第一章 行列式

§1.1　行列式的概念

考慮由兩個(gè)線性方程式構(gòu)成的二元線性方程組

其中x 1,x 2為未知量,a11,a12,a21,a22為未知量的系數(shù),b1,b2為常數(shù)項(xiàng)．用消元法解此線性方程組:第一個(gè)線性方程式乘以a 22,第二個(gè)線性方程式乘以a 12,然后相減;第二個(gè)線性方程式乘以a11,第一個(gè)線性方程式乘以a21,然后相減．得到

當(dāng)a 11a 22－a12a 21≠0時(shí),此線性方程組有唯一解

為了進(jìn)一步揭示求解公式的規(guī)律,需要引進(jìn)二階行列式的概念．

記號(hào),稱為二階行列式,其中a11,a12,a21,a22稱為元素,這4個(gè)元素排成一個(gè)方陣,橫排稱為行,豎排稱為列,二階行列式共有兩行兩列．每個(gè)元素有兩個(gè)腳標(biāo),第一腳標(biāo)指明這個(gè)元素所在行的行數(shù),稱為行標(biāo);第二腳標(biāo)指明這個(gè)元素所在列的列數(shù),稱為列標(biāo)．在二階行列式中,從左上角到右下角的對(duì)角線稱為主對(duì)角線,從右上角到左下角的對(duì)角線稱為次對(duì)角線．

二階行列式的計(jì)算,可以用畫線的方法記憶,即二階行列式等于主對(duì)角線(實(shí)線)上兩個(gè)元素的乘積減去次對(duì)角線(虛線)上兩個(gè)元素的乘積,如圖1-1．

圖1-1

例1　二階行列式

例2　二階行列式

例3　填空題

若二階行列式,則元素k＝_____．

解:計(jì)算二階行列式

再從已知條件得到關(guān)系式，因此元素

于是應(yīng)將“2”直接填在空內(nèi)．

類似地,為了解由三個(gè)線性方程式構(gòu)成的三元線性方程組,需要引進(jìn)三階行列式的概念．

記號(hào)稱為三階行列式,三階行列式共有9個(gè)元素,它們排成三行三列,從左上角到右下角的對(duì)角線稱為主對(duì)角線,從右上角到左下角的對(duì)角線稱為次對(duì)角線．三階行列式的計(jì)算,也可以用畫線的方法記憶,如圖1-2．

圖1-2

例4　三階行列式

例5　三階行列式

例6　已知三階行列式,求元素a的值．

解:計(jì)算三階行列式

再從已知條件得到關(guān)系式(a－1)(a－3)＝0,所以元素

為了討論n階行列式,下面給出排列逆序數(shù)的概念．考慮由前n個(gè)正整數(shù)組成的數(shù)字不重復(fù)的排列j 1 j 2…j n中,若有較大的數(shù)排在較小的數(shù)的前面,則稱它們構(gòu)成一個(gè)逆序,并稱逆序的總數(shù)為排列j 1 j 2…j n的逆序數(shù),記作N(j 1 j 2…j n)．

容易知道,由1,2這兩個(gè)數(shù)字組成排列的逆序數(shù)為

由1,2,3這三個(gè)數(shù)字組成排列的逆序數(shù)為

考察二階行列式,它是2!＝2項(xiàng)的代數(shù)和,每項(xiàng)為來自不同行、不同列的2個(gè)元素乘積,前面取正號(hào)與取負(fù)號(hào)的項(xiàng)各占一半,即各為1項(xiàng),可以適當(dāng)交換每項(xiàng)中元素的次序,使得它們的行標(biāo)按順序排列,這時(shí)若相應(yīng)列標(biāo)排列逆序數(shù)為零,則這項(xiàng)前面取正號(hào);若相應(yīng)列標(biāo)排列逆序數(shù)為奇數(shù),則這項(xiàng)前面取負(fù)號(hào)．

再考察三階行列式,它是3!＝6項(xiàng)的代數(shù)和,每項(xiàng)為來自不同行、不同列的3個(gè)元素乘積,前面取正號(hào)與取負(fù)號(hào)的項(xiàng)各占一半,即各為3項(xiàng),可以適當(dāng)交換每項(xiàng)中元素的次序,使得它們的行標(biāo)按順序排列,這時(shí)若相應(yīng)列標(biāo)排列逆序數(shù)為零或偶數(shù),則這項(xiàng)前面取正號(hào);若相應(yīng)列標(biāo)排列逆序數(shù)為奇數(shù),則這項(xiàng)前面取負(fù)號(hào)．

