樹的影子有多長(zhǎng)

回憶過去的時(shí)光，很多事情我都覺得特別簡(jiǎn)單，甚至簡(jiǎn)單到幼稚。可有一件事，現(xiàn)在想來仍然讓我覺得很驚奇，那個(gè)場(chǎng)景就像看了一場(chǎng)精彩的魔術(shù)表演一般，發(fā)生的一切歷歷在目：一個(gè)禿了頂?shù)氖亓秩耍弥患湔湫偷男x器站在一棵高大筆直的松樹附近，看得出來他在準(zhǔn)備測(cè)量這棵大松樹的高度。我停下來，專注地看著，想看他是如何爬到樹頂去測(cè)量的。只見他將一塊四方形的木板對(duì)著樹梢瞄了一下，然后將那件袖珍的測(cè)量?jī)x器放回口袋里。這時(shí)我以為這個(gè)守林人馬上就要拿著皮尺爬到樹上去了，可結(jié)果卻讓我有些許的失望，因?yàn)槲蚁肟吹降氖虏]有發(fā)生，測(cè)量以讓我完全意外的方式很快完成了。他并沒有爬上去，而是跟大家說已經(jīng)測(cè)量完了——可我卻認(rèn)為測(cè)量還沒有開始呢。

些許的失望情緒瞬間就消失得無影無蹤，取而代之的是驚訝，當(dāng)時(shí)的我還特別年輕，根本不能理解這種既不需要爬到樹頂去，也不需要把大樹砍倒來測(cè)量高度的方法，這么神奇的事情充滿了魔力，這個(gè)問題始終縈繞在我的心頭，這個(gè)禿頂?shù)氖亓秩耸侨绾巫龅降哪兀恳恢钡胶髞斫佑|到初等幾何學(xué)之后我才明白，多年以前的難題原來那么簡(jiǎn)單。像那種只利用最簡(jiǎn)單的儀器，甚至根本不需要使用什么東西進(jìn)行測(cè)量的方法，還有很多很多，而且每一種方法都是捷徑。

其中最古老也是最簡(jiǎn)單的方法，是古希臘哲學(xué)家泰勒斯測(cè)量埃及金字塔高度的方法。泰勒斯生活在公元前6世紀(jì)，是偉大的思想家、哲學(xué)家、科學(xué)家。他測(cè)量金字塔高度的方法比較古老也比較簡(jiǎn)單，他是利用金字塔的影子來測(cè)量的。

埃及是神秘而古老的國(guó)家，同樣神秘的還有雄偉壯觀的金字塔。在金字塔建成后不久，埃及法老看著雄偉壯觀的金字塔，不禁猜測(cè)它到底有多高。其實(shí)不僅是埃及法老，很多人都在猜測(cè)它的高度，但當(dāng)時(shí)沒有先進(jìn)的測(cè)量?jī)x器以及測(cè)量方法，人們對(duì)這一龐然大物，根本無從下手。金字塔到底有多高這個(gè)問題一時(shí)之間成了一個(gè)大難題。這個(gè)難題直到泰勒斯的出現(xiàn)，才得以解決。

在測(cè)量金字塔的高度之前，法老和祭司們舉辦了隆重的祭祀儀式。祭祀結(jié)束后，法老和祭司都聚集在一座最高的金字塔腳下，都很期待這位來自異域的遠(yuǎn)方來客能夠解決這個(gè)困擾他們多年的難題。

傳說，泰勒斯的方法是靠影子來測(cè)量。他選擇在他的影子長(zhǎng)度恰好跟他的身高相等的時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候金字塔的高度也就等于它投下的影子的長(zhǎng)度，這或許是泰勒斯與眾不同的地方——能夠把影子當(dāng)成測(cè)量工具。

這個(gè)方法在今天看來特別簡(jiǎn)單，甚至連孩子們都會(huì)覺得非常容易。然而，我們要知道現(xiàn)在的我們是在泰勒斯及很多前人耗費(fèi)大量心血建立起來的幾何學(xué)的基礎(chǔ)上來看這個(gè)問題的，也就是說我們是站在了“前人的肩膀”上來看這個(gè)問題的。

