一、定理發(fā)現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)及其應(yīng)用

定理發(fā)現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)至少有三個層次。一是特例表述，二是普遍化表述，三是證明。與此對應(yīng)的是，勾股定理發(fā)現(xiàn)的判定標(biāo)準(zhǔn)也至少有這三個層次。

第一，我們?nèi)菀装选肮慈伤膹轿濉笨醋鞴垂啥ɡ淼陌l(fā)現(xiàn)，這有違數(shù)學(xué)定理的命名原則，第一個層次的特例表述很難看作定理發(fā)現(xiàn)。大凡數(shù)學(xué)定理的命名都不是以具體的特例表達(dá)作為原則，比如，所有平面三角形的內(nèi)角和都是180度，這是一條幾何學(xué)定理。這一定理并不涉及具體的特例，無論某一個角是170度還是160度，都不影響到所有平面三角形的內(nèi)角和都是180度的結(jié)論。換言之，勾股定理不應(yīng)當(dāng)只是（3，4，5）的具體數(shù)值，涉及具體數(shù)值的特例表述不應(yīng)當(dāng)命名為數(shù)學(xué)定理。

1952年，前輩學(xué)者章元龍明確否定特例表述作為定理命名的標(biāo)準(zhǔn)，認(rèn)為“在沒有發(fā)現(xiàn)普遍性的假借和設(shè)定之前，在一個考據(jù)者的立場，萬不可根據(jù)后來的知識，自己主觀的認(rèn)為既有特殊的假借和設(shè)定”，首先，“第一個重要的意義是‘普遍性’”，而不是特例；其次，“第二重要意義是有‘證明’”，完成定理的證明。(1)因此，中國最早的數(shù)學(xué)典籍《周髀算經(jīng)》開篇中商高的“勾廣三，股修四，徑隅五”只是一個特例，它不是普遍化的表述，不可看作勾股定理的最早發(fā)現(xiàn)。

第二，按照最嚴(yán)格的，也是最狹義的定理發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)，只有第三個層次——證明才被看作定理發(fā)現(xiàn)。按照這一標(biāo)準(zhǔn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的證明要比勾股定理的證明早四五個世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派晚期實現(xiàn)了定理的證明，“關(guān)于畢達(dá)哥拉斯派幾何里有沒有證明這一問題，最合理的結(jié)論是：在該學(xué)派存在的大部分時間里，他們是根據(jù)一些特例來肯定所得的結(jié)果的。不過到了學(xué)派晚期即公元前400年左右，由于其他方面的發(fā)展，證明在數(shù)學(xué)中所處的地位改變了；所以學(xué)派晚期的成員可能作出了合法的證明”。(2)商高和陳子都不符合命名定理的上述條件，三國時期的趙爽完成勾股定理的證明，比畢達(dá)哥拉斯學(xué)派要晚五個世紀(jì)。按照發(fā)現(xiàn)優(yōu)先權(quán)的命名原則，勾股定理的提法是不存在的?？茖W(xué)只有第一，沒有第二。值得注意的是，傾力于中國科學(xué)技術(shù)史研究的李約瑟（Joseph Needham）并沒有采用勾股定理的稱謂，而是使用“畢達(dá)哥拉斯定理”稱謂，采用了“《周髀算經(jīng)》中對畢達(dá)哥拉斯定理的證明”(3)的提法，將《周髀算經(jīng)》看作對畢達(dá)哥拉斯定理的證明。這或許暗示著，李約瑟相信畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的證明早于趙爽的證明。

把證明作為數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)，這似乎有違常理。在我們的文化習(xí)慣中，更傾向于把普遍性表述看作發(fā)現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)，而很少或者難以接受把證明作為定理發(fā)現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)。這看起來似乎有一定的道理。比如，費馬大定理是以定理的發(fā)現(xiàn)者命名，而不是以證明者命名。然而，證明作為數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)，是一個最狹義的標(biāo)準(zhǔn)，也是最強(qiáng)硬和堅決徹底的標(biāo)準(zhǔn)——證明體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的本質(zhì)，證明體現(xiàn)的是必然性的邏輯演繹過程，普遍性的表述有可能僅僅是經(jīng)驗的歸納。麥克萊倫第三（James E. McClellan Ⅲ）認(rèn)為：“有關(guān)這些發(fā)現(xiàn)的更為重要的方面是數(shù)學(xué)證明在顯示那些發(fā)現(xiàn)的必然性上所起到的作用。運用演繹推理和證明，即便是最持懷疑態(tài)度的挑剔者也會被迫一步一步地同意，最后不得不承認(rèn)‘證訖’（‘已如此證明過了’）。這種方法是數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)和科學(xué)的歷史上特別值得重視的發(fā)明。”(4)

