劉徽《九章算術注》原序

【題解】

劉徽是《九章算術》成書后第一個重要的注釋者。魏晉之后，所有《九章算術》的版本，都采用了劉徽的注釋。劉徽在《九章算術》之前寫了本篇序言，后世的所有版本也都予以收錄。

劉徽的序言首先說明了《九章算術》的版本來源。《九章算術》的基本框架，源于周公的“九數”。秦始皇焚書坑儒后，西周流傳的《九章算術》經文散亂缺失。西漢時期，經過張蒼與耿壽昌的編輯、校補，大體上形成了后世流傳的《九章算術》的版本。

接著，劉徽陳述了他注釋《九章算術》的兩條主要原則。

其一，“事類相推，各有攸歸”。《九章算術》是一部問題集，針對一些同類的問題，會設計一個算法，稱之為“術”。這些“術”看起來似乎是孤立的，但是，就其數學本質而言，很多“術”的構造原理是相同的。例如，《九章算術》的很多算法，都是建立在“率”這個更基本的概念之下構造出來的。劉徽注的一個重要的貢獻，是深刻地揭示了不同算法間所共同擁有的基本原理。

其二，“析理以辭，解體用圖”。《九章算術》的所有“術”，基本上都是算法的陳述，沒有給出這些“術”的構造原理或證明過程。劉徽針對幾乎所有的重要的“術”，都采用邏輯語言與模型圖解，補充給出了嚴格、清晰的推導或證明，如割圓術、開方術、陽馬術等。

劉徽序言的最后一個部分，主要闡述了他自己在數學上的一個重要的創建，即“重差術”。為了說明“重差術”的應用，劉徽撰寫了《重差》一卷，作為《九章算術》的第十卷，綴于“勾股”之后。唐代李淳風編輯《算經十書》時，將《重差》作為算經之一種獨立成書，因《重差》的第一問是測算海島的高遠，因之命名為《海島算經》。

昔在包犧氏始畫八卦(1)，以通神明之德(2)，以類萬物之情(3)，作九九之術(4)，以合六爻之變(5)。暨于黃帝神而化之(6)，引而伸之(7)，于是建歷紀(8)，協律呂(9)，用稽道原(10)，然后兩儀四象精微之氣可得而效焉(11)。記稱隸首作數(12)，其詳未之聞也。按周公制禮而有九數(13)，九數之流，則《九章》是矣。

【注釋】

(1)包（páo）犧氏：即伏羲氏，古代傳說中的三皇之一，風姓。相傳其始畫八卦，又教民漁獵，取犧牲以供庖廚，因稱庖犧。亦作“伏犠”“伏戲”。《周易·系辭下》：“古者包犠氏之王天下也，仰則觀象于天，俯則觀法于地……于是始作八卦。”包，通“庖”。八卦：《周易》中的八種具有象征意義的基本圖形，每個圖形用三個分別代表陽的“—”（陽爻）和代表陰的“--”（陰爻）符號組成。名稱是：乾（?）、坤（?）、震（?）、巽（?）、坎（?）、離（?）、艮（?）、兌（?）。《易傳》作者認為八卦主要象征天、地、雷、風、水、火、山、澤八種自然現象，并認為乾、坤兩卦在八卦中占有特別重要的地位，是自然界和人類社會一切現象的最初根源。八卦中，乾與坤、震與巽、坎與離、艮與兌是四個矛盾對立的形態。傳說周文王將八卦互相組合，又得六十四卦，用來象征自然現象和社會現象的發展變化。

(2)神明之德：即由神靈顯示出的事物變化的規律或人應遵守的行為法則。神明，舊指神祇，也指人或物的精靈怪異。《左傳·襄公十四年》：“愛之如父母，仰之如日月，敬之如神明，畏之如雷霆。”德，與道同為中國哲學的一對范疇。道，指事物運動變化所必須遵循的普遍規律或萬物的本體；德，用作具體事物從“道”中所得的特殊規律或特殊性質。《禮記·曲禮上》：“道德仁義，非禮不成。”注：“道者通物之名，德者得理之稱。”

(3)萬物之情：指宇宙間一切事物的情狀與勢態。《周易·序》：“《易》之為書，卦爻彖象之義備而天地萬物之情見。”萬物，統指宇宙間的一切事物。《周易·乾》：“大哉乾元，萬物資始。”情，情況，情態。