看到這里如果你認(rèn)為這個(gè)測(cè)量影子的方法似乎有些地方還欠考慮的話，說明你真的動(dòng)腦子了。因?yàn)榻鹱炙厥獾慕Y(jié)構(gòu)，金字塔是底部為正方形的錐體，四個(gè)側(cè)面都是相同的等腰三角形，泰勒斯同樣明白這個(gè)問題。因此當(dāng)他測(cè)出金字塔高度的時(shí)候，有人覺得他是在欺騙人們，只用一把尺子再借助影子是無法測(cè)出金字塔的高度的。泰勒斯并沒有為自己辯駁，他在沙地上用手指簡(jiǎn)單地畫了幾筆，質(zhì)疑他的人頓時(shí)就閉上了嘴巴。

原來，當(dāng)測(cè)量金字塔的高度時(shí)，泰勒斯站在沙地上，他和影子構(gòu)成了一個(gè)等腰直角三角形。換言之，這時(shí)金字塔的高，也就是底面中心到頂點(diǎn)的垂線和影子的底面中心到頂點(diǎn)的連線構(gòu)成了一個(gè)等腰直角三角形，這樣一來測(cè)量高度就變成了測(cè)量影子長(zhǎng)和底邊邊長(zhǎng)一半的和。至于塔底的長(zhǎng)，泰勒斯是可以很方便地直接測(cè)量出來的。

這里面所提到的三角形的幾何性質(zhì)也就是我們現(xiàn)在都知道的兩個(gè)特性：

1.等腰三角形的兩底角相等，反過來說，三角形的兩角相等，它們的對(duì)邊必然相等。

2.任意三角形的三個(gè)角的總和等于180°。

泰勒斯就是運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)測(cè)量金字塔的。公元前300年左右希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得寫了一部闡述幾何知識(shí)的書，他死后的兩千多年來人們一直都用這本書傳承幾何學(xué)。這本書里所講的知識(shí)，雖然今天每一個(gè)中學(xué)生都知道，但在泰勒斯的時(shí)代還沒有被發(fā)現(xiàn)的這些知識(shí)，被他用于測(cè)量金字塔的高度。

泰勒斯正是因?yàn)橹肋@兩點(diǎn)知識(shí)，才能斷定，當(dāng)他的影子等于他身高的時(shí)候，太陽光是以等于直角的一半的角度射向水平面的。因此可以知道，金字塔的頂點(diǎn)、塔底的中心點(diǎn)和塔影子的頂點(diǎn)三者，恰好形成一個(gè)等腰三角形。

在天氣晴朗時(shí)，用這個(gè)方法測(cè)量大樹的高度是很方便的。當(dāng)然大樹最好是孤立的，不會(huì)出現(xiàn)樹影重疊的現(xiàn)象。當(dāng)然這還要考慮太陽升起的高度問題，如果高度不夠的話，泰勒斯的這個(gè)辦法是不能使用的。要在午前后的短暫時(shí)間里，大樹投出的影子等于大樹的高度才可以。

不過，只要把泰勒斯測(cè)量金字塔的方法稍微變更或者升級(jí)一下，使它可以在有太陽的時(shí)候利用陰影。這樣我們只要能夠測(cè)量出大樹的影子長(zhǎng)度，自己的身體長(zhǎng)度以及自己影子的長(zhǎng)度，就可以用比例算出所要測(cè)量的大樹的高度，如圖1所示。

AB：ab=BC：bc

這是因?yàn)闃溆暗拈L(zhǎng)度是你身體影子長(zhǎng)度的N倍，樹高也恰好是你身高的N倍。這是從幾何學(xué)中兩個(gè)相似三角形的關(guān)系屬性得出來的。

可能有些人會(huì)提出不同的意見，認(rèn)為像這樣簡(jiǎn)單的測(cè)量，根本用不到幾何學(xué)來求證：難道沒有幾何學(xué)，就不知道大樹高多少倍它的影子也就長(zhǎng)多少倍嗎？

可是有的時(shí)候很多事情并非如想象中那么簡(jiǎn)單。為了驗(yàn)證這種不同的意見，我們不妨把這個(gè)規(guī)則延伸到路燈燈光投下的影子上，就知道正確與否了。

如圖2所示，已知木樁AB的高度是小木棍ab高度的3倍，但是在路燈燈光的照射下，經(jīng)過測(cè)量我們發(fā)現(xiàn)木樁影子長(zhǎng)度是木棍影子長(zhǎng)度的7倍。從這里就可以看出，所提出的不同意見明顯是經(jīng)不起推敲的。為何同樣的情況在一種條件下行得通，換一種情況就行不通了呢？要想解釋清楚這個(gè)問題，還得依靠幾何學(xué)。

