玻爾茲曼公式

馬赫不是第一個質疑自我存在的物理學家。一個世紀前，格奧爾格·利希滕貝格（1742-1799）也以類似的口吻打趣說，我們應該說“它認為”，而不是“我認為”[30]。馬赫的維也納同事玻爾茲曼顯然贊同利希滕貝格的觀點，他曾抱怨“我們能思考因為我們可以選擇思考這種奇怪的觀點”[31]。馬赫與玻爾茲曼的生活和思想緊密交織在一起。

路德維希·玻爾茲曼1844年出生于維也納，同馬赫一樣出身于中產階級家庭。路德維希出生后不久，他當稅務官的父親被調到林茨鎮(zhèn)的財政部工作。在那里，這個男孩非凡的天賦，尤其是數學和音樂，很快就被注意到了。就像馬赫小時候一樣，小玻爾茲曼在進入中學前接受過私人輔導。他年輕的鋼琴老師名叫安東·布魯克納，作為林茨鎮(zhèn)的風琴師，剛剛開始建立自己的名望。

15歲時，他父親去世了。母親把繼承的遺產都用來教育兒子。路德維希完成中學學業(yè)后，全家回到了維也納。在這里，這個年輕人學習了數學和物理，于1866年獲得博士學位，同馬赫一樣，年僅23歲就獲得了講師資格。但玻爾茲曼的興趣更多集中在理論而不是實驗物理學上。后來他開玩笑說：“我瞧不上實驗就像銀行家瞧不上硬幣。”[32]

他的導師斯忒藩教授督促他閱讀麥克斯韋的物理學論文，還給了他一本英語語法書，因為當時玻爾茲曼一個英語單詞也不會說[33]。事實證明他學東西很快。他的第二篇論文《熱力學第二定律的力學解釋》被證明是開創(chuàng)性的。很快，他就被認為是最能理解和拓展麥克斯韋在電磁學和熱力學方面工作的物理學家。

25歲時，玻爾茲曼被任命為格拉茨大學數學物理學教授。1875年，他成為維也納大學數學教授，但在那里只待了3年；然后他回到格拉茨，接受了一個實驗物理學講席，馬赫也是這個職位的候選人。顯然玻爾茲曼并不像他自己聲稱的那樣真的鄙視實驗，他很樂意接受這個職位——但他回到格拉茨還有另一個原因。

他之前生活在這里的時候，遇到了一位年輕的女士亨利埃特·馮·艾根特勒，她非常喜歡數學和物理。玻爾茲曼說服校方允許她到大學聽課，這在當時是前所未有的。他的動機并不完全是無私的。1875年，他在一封信中向亨利埃特求婚。他寫道：

雖然我很不認為情感能夠且應當受冷酷無情的精確科學的理性抑制，但我們作為精確科學的代表，理應在經過深思熟慮的判斷后再采取行動，而不是隨心所欲。

作為數學家，你肯定不會認為統(tǒng)治世界的數字是沒有詩意的。另外：我現(xiàn)在的年薪是2400弗羅林。我的年終獎金是800弗羅林。去年，我講課和考試的收入約為1000弗羅林；不過后一項收入每年都變……總收入不低，足以維持一個家庭的生活；然而，鑒于近來物價的飛速上漲，它將無法給你提供許多消遣和娛樂。[34]

玻爾茲曼精心策劃的求婚成功了，他們婚后生了5個孩子——與馬赫家的孩子一樣多。

在格拉茨接下來的15年里，玻爾茲曼進入了產出最旺盛的時期，不僅有了很多小孩，也有了很多科學成果。他成了氣體分子運動理論的開創(chuàng)者之一，該理論為熱力學提供了力學基礎。這不僅是物理學的重大突破，在哲學上也很重要，因為它提供了一個基于力學模型的因果解釋，對此馬赫很難接受。

根據玻爾茲曼的理論，氣體是由粒子組成的，這些粒子像臺球一樣不斷運動和碰撞——溫度越高，它們移動的速度就越快，盡管速度各不相同。當它們相互碰撞和撞擊容器壁時（因此對容器壁施加了可測量的壓力），一些會加速，而另一些則會減速。玻爾茲曼方程用統(tǒng)計學刻畫了這些粒子的行為，很快就成為物理學的中心支柱，今天仍在許多技術領域發(fā)揮著關鍵作用，例如半導體理論。

當然，氣體粒子并不真的是微型臺球。既然不是，難道我們不應該說氣體的統(tǒng)計理論，并沒有提供解釋，而僅僅提供了一幅圖景嗎？話又說回來，容器中的微小粒子難道不比圖景更真實嗎？難道不是它們不斷地呼嘯而來造成了壓力嗎？對于任何封閉系統(tǒng)來說，熵總是隨著時間的流逝而增加，即使是熵這個神秘的概念，當用統(tǒng)計力學來重新表述時，也會變得直觀易懂。

根據玻爾茲曼的理論，熵與容器中粒子狀態(tài)的概率分布有關，當系統(tǒng)更加隨機時（就像洗過的撲克牌，比最初的順序看起來更隨機），熵也更大。換句話說，熵是在微觀層面上對系統(tǒng)無序性的一種度量。如果聽之任之，無序就會隨時間的推移而增加——看看你的桌面就知道了！

不過馬赫還是不以為然：“讓分子假說與熵相互一致對假說是利好，但對熵增定律不是。”[35]在他看來，理論的唯一職責就是將可觀測的量簡潔地關聯(lián)起來，比如壓力或溫度。因此，玻爾茲曼對熱力學的統(tǒng)計重塑越界了。

此外，新理論還帶來了一些棘手的問題。例如，如果無序總是隨時間增加，那么這個事實必然定義了時間流逝的方向。舉個例子，假設氣體中的所有分子都被約束在容器的左半部分，然后釋放出來。當它們互相碰撞時，會迅速散布到整個容器中。如果隨它們去，它們將再也不會只占據容器的左半部分。事情將永遠不會回到開始時那種更簡單、更有序的狀態(tài)。至少，到目前為止還沒有觀察到這種逆轉。因此，這種不斷增加的無序明確區(qū)分了過去和未來，從而建立了時間的方向。

人們對玻爾茲曼的理論提出了兩個嚴重的反對意見，直到今天，這兩個意見都沒有得到公認的解決。它們被稱為循環(huán)悖論和可逆性悖論。

可逆性悖論最早是由玻爾茲曼慈父般的朋友兼導師約瑟夫·洛施密特提出的。支配臺球以及所有物體碰撞的力學定律并不區(qū)分未來和過去。因此，如果我們觀看臺球在桌上無摩擦碰撞的影像，我們無法分辨是在正放還是反放。但如果看到一滴奶油溶解在咖啡中，我們很容易就能分辨出來。那么，時間是如何獲得它的箭頭的呢？

循環(huán)悖論源自德國數學家恩斯特·策梅洛（1871-1953）。根據概率法則，每一個已經達到的狀態(tài)都必將一次又一次達到。這是不容置疑的定理。因此，容器中的粒子最終必然會返回它們最初被約束的容器的左半部分。除非它們不肯去！

即便是最沉穩(wěn)的思想家，這些棘手的謎題也可能會讓他們感到不安——而“沉穩(wěn)”絕不是玻爾茲曼的風格。