(4)九九之術：指乘除算法或泛指一般算法。九九，乘法口訣。古代是從“九九八十一”開始，故稱“九九”。其起源甚早，至遲于春秋齊桓公時已有。李籍《九章算術音義》：“術者，有所述也。《前漢·梅福傳》：‘臣聞齊桓之時有以九九見者，桓公不逆欲以致大也。’師古曰：‘九九算術若今《九章》《五曹》之輩。’《隋書·經籍志》：‘《九九章術》二卷，楊淑撰。’”《周髀算經·卷上》注曰：“九九者，乘除之原。”

(5)六爻之變：指六爻之變化或變動。爻，《周易》卦之畫曰爻。六十四卦中，每卦六畫，故稱“六爻”。如乾卦之，坤卦之。《周易·系辭上》：“變化者，進退之象也。剛柔者，晝夜之象也。六爻之動，三極之道也。”又云：“彖者，言乎象者也。爻者，言乎變者也。”

(6)神而化之：使之變化得高深莫測。神，奇異莫測；異乎尋常。《周易·系辭上》：“陰陽不測之謂神。”韓康伯注：“神也者，變化之極妙萬物而為言，不可以形詰者也。”

(7)引而伸之：使之延展推廣。引，開弓。伸，展開；伸直。《周易·系辭上》：“引而伸之，觸類而長之。”許慎《說文解字·敘》：“引而申之，以究萬原。”

(8)歷紀：一說是指日月運行軌道的分紀。《黃帝內經·素問·三部九候論》：“上應天光星辰歷紀，下副四時五行貴賤。”注曰：“歷紀謂日月行歷法天，二十八宿三百六十五度之分紀也。”二說是指歷數綱紀。《漢書·律歷志上》：“故自殷周皆創業改制，咸正歷紀，服色從之。”歷，歷法；推算歲時節候的方法。《大戴禮記·曾子天圓》：“圣人慎守日月之數，以察星辰之行，以序四時之順逆，謂之歷。”

(9)律呂：音樂術語，“六律”“六呂”的合稱，即十二律。《漢書·律歷志上》：“律十有二，陽六為律，陰六為呂。律以統氣類物，一曰黃鐘，二曰太族，三曰姑洗，四曰蕤賓，五曰夷則，六曰亡射。呂以旅陽宣氣，一曰林鐘，二曰南呂，三曰應鐘，四曰大呂，五曰夾鐘，六曰中呂。”

(10)稽：考核、查考。原：本原，根本。

(11)兩儀：指天、地或陰陽。《周易·系辭上》：“是故易有太極，是生兩儀。”孔穎達疏：“不言天地而言兩儀者，指其物體；下與四象（金、木、水、火）相對，故曰兩儀，謂兩體容儀也。”四象：一說指春、夏、秋、冬四時；二說指水、火、木、金布于四方；三說指太陰、太陽、少陰、少陽。其說法不一。《周易·系辭上》：“兩儀生四象，四象生八卦。”精微之氣：指作為世界本原的精氣。精微，精細隱微。《禮記·中庸》：“故君子尊德性而道問學，致廣大而盡精微，極高明而道中庸。”氣，中國哲學概念。通常指一種極細微的物質，是構成世界萬物的本原。東漢王充《論衡·自然》：“天地合氣，萬物自生。”精氣，中國哲學術語。《周易·系辭上》：“精氣為物，游魂為變。”孔穎達疏：“云精氣為物者，謂陰陽精靈之氣，氤氳積聚而為萬物也。”精氣（有時單稱“精”）“下生五谷，上為列星”，被一些學者認為是世界的本原（見《管子·內業》等篇）。東漢王充《論衡·論死》：“人之所以生者，精氣也。”認為精氣是構成人體的物質。

(12)隸首：人名，相傳為黃帝之臣。《史記·歷書》：“蓋黃帝考定星歷。”唐司馬貞《索隱》：“按《系本》及《律歷志》黃帝使羲和占日，常儀占月，臾區占星氣，伶倫造律品，大橈作甲子，隸首作算數，容成綜此六術而著《調歷》也。”《系本》即《世本》，為先秦史料叢編。記三皇五帝至春秋間事，為先秦史官記錄和保存的部分歷史檔案資料。約寫定于戰國末年，經秦漢人整理，記事亦延至秦及漢初。宋時已佚。隸首作數源于此書記載而為許多文獻、典籍所輾轉傳抄。