讓我們來認(rèn)真地分析一下，測(cè)量大樹的高度和測(cè)量木樁的高度的區(qū)別在哪里。只有可依賴的條件不同，一個(gè)是太陽光線，一個(gè)是路燈光線。太陽距離大樹遙不可及，路燈距離木樁卻很近。遙不可及的太陽射過來的光線可以認(rèn)為是平行的，而近距離的路燈射來的光線卻不是平行的。路燈很近，通過肉眼就可以直接觀察出路燈射來的光線是不平行的，可為什么就能認(rèn)為太陽射來的光線是平行的呢？

其實(shí)太陽射出的光線也并不是絕對(duì)平行的。射到地面上的太陽光線之所以被看作是平行的，是因?yàn)槊恳坏拦饩€之間的角度太小了，小到完全可以忽略不計(jì)。這一點(diǎn)，可以利用幾何學(xué)的知識(shí)來證明。我們假定一個(gè)場(chǎng)景，太陽上的某點(diǎn)發(fā)出了兩道光線，它們射到地面上的某兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的距離假設(shè)是1千米。

這就是說，如果我們把圓規(guī)的一只腳放在太陽發(fā)出光線的那一點(diǎn)上，把另一只腳用太陽到地球的距離做半徑畫一個(gè)圓（太陽到地球的距離為149597870千米，這里為方便計(jì)算，取其整數(shù)為1.5億千米），夾在兩條光線之間的弧長(zhǎng)是1千米，而這個(gè)巨大的圓的周長(zhǎng)就應(yīng)該是C=πd=2πr，也就是2π×150000000千米=940000000千米。由此可以推出，這個(gè)圓上的每一度的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的，也就是940000000千米除以360，大約等于2600000千米，每一分的弧長(zhǎng)是每一度的，就等于43000千米，而每一秒的弧長(zhǎng)又是每一度的，就等于720千米。

而我們假定的兩點(diǎn)之間的距離只有1千米，由此可知它所對(duì)應(yīng)的角度只有秒，這樣的角度根本就是微不足道的，完全可以忽略不計(jì)。因此，我們完全可以將太陽光線看作互相平行的直線。這里需要強(qiáng)調(diào)一下，這里的將太陽光線看作是互相平行的直線，只是在我們視力所及的范圍內(nèi)。如果太陽光射到地球直徑的兩端，那就是另外一回事了，這里暫時(shí)不做討論。

如果我們對(duì)上面這些幾何知識(shí)什么都不懂的話，那么剛剛談到的利用影子測(cè)高度的方法，就根本不可能實(shí)現(xiàn)了。

到了這里我們談?wù)摰脑掝}還沒有結(jié)束，還有更復(fù)雜的問題在等待著我們?nèi)ソ鉀Q，這就是半影的問題。

當(dāng)我們用以上的方法去實(shí)地測(cè)量的時(shí)候，你馬上就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)方法存在問題，并沒有上面論述的那么準(zhǔn)確，而且還面臨著一個(gè)模棱兩可的問題，那就是到底哪里才是影子的盡頭。當(dāng)我們找到一棵松樹準(zhǔn)備進(jìn)行測(cè)量時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)影子的盡頭并不是很分明的，而是有一個(gè)輪廓不清的半影，正是這個(gè)半影的存在，導(dǎo)致影子的長(zhǎng)度不能最終確定，從而導(dǎo)致測(cè)量的數(shù)據(jù)不夠準(zhǔn)確。這又是怎么回事呢？

這是太陽光線的緣故。由于太陽并不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)巨大的發(fā)光體，比地球大很多倍的發(fā)光體，光線是從它表面上許多點(diǎn)射出來的，這是光線所造成的結(jié)果，如圖3所示。

圖3中，我們可以看到樹影BC會(huì)多出一段逐漸消失的半影CD，半影兩端C、D跟點(diǎn)A所形成的角CAD與我們看到原面所夾的視角是相同的，就是半度，這點(diǎn)在后面的章節(jié)中會(huì)有所論述。

由于陰影的距離不分明，這樣測(cè)量之后會(huì)出現(xiàn)不完全準(zhǔn)確的情況，即存在測(cè)量誤差，即使太陽的位置達(dá)到測(cè)量的理想的狀態(tài)，也可能出現(xiàn)5%左右的誤差。這個(gè)誤差再加上其他不可避免的客觀條件，比如地面凹凸不平，都會(huì)使測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)誤差。如果是在丘陵、山地等條件下，這個(gè)方法就要被徹底放棄了。