2.2　向量

向量是一個有方向的量，它是高等數學、線性代數中的概念，在力學、電磁學等領域有著廣泛應用。向量是由n個數a1，a2，…，an組成的有序數列，形式如下：

2.2.1　創建向量

在MATLAB中，向量主要采用一維數組來表示。創建向量主要有直接輸入法、冒號表達式法和函數法。

1.直接輸入法

在命令提示符之后直接輸入一個向量，其格式如下：

【例2-1】采用直接輸入法創建向量。

在命令行窗口中輸入以下命令并顯示輸出結果。

說明：在后面的算例中，直接創建的向量或矩陣語句后采用了“；”結尾，表示不在命令行窗口中輸出結果，不輸入“；”可直接顯示結果。

2.冒號表達式法

利用冒號表達式也可以創建向量，其格式如下：

其中，a1為向量的第一個元素；an為向量最后一個元素的限定值；step是變化步長，可以是正數、負數或者小數，省略時系統默認步長為1。

MATLAB支持構造任意步長的向量，步長甚至可以是負數。

【例2-2】利用冒號表達式法創建向量。

在命令行窗口中輸入以下命令并顯示輸出結果。

3.函數法

MATLAB提供了兩個函數用于直接創建向量：一個是實現線性等分的函數linspace；另一個是實現對數等分的函數logspace。

（1）函數linspace的通用格式如下：

其中，a1是向量的首元素，an是向量的尾元素，n把a1至an的區間分成向量首尾元素之外的其他n-2個元素。若省略n，則默認創建含有100個元素的線性等分向量。

（2）函數logspace的通用格式如下：

其中，a1是向量首元素的冪，即A（1）為10的a1次冪；an是向量尾元素的冪，即A（n）為10的an次冪；n是向量的維數。若省略n，則默認創建含有50個元素的對數等分向量。

【例2-3】利用線性等分函數及對數等分函數創建向量。

在命令行窗口中輸入以下命令并查看輸出結果。

采用冒號表達式法和線性等分函數都能創建線性等分向量，但在使用時有幾點區別需要注意。

（1）在冒號表達式法中，an不一定恰好是向量的最后一個元素，只有當向量的倒數第二個元素加步長等于an時，an才正好構成尾元素。

（2）在使用線性等分函數前，必須先確定創建向量的元素個數，但使用冒號表達式法將依據步長和an的限制去創建向量，無須考慮元素個數的多少。

（3）實際應用時，同時限定尾元素和步長去創建向量，可能會出現矛盾，此時要么堅持步長優先，調整尾元素限制；要么堅持尾元素限制，調整等分步長。

2.2.2　向量的算術運算

在MATLAB中，維數相同的行向量可以相加減，維數相同的列向量也可以相加減，標量數值可以與向量直接相乘除。但是，不同維數的向量之間的加減運算是不允許的。

【例2-4】向量的加減和數乘運算示例。

在命令行窗口中輸入以下命令并查看輸出結果。

2.2.3　向量的點積和叉積運算

向量的點積即數量積，叉積又稱向量積或矢量積。MATLAB是用函數來實現向量的點積、叉積運算的。

1.點積運算

點積運算的定義是將參與運算的兩向量各對應位置上的元素相乘，再將各乘積相加。因此，向量點積的結果是一標量而非向量。

（1）對于長度為n的兩個實數向量的點積為：

（2）對于復數向量，點積涉及復共軛。須確保向量與自身的內積都為實數正定矩陣。

點積運算函數是dot（），其調用格式為：

說明：如果A和B是向量，則它們的維數必須相同。如果A和B為矩陣或多維數組，則它們必須具有相同大小。對于實數向量，dot（u，v）=dot（v，u）；對于復數向量，復數關系不可互換，dot（u，v）=conj（dot（v，u））。

2.叉積運算

兩個三維向量A、B之間的叉積生成一個與這兩個向量都垂直的新向量C，即C的方向垂直于A與B決定的平面。用三維坐標表示為

叉積運算的函數是cross（A，B），該函數計算的是A、B叉積后各分量的元素值，且A、B只能是三維向量。

叉積運算函數是dot（），其調用格式為：

說明：①如果A和B為向量，則它們的長度必須為3。②如果A和B為矩陣或多維數組，則它們必須具有相同大小，此時，cross函數將A和B視為三元素向量集合，計算對應向量沿大小等于3的第一個數組維度的叉積。

3.混合積運算

在三維向量之間，綜合運用上述兩個函數，可實現點積和叉積的混合運算。

【例2-5】向量的點積與叉積運算示例。

在命令行窗口中輸入以下命令并查看輸出結果。

在獲取交叉乘積的維度中，A和B的長度必須為3。