(13)九數：西周國子學習的“六藝”之一。《周禮·地官司徒》：“保氏掌諫王惡。而養國子以道。乃教之六藝：一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五馭，五曰六書，六曰九數。”鄭玄注引鄭眾云：“九數：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要。”即是說“六藝”中之“九數”，包括九個細目，與后來《九章》的九個章名相類。

【譯文】

上古有包犧氏最早畫八卦，用來通解神靈的道德，用來類推萬物的情狀，創作九九之術，用來符合六爻的變化。到了黃帝之時便神化之，引伸之，于是創建歷紀，協調律呂，用以考核道之本原，然后兩儀四象、精微之氣可以取得證驗。有記載說隸首作數，但它的詳情卻不得而知。按照周公創作《周禮》而有“九數”，這“九數”之流傳，即是現今的《九章》。

往者暴秦焚書(1)，經術散壞(2)。自時厥后，漢北平侯張蒼(3)、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世(4)。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補(5)。故校其目則與古或異，而所論者多近語也。

【注釋】

(1)暴秦焚書：秦始皇三十四年（前213），博士淳于越反對封建主義中央集權的郡縣制，要求根據古制，分封子弟。丞相李斯加以駁斥，主張禁止儒生以古非今，以私學誹謗朝政。秦始皇采納李斯的建議，下令：焚燒《秦記》以外的列國史記；對不屬于博士官的私藏《詩》《書》和諸子百家書（除醫藥、卜筮、種樹之書外）等一律限期燒毀；談論《詩》《書》的處死；以古非今的滅族；禁止私學，欲學法令的以吏為師。這便是史稱的“焚書”。

(2)經術：經學、儒術。《后漢書·儒林列傳》：“及光武中興，愛好經術，未及下車，而先訪儒雅，采求闕文，補綴漏逸。”

(3)北平侯張蒼：據《史記·張丞相列傳》記載，張蒼（？—前152），經歷了秦漢兩個朝代。“（蒼）陽武人也，好書律歷，秦時為御史，主柱下方書。”“明習天下圖書計籍；又善用算律。”西漢王朝建立后，在漢高帝主持下，由蕭何定律令，張蒼定歷法及度量衡程式。據《漢書》記載，張蒼于漢高祖六年（前201）封北平侯，遷為計相。呂后八年（前180）為御史大夫，文帝四年（前176）為丞相。

(4)大司農中丞耿壽昌：耿壽昌在漢宣帝時期（前73—前49）為大司農。曾向宣帝提出“近糴漕關內之谷”的建議，并下令在邊郡設立“常平倉”，宣帝下詔“賜爵關內侯”。他在天文學上主張渾天說，甘露二年（前52）他奏“以圓儀度日月行，考驗天運狀”。著有《月行帛圖》二百三十二卷，《月行度》二卷，他精通數學，特別擅長關于工程方面的計算。曾主持建造杜陵。

(5)因舊文之遺殘，各稱（chèn）刪補：根據遺留下來殘缺的舊文，各自做適當的刪補。因，依據。《商君書·更法》：“各當時而立法，因事而制禮。”稱，適合；相符。

【譯文】

往昔殘暴的秦王朝焚書，致使經學著作散失、損壞。從此之后，漢代北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌都以擅長算術而聞名于世。張蒼等人依據舊文的遺漏殘缺的情況，各自適當地進行刪補。所以校對其細目則與古代或許有不同之處，而所講述的內容大多還是接近當時的用語。

徽幼習《九章》，長再詳覽。觀陰陽之割裂(1)，總算術之根源，探賾之暇(2)，遂悟其意。是以敢竭頑魯(3)，采其所見，為之作注。事類相推，各有攸歸；故枝條雖分而同本干者，知發其一端而已(4)。又所析理以辭(5)，解體用圖(6)，庶亦約而能周(7)，通而不黷(8)，覽之者思過半矣(9)。且算在六藝，古者以賓興賢能(10)，教習國子(11)。雖曰九數，其能窮纖入微(12)，探測無方(13)。至于以法相傳，亦猶規矩度量可得而共(14)，非特難為也。當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜于此耳。

【注釋】

(1)觀陰陽之割裂：觀察事物分裂成陰陽相對立的兩個方面。陰陽，中國哲學的一對范疇。陰陽之原意指日光的向背，引申為氣候的冷暖。古代思想家看到一切現象都有正反兩方面，就用陰陽這個概念來解釋自然界兩種對立和相互消長的勢力。《周易·系辭上》：“一陰一陽之謂道。”把陰陽交替看做宇宙的根本規律。割裂，割開；從整體中分割出若干部分。三國魏曹冏《六代論》：“割裂州國，分王子弟。”

