：“1古戈爾普勒克斯與無窮的距離并不比1更近……無論你腦子里想到的是多大的數，無窮都比它更大。”

光是將無窮引入計算就會帶來一片混亂，仿佛在擺滿哈哈鏡的屋子里穿行。無窮加1等于無窮。無窮加無窮也等于無窮。你可能理所當然地認為，奇數的個數是自然數的一半，但事實并非如此——奇數和自然數的數量都是無窮的，沒想到吧？正如菲利普·戴維斯和魯本·赫什在《數學經驗》中所寫的：

N的集合是個神奇的無底罐，讓人不由得想起《馬太福音》15：34中那取之不盡的餅和魚。

這個奇跡之罐有許多神奇的特性，看起來有悖于我們所有的日常經驗，但它是數學里最基礎的東西，小學的孩子就應該很好地掌握它。數學要求我們相信這個奇跡之罐，如果做不到的話，我們就無法在這條路上走得更遠……

無窮沒有盡頭，它是永恒，是不朽，是萬古常新，是希臘人的阿派朗(6)（apeiron），是卡巴拉主義中的無量（ein-sof）。

你可以說正負無窮是數字譜系的盡頭，但從定義上說，數字根本沒有盡頭。

打破常規

數字向正、負兩頭無限延伸，就像一條通往永恒的鐵路。在這條看不到盡頭的線上，我們理應能找到所有數學問題的答案，不是嗎？神奇的是，很快你就會發現，有的方程在這條鐵路上沒有可以停靠的站臺，沒有任何一個點能讓你斬釘截鐵地說：“這就是它的解。”

取而代之的是，我們必須跟一些奇怪的數字打交道，譬如無理數——這些數字可以寫成無限長的十進制序列，無法簡單地表述成兩個整數之比。比如說，你可以試試看，哪個數的平方等于2，即2的平方根（）。我們可以用90/63來得到它的近似值，或者將它寫作1.4142135……但末尾的省略號意味著我們永遠無法以這種方式寫出它的精確值——小數點后的位數沒有盡頭，也沒有重復的模式，一直延伸到天荒地老。

除此之外，還有超越數。給它起名字的時候，數學家以為超越數非常罕見，但現在我們知道，這樣的數十分常見，仿若撒落在數學里的塵埃。超越數不但是無理數，而且是非代數數，也就是說，它無法用一個簡單、有限的代數方程來描述。很多無理數同時也是超越數，比如著名常數π和е。

盡管如此，無理數和超越數在數字之線上總有個位置，哪怕我們不能確切地把它指出來。除了它們以外，還有另一種更奇怪的數，完全脫離了常規的數字之線。我們來看一個簡單的代數方程：x2-1=0。要解出這個方程，需要把等式兩邊各加1，得到x2=1。換句話說，哪個數的平方等于1？答案顯然是1。（從技術上說，-1也是方程的解，因為負數的平方永遠是正數。）

π=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326459958133904780279……

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接下來，我們小小地修改一下方程，把減號換成加號：x2+1=0。哪個數的平方等于-1？史波克式的眉毛又出現了，大腦叮叮哐哐瘋狂轉動。你可以選擇一條比較容易的路，像希臘人面對負數一樣說：“它根本不存在。”又或者，你可以直面這團迷霧，離開那條清晰的數字之線，盡情發揮想象。正如偉大的數學家萊昂哈德·歐拉曾經寫道，這類問題的答案“不是無，不比無更大，也不比無更小，它需要從虛無中構建”。

他的意思不是說答案不存在，恰恰相反，這句話實際上是給這樣的數起了個名字——虛數，通常用字母i來表示。虛數的譜系完全獨立于我們日常習慣的數字之線。虛數和它的朋友“復數”（例如“2+3i”）不會出現在家用電子計算器上，但卻是數學家工具箱里的常備元素，確切地說，是不可或缺的元素。要是沒有虛數和復數，科學家就無法計算火箭軌道和量子運動。它們之所以存在，完全是出于數學的需求：邏輯嚴密的數學系統需要虛數和復數，正如它也需要負數，無論我們能不能看見這些數并把它數出來。微積分的發明者、17世紀的偉大數學家戈特弗里德·萊布尼茨曾寫道：“虛數是圣靈的完美庇護所，介于有和無之間的兩棲物。”

在模式的地基之上，我們建起了數字的宏偉教堂，有高聳的尖塔，也有陰暗的墓穴。數字在我們的建筑中熠熠生輝，表達著可數與不可言說。現實與虛幻，想象其中的一個，再想象它們的全部。