根據(jù)上面考察得到的規(guī)律,給出n階行列式的概念．

定義1.1　記號(hào)

稱為n階行列式,它是n!項(xiàng)的代數(shù)和,每項(xiàng)為來自不同行、不同列的n個(gè)元素乘積,可以適當(dāng)交換每項(xiàng)中元素的次序,使得它們的行標(biāo)按順序排列,這時(shí)若相應(yīng)列標(biāo)排列逆序數(shù)為零或偶數(shù),則這項(xiàng)前面取正號(hào);若相應(yīng)列標(biāo)排列逆序數(shù)為奇數(shù),則這項(xiàng)前面取負(fù)號(hào)．

n階行列式共有n 2個(gè)元素,它們排成n行n列,從左上角到右下角的對(duì)角線稱為主對(duì)角線,從右上角到左下角的對(duì)角線稱為次對(duì)角線．容易知道:同一行的元素不可能乘在一起,同一列的元素也不可能乘在一起．可以證明:在n階行列式中,前面取正號(hào)與取負(fù)號(hào)的項(xiàng)各占一半,即各為項(xiàng)．

行列式經(jīng)常用大寫字母D表示,或記作．特別規(guī)定一階行列式

例7　問乘積a34a21 a42 a23是否是四階行列式中的項(xiàng)?

解:在乘積a 34 a21 a42a 23中,元素a21與a 23的行標(biāo)同為2,說明這兩個(gè)元素皆來自第2行,所以乘積a34 a21a 42a 23不是四階行列式D中的項(xiàng)．

例8　填空題

在四階行列式中,項(xiàng)前面應(yīng)取的正負(fù)號(hào)是_____．

解:適當(dāng)交換所給項(xiàng)中元素的次序,使得它們的行標(biāo)按順序排列,得到

這時(shí)相應(yīng)列標(biāo)排列逆序數(shù)

是奇數(shù),因而項(xiàng)a 31 a24 a43a 12前面應(yīng)取負(fù)號(hào),于是應(yīng)將“負(fù)號(hào)”直接填在空內(nèi)．

定義1.2　已知n階行列式

將行列依次互換(第1行變成第1列,第2行變成第2列,…,第n行變成第n列),所得到的n階行列式稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式,記作

行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式D T之間有什么關(guān)系?考察三階行列式

容易看出:D T＝D,可以證明這個(gè)結(jié)論對(duì)于n階行列式也是成立的．

定理1.1　轉(zhuǎn)置行列式D T的值等于行列式D的值,即

定理1.1說明:在行列式中,行與列的地位是對(duì)等的．即:凡有關(guān)行的性質(zhì),對(duì)于列必然成立;凡有關(guān)列的性質(zhì),對(duì)于行也必然成立．

最后討論一類最基本也是最重要的行列式即三角形行列式．

定義1.3　若行列式D主對(duì)角線以上或以下的元素全為零,則稱行列式D為三角形行列式．

考慮三角形行列式

它當(dāng)然等于n!項(xiàng)代數(shù)和,其中含有零因子的項(xiàng)一定等于零,可以不必考慮,所以只需考慮可能不為零的項(xiàng)．在這樣的項(xiàng)中,必然有一個(gè)因子來自第1行,只能是元素a11;必然有一個(gè)因子來自第2行,有元素a21,a22可供選擇,但元素a21與元素a11同在第1列,不能乘在一起,從而只能是元素a 22;…;必然有一個(gè)因子來自第n行,有元素an1,an2,…,ann可供選擇,但元素an1與元素a11同在第1列,不能乘在一起,元素an2與元素a22同在第2列,不能乘在一起,…,從而只能是元素ann．這說明可能不為零的項(xiàng)只有一項(xiàng)a 11a 22…ann,行標(biāo)已經(jīng)按順序排列,由于列標(biāo)排列逆序數(shù)

所以項(xiàng)a11a 22…ann前面應(yīng)取正號(hào)．那么,三角形行列式

同理,另一種三角形行列式

由此可知:三角形行列式的值等于主對(duì)角線上元素的乘積．

若行列式D主對(duì)角線以外的元素全為零,則稱行列式D為對(duì)角形行列式,它是三角形行列式的特殊情況,它的值當(dāng)然等于主對(duì)角線上元素的乘積,即

例9　n階行列式