(2)賾（zé）：幽深玄妙。《周易·系辭上》：“探賾索隱，鉤深致遠。”探賾索隱，探索幽深莫測，隱秘難見的道理。暇：空閑。此為余暇之意。

(3)敢竭頑魯：劉徽的自謙之詞，意即“勇于竭盡聰明才智”。竭，盡，用完。頑魯，愚昧魯鈍。漢王符《潛夫論·考績》：“群僚舉士者，或以頑魯應茂才，以桀逆應至孝……名實不相副，求貢不相稱。”

(4)發其一端：發生于同一根源。端，開頭，《孟子·公孫丑上》：“惻隱之心，仁之端也。”引申為緣由。又通耑。耑，發端。《說文解字》：“耑，物初生之題也。上象生形，下象其根也。”段玉裁注：“題者，額也。人體額為最上，物之初見，即其額也。古發端字作此，今則端行而耑廢，乃多用耑為專矣。”

(5)析理以辭：用邏輯的判斷來剖析算理。辭，我國古代邏輯名詞，指命題（判斷）。戰國時后期墨家提出了“以辭抒意”的論點。荀子也提出了“辭也者，兼異實之名以論一意也”的說法，認為辭（判斷）是結合兩個不同的“實”的名（概念）來論斷一個意義。

(6)解體用圖：用圖形來分解幾何體。劉徽提出用邏輯推理與圖形解析來闡明算法原理。圖，用線條、顏色描繪的事物形象。體，幾何學上具有長闊厚三度的形體。

(7)庶：幸而，希冀之詞。亦：助詞。約：簡單，簡略。周：周到，周密。

(8)黷：輕慢。

(9)思過半：大部分已領悟。《周易·系辭下》：“知者觀其彖辭，則思過半矣。”

(10)賓興：周代的舉賢之法。鄉大夫自鄉小學薦舉賢能而賓禮之，以升入國學。

(11)國子：公卿士大夫的子弟。

(12)纖：細小。微：細小，幽深。《周易·系辭下》：“君子知微知彰。”

(13)無方：猶無常，謂沒有固定的方向、處所或范圍。《周禮·春官·男巫》：“冬堂贈，無方無筭。”《注》曰：“無方，四方為可見。”《禮記·檀弓上》：“左右就養無方。”又《禮記·內則》：“博學無方。”

(14)規：校正圓形的用具。《詩經·小雅·沔水序》鄭玄箋：“規者，正圓之器也。”引申指畫圓。甲骨文中，規字寫作，象征一手執規作畫圖的姿式。矩：古代畫方形的用具，就是現在的曲尺。《周髀算經·卷上》：“圓出于方，方出于矩。”甲骨文矩寫作匚，征象曲尺。度：計量長短的標準。《漢書·律歷志上》：“度者，分、寸、尺、丈、引也。”量：計量多少的器具。《漢書·律歷志上》：“量者，龠、合、升、斗、斛也，所以量多少也。”

【譯文】

劉徽自幼學習《九章》，年長以后又仔細研讀。觀察陰陽的區分，概括算術的本源，在探討幽深與玄妙之余，于是領悟其真諦。因此敢于竭盡愚昧魯鈍，搜集所見，為之作注解。事物按其類別相互推求，便各有所歸屬；所以枝條雖分而本干相同的，可知它們發生于同一根源。進而用文辭來分析其原理，用圖形來解剖其結構，希望做到雖簡約而能周全，既全面又不浮泛，使閱讀者能領悟其大半。算術作為“六藝”之一，在古代以賓興之法選拔賢才能人，教導貴族子弟。雖然稱之為“九數”，它卻既能窮盡纖毫之細微，又能探測無邊無涯之遼闊。至于以現成的算法相傳授，也就猶如規、矩、度、量眾人都可以得到一樣，并非特別難辦的事。當今喜好算術的人太少，所以世上雖有很多通才達學之士，但未必能夠治理于此道啊！

《周官》大司徒職(1)，夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，謂之地中(2)。說云：“南戴日下萬五千里(3)。”夫云爾者，以術推之。