西方數(shù)學(xué)史家高度重視演繹證明的價值，這似乎是違背我們習(xí)慣的做法，但這是古希臘人需要“真理”的表現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)領(lǐng)域畢達(dá)哥拉斯定理證明最重要的思想史價值，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在演繹證明中完成了“了不起的一步”。數(shù)學(xué)史家克萊因（Morris Kline）認(rèn)為：“希臘人堅持要演繹證明，這也確是了不起的一步。在世界上的幾百種文明里，有的的確也搞出了一種粗陋的算術(shù)和幾何。但只有希臘人才想到要完全用演繹推理來證明結(jié)論。需要用演繹推理的這種決心是同人類在其他一切領(lǐng)域里的習(xí)慣做法完全違背的；它實際上幾乎象件不合理的事，因為人類憑經(jīng)驗、歸納、類比和實驗已經(jīng)獲得了那么多高度可靠的知識。但希臘人需要真理，并覺得只有用無容置疑的演繹推理法才能獲得真理。他們又認(rèn)識到要獲得真理就必須從真理出發(fā)，并且要保證不把靠不住的事實當(dāng)作已知。因此他們把所有公理明確說出，并且在他們的著作中采取一開頭就陳述公理做法，使之能馬上進(jìn)行批判考察?！?a href="../Text/chapter1_0010.xhtml#jz_11_11" id="jzyy_11_11">(5)

第三，第二個層次的普遍性表述也被看作定理的發(fā)現(xiàn)，這是中國學(xué)者易于接受的數(shù)學(xué)定理命名原則，如前敘章云龍的理解，這也是西方學(xué)者可以接受的較為寬泛的數(shù)學(xué)定理命名原則。按照普遍性表述的命名標(biāo)準(zhǔn)，中西關(guān)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)優(yōu)先權(quán)是一個有爭議的問題，其分歧在于到底是按照成書年代還是書中人物的年代作為標(biāo)準(zhǔn)?！吨荀隆肪砩现?，陳子在與榮方的對答中說，“若求邪（斜）至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日”，這是勾股定理的普遍化形式。如果按照《周髀算經(jīng)》的成書年代——漢代，遲于古希臘歐幾里德（Euclid）的《幾何原本》；如果按照《周髀算經(jīng)》中的人物——陳子的年代，至遲為公元前七或六世紀(jì)，大約與古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派早期在同一個時代。按照成書年代還是書中人物的年代為標(biāo)準(zhǔn)，陳子到底是公元前七世紀(jì)真有其人還是后世所偽托，由于沒有令人信服的歷史考察，這是成疑的歷史。

把普遍性表述作為數(shù)學(xué)定理的命名標(biāo)準(zhǔn)，隨之帶來另外一個問題，定理的普遍性表述一定早于定理的證明嗎？伽利略相信，定理的發(fā)現(xiàn)早于證明，它構(gòu)成證明的必要條件。“你可以相信，畢達(dá)哥拉斯遠(yuǎn)在他以百牛祭慶祝他發(fā)現(xiàn)一條幾何證明之前，早就肯定直角三角形對直角一邊（斜邊）的平方等于另外兩邊的平方之和了。結(jié)論肯定后，在發(fā)現(xiàn)它的證明上是幫助不小的——這里總是指經(jīng)驗科學(xué)。”(6)先有證實，后有證明。定理的發(fā)現(xiàn)早于證明，這似乎具有邏輯必然性?！八匀绱耍且驗楫?dāng)結(jié)論是真實時，人們就可以使用分析方法探索出一些已經(jīng)證實的命題，或者找到某種自明的公理；但如果結(jié)論是錯誤時，人們就可以永遠(yuǎn)探索下去而找不到任何已知的真理——即使不弄到碰壁或者碰上某種明顯謬誤的話。”(7)

此處的問題是，特例表述需要有證明嗎？普遍性表述一定早于定理的證明，它暗含的假定是，特例表述僅僅只是經(jīng)驗的判斷，只有普遍性表述才必須證明。然而，很多數(shù)學(xué)定理的特例表述絕非簡單的經(jīng)驗判斷，比如，如果勾股數(shù)高達(dá)萬位，甚至更高，這就超越了簡單的經(jīng)驗，特例表述很可能有相應(yīng)的計算或合理理由的說明。