百雞題和中國剩余定理

在生產上和日常生活上，有時會遇到兩種東西混合的數學問題。如果已知兩種東西的總量和總價，又知每一種東西的單價，就可以求出它們各有多少數量，象《九章算術》的“善田惡田”、《孫子算經》的“雉兔同籠”和《張丘建算經》的“清酒醑酒”等都是。這些題目，每題都只有一組答案。《張丘建算經》又把上述的問題推廣，創立了三種東西混合的“百雞”題，書中列舉了三組答案。另外，在《孫子算經》里有一個“物不知數”的題目，原書雖然只舉一個答數，其實這僅是一個最小的正整數解。百雞和物不知數兩個問題，答數都是無限，而都要求正整數的解答。因此，在本篇里把它們放到一起來討論。

《張丘建算經》的百雞問題和它的三組答案是：

今有雞翁一值錢五，雞母一值錢三，雞雛三值錢一，凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何?答：雞翁四，母十八，雛七十八。又答：雞翁八，母十一，雛八十一。又答：雞翁十二，母四，雛八十四。

原書所舉的解法，僅有“雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三，即得”共十七個字。這一段話告訴我們這三種答數間的關系是：雞翁順次增加四（就是由第一答中的四增加到第二答中的八，再由此增加到第三答中的十二），雞母順次減少七，雞雛順次增加三，但第一種答案怎樣求到，原書卻沒有交代。

在現傳《張丘建算經》里有一條注，其中舉出謝察微的一個解法，但這個解法是偶然湊巧，不適用于其它的同類問題。

宋代楊輝《續古摘奇算法》（1275年）轉載了這一個百雞題，把它稱做“三率分身”法的問題。楊輝雖然只記錄了《張丘建算經》中的部分字句，仍沒有解法，但是后面另舉兩個同類問題，卻各有合理的解法。現在把它們分別記述在下面。

第一個同類題據楊輝稱出于《辯古通源》（現已失傳）。我們如果用它的解法來解百雞題，應該先由

100×3－100=200，5×3－1=14，3×3－1=8，

算出200，14，8三個數。這實際就是設雞翁數是x，雞母數是y，雞雛數是z，依題意列方程

x+y+z=100,......................(1)

..................... （2）

用加減消元法消去z，得

14x+8y=200。（3）

這個方程里的三個數和上面算出來的完全一樣。接下去計算200÷（14+8），得商數9，余數2，這個余數不是14或8的倍數，于是我們改用小于9的整數作為商數。如果8作商數，就得余數24，這個余數正好是方程（3）中y的系數8的3倍，由此可把商數8作為所求的雞翁數。這個算法的原理是這樣的：設，代入方程（3），得

14x+8(x+u)=200.

就是 (14+8)x+8u=200

既然200÷（14+8）=8余24，那么就可得x=8，8u=24，u=3。由此繼續求得雞母數是8+3=11，雞雛數是100－8－11=81，就是前舉的第二種解答。

第二個同類題出于楊輝所見的寫本中，這個方法必須把三種物品中的某一種物品件數依次假定是1，2，3，4……，改原題為雞兔類問題，分別仿照《張丘建算經》的“清酒醑酒”問題，用“交換法”來解（楊輝稱這種算法為“雙率分身”）。直到算得其它兩種物品的件數也成整數，就得問題的解答。用這個方法來解百雞題，依次假定雞翁數是1，2，3，分別算得雞母數都不是整數。繼續假定雞翁數是4，由此算得雞母、雞雛共100－4=96只，共值錢100－5×4=80。假定96只全是雞雛，所值錢要比實際少，每換進雞母1只，所值錢應增加，算得雞母數是[①古法在解含有分數的問題時要用“通分”，在這個算中，所謂通分是把被除數和除數都依分母的數擴大3倍，就是（3×80－96）+（3×3－1）=18]，雞雛數是，就是前舉的第一種解答。這種算法雖然合理，但嫌迂回曲折。

此后，直到清代，才有丁取忠用“二色差分”的方法來解百雞題。二色差分也就是楊輝所稱的雙率分身，但是他不用從1起的各整數順次假定是雞翁數來計算，而是假定雞翁數是零，算得雞母、雞雛數以后再用四、七、三來增減的。我們猜想，丁取忠的這個算法可能是由下述的過程創造出來的：

《張丘建算經》所示的四、七、三既然可以用來把一組答案增減而得另一答案，那么不妨再把最后一種答案繼續增減，看它是否還有第四組答案，這樣經過增減后，得雞翁十六，雞母負三，雞雛八十七，因為雞數不應該是負數，所以這一組數是不適用的。再用四、七、三從第一組答案逆推（即增改做減，減改做增），得雞翁零，雞母二十五，雞雛七十五，其中沒有雞翁，雖然不合題意，但從此卻可以推知原書解法所以會這樣簡略的原因。丁取忠大概是假定張丘建在開始計算時把雞翁當作沒有的。如果是這樣，那么一百錢買兩種雞共一百只，就成了一個雞兔類的問題，用交換法可求得雞母二十五，雞雛七十五，再用四、七、三增減，這個問題就完全解決了。

關于四、七、三這三個數的來歷，在《張丘建算經》里也沒有提到。我們認為這也可能是照上面所講的方法推算出來的。這就是說，我們先假定沒有雞翁，用交換法求得雞母數是25，雞雛數是75；再假定沒有雞雛，用同法求得雞翁數是-100，雞母數是200，于是計算兩個結果的差額（前者比后者增或減），得雞翁增0－（-100）=100，雞母減200－25=175，雞雛增75－0=75，再以25約簡就得。

由前面所舉的方程（1）和（2）來考察，我們知道，百雞問題有三個未知數而僅能列成兩個方程，它是一個不定方程問題，不定方程的解答原來可以多到無窮，但因本題的答案限于正整數，所以僅有三種。