【注釋】

(1)《周官》：又稱《周官經》，即《周禮》。儒家經典。經古文學家認為周公所作，后人有所附會；經今文學家認為成書于戰國，或以為西漢末劉歆所偽造；近參以周秦銅器銘文定為戰國作品。其是搜集周王室官制和戰國時代各國制度，添附儒家政治思想，增減排比而成的匯編。全書共有《天官冢宰》《地官司徒》《春官宗伯》《夏官司馬》《秋官司寇》《冬官司空》等六篇。《冬官司空》早佚，漢時補以《考工記》。有東漢鄭玄《周禮注》等。大司徒：官名。《周禮·地官》大司徒，主管教化的官，為六卿之一。職：執掌，主管。

(2)夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，謂之地中：夏至日正午立八尺標竿，其影長為一尺五寸，稱為“地中”。夏至，二十四節氣之一。每年6月22日前后太陽到達黃經90°（夏至點）開始。崔靈恩《三禮義宗》：“夏至為中者，至有三義：一以明陽氣之至極，二以明陰氣之始至，三以明日行之北至。故謂之至。”此日陽光幾乎直射北回歸線，北半球白晝最長。日中，正午。表，測量日影的標竿。景，影的本字。地中，大地的正中。孫詒讓《周禮正義》：“地中者，為四方九服之中也。”

(3)說云：指鄭玄《周禮注》中文字。南戴日下萬五千里：南戴日下距離地中一萬五千里。南戴日下，地面中央之南正值日下之處，即指太陽在地平面上的垂直投影點。戴日，值日之下。《爾雅·釋地》：“岠齊州以南，戴日為丹穴。”

【譯文】

《周官》大司徒之職記載，夏至日正午立8尺長的標竿，它的影長1尺5寸，稱之為“地中”。其注稱：“南戴日下距離地中一萬五千里。”其所以這樣說，是用算法推求的。

按《九章》立四表望遠及因木望山之術(1)，皆端旁互見(2)，無有超邈若斯之類。然則蒼等為術猶未足以博盡群數也。徽尋九數有重差之名(3)，原其指趣乃所以施于此也。凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差(4)，勾股則必以重差為率，故曰重差也(5)。立兩表于洛陽之城，令高八尺。南北各盡平地，同日度其正中之景(6)。以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一，所得加表高，即日去地也(7)。以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也(8)。以南戴日下及日去地為勾、股，為之求弦，即日去人也。以徑寸之筒南望日，日滿筒空，則定筒之長短以為股率，以筒徑為勾率，日去人之數為大股，大股之勾即日徑也(9)。

【注釋】

(1)立四表望遠：指《九章算術》卷九勾股第[9-22]題立四表測量木之遠近的算法。因木望山：指卷九勾股第[9-23]題依靠大樹測量山高的算法。

(2)端：正。旁：偏，邪。端與旁相對，表示地面上位于高處之觀測目標的正下方和邪下方的兩點，它們分別是目標在地面上之正投影和觀測點。如因木望山中的“山腳”即是所謂的“端”；而“樹根”處即是所謂的“旁”。互見，互相遇見。此作互相連通解，即可以測量距離。如因木望山題可測得山去木53里。

(3)九數：古算法名。漢鄭玄《周禮·地官司徒·保氏》九數注引漢鄭眾《周禮注》：“九數：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要；今有重差、夕桀、鉤股。”重差：重測取差之意，即重復地進行勾股測量，取兩次觀測對應之差為比率來進行推算。詳見下文劉徽對重差的解釋。

(4)望：向遠處看。此作觀測解。極高：高之至極。絕深：深之至極。此種高度或深度的測量，無法直接度量觀測目標在地面上的投影至觀測點的水平距離。換句話說，在觀測中推算高或深的同時，還要推求目標的遠近。故云“而兼知其遠者”。知，使人知道的意思。對于這類端旁不能互見，在求高深的同時兼求遠近的問題，就必須使用重差術。

(5)勾股則必以重差為率，故曰重差也：其勾股則必取重差作為比率，所以稱之為“重差”。重差術是由簡單勾股測量的旁要術發展而來的。如因木望山，即旁要的典型，其推算之理論根據是，

勾∶股=勾率∶股率

而重差則不同，代替勾或股而考慮其前后觀測之差，即依據

前后勾之差：股=勾差率∶股率

(6)正中之景：即表在正午之日影。正中，謂日當天之中，指正午時分。《淮南子·天文訓》：“（日）至于昆吾，是謂正中……至于悲谷，是謂餔時。”

(7)以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一，所得加表高，即日去地：如圖0-1所示，在水平地面上立南北兩表，以觀測正午之日影。景差，即南北表影之差。法，除數。表間，南北兩表之間隔（距離）。實，被除數。實如法而一，用除數去除被除數。日去地，即太陽到地面之距離。此即給出計算日去地的公式：

其中，以（日去地-表高）為股，以表高為股率。以日下至南表為前勾，則南表景為前勾率；以日下至北表為后勾，則北表景為后勾率。于是表間即為前后勾之差，而景差即為勾差率。于是

前后勾之差∶股=勾差率∶股率

即是

表間∶（日去地-表高）=（北表景-南表景）∶表高

它表明日高公式的“重差”之涵義：“則勾股必以重差為率。”

(8)以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也：此給出南表至南戴日下計算公式：

(9)以徑寸之筒南望日，日滿筒空，則定筒之長短以為股率，以筒徑為勾率，日去人之數為大股，大股之勾即日徑也：由重差術得日高及南戴日下，據勾股定理，可得人去日

再用竹筒觀日，便可計算日徑，如圖0-2所示

【譯文】

按《九章算術》中的“立四表望遠”及“因木望山”之類的算法，都是端旁之點可以直接測量的情形，而沒有像測量日之高遠這樣超遠而渺茫的一類測算方法，如此看來張蒼等人的造術也未能廣博到包羅無遺的程度。劉徽探求“九數”中有重差的名目，推究其宗旨乃是為了應用于此。凡是觀測極高、測量絕深而兼求其遠的，必用“重差”算法，其勾股則必取重差作為比率，所以稱之為“重差”。在洛陽城立南北二標竿，其高皆為8尺。假設南北二標竿在同一地平面上，在同一天日中正午時度量日影。取影差作為除數，表高乘表間作為被除數，所得之商加表高，即是“日去地”之數。若用南表的影長乘表間作為被除數（除數同上），用除數去除被除數，即是從南表到南戴日下的距離。以南戴日下及日去地分別作為勾、股兩邊，而求對應的弦，即得“日去人”之數。取直徑為一寸的竹筒向南觀測太陽，筒孔正好被太陽所充滿，則規定筒之長度為股率，取筒的直徑為勾率，日去人之數作為大股，而大股所對應的勾就是太陽的直徑。

雖夫圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉！徽以為今之史籍且略舉天地之物，考論厥數，載之于志，以闡世術之美。輒造《重差》，并為注解，以究古人之意，綴于勾股之下(1)。度高者重表；測深者累矩；孤離者三望；離而又旁求者四望(2)。觸類而長之(3)，則雖幽遐詭伏，靡所不入。博物君子，詳而覽焉。

【注釋】

(1)輒造《重差》，并為注解，以究古人之意，綴于勾股之下：即劉徽編撰《重差》一卷，并附有注釋，闡述古人之原意，列于《九章算術》末卷勾股章之后，以彌補《九章算術》之不足。唐初將《重差》另本單行，遂稱《海島算經》。輒，即。

(2)度高者重表；測深者累矩；孤離者三望；離而又旁求者四望：劉徽將《海島》九問概括為四種類型。測“無遠之高”用重表法，如望海島；測“無廣之深”用累矩法，如望深谷。重表與累矩皆只需測望兩次。如果觀測目標無所依傍，孤離無著，就必須觀測三次，如望松生山上；要是觀測目標不僅孤離無著，而且需旁求他處，就必須觀測四次，如岸望清淵。

(3)觸類而長之：觸類旁通，引而申之。語出《周易·系辭上》：“引而申之，觸類而長之。”觸類，觸逢同類。長之，使之增長、推廣之意。

【譯文】

天之圓穹尚且說可以度量，又何況泰山之高及江河之廣呢！劉徽依據現今的史籍并略舉天地間之實物為例，考證與辨析其數理，而述諸于文字，以闡發世人所造算法之美妙。于是創作《重差》，并作注解，以探討古人之原意，補充在勾股章之下。欲度量高度者用重表法；測量深度者用累矩法；被觀測物“孤離”無著者須觀測三次；孤離而又旁求者須觀測四次。觸類旁通，引而申之，那么即使幽深遙遠而又奇異隱蔽的目標，也沒有不能測算的。博學多識之士，當詳加審讀。