一 因數

1.【自然數列】 假若我們把0也作為一個數看，那么，從0起， 依次加1上去，就可以得出有頭無尾的一串數：

0，1，2，3，4，……10，……20，……100，……1000，……這一串數就叫作自然數列。

2.【約數和倍數】 在自然數列中，如 2，3，4，6 都可以除盡12，我們就說 2，3，4，6 是 12 的約數。反過來，12 就叫作 2，3，4， 6 的倍數。

一般地說，甲數能除得盡乙數，甲數就是乙數的約數，而乙數就是甲數的倍數，如11能除得盡 143，11就是143的約數，而143就是11的倍數。

在這點，我們應當注意自然數列中：

（1）1是任何數的約數，因為用它除什么數都可以除盡。

（2）0是任何數的倍數，因為除0自己以外，什么數去除0就得0，并沒有余數，就是除得盡。

3.【倍數的基本性質】 關于倍數，我們很容易推得下面的兩個性質：

45是5的倍數，25也是5的倍數。

45+25=70和45-25=20，

我們知道70和20也是5的倍數。這就是說：

一個數的幾個倍數的和或兩個倍數的差，還是它的倍數。這是可以從乘法的分配定律說明的。

因為 45=9×5和25=5×5，

所以 45+25=9×5+5×5=(9+5)×5=14×5，

和 45?25=9×5?5×5=(9?5)×5=4×5。

45是5的倍數，18不是5的倍數。

45+18=63和45-18=27，

我們知道63和27都不是5的倍數。這就是說：

一個數的倍數加上或減去一個不是它的倍數的數，結果就不是它的倍數。

因為由前一個性質，若45+18=63和45-18=27，63和27都是5的倍數，則63-45=18和45-27=18，都應當是5的倍數，但這和我們提出的條件18不是5的倍數是矛盾的。

4.【2的倍數】用2除得盡的數叫作偶數，用2除不盡的數叫作奇數。在自然數列中，奇數同著偶數是相互交替的。1是奇數，2是偶數，3是奇數，4是偶數……由此我們把0看成偶數。

20是2個10的和，150是15個10的和。但10是2的倍數，所以20和150都是2的倍數。這就是說：

末位是0的數都是2的倍數。

34=30+4和256=250+6。

兩個式子右邊的第一個數都是2的倍數，而第二個數也是2的倍數，所以它們的和也是 2 的倍數。這就是說：

末位是偶數的數都是2的倍數。

反過來，187=187+7，第一個數是2的倍數，而第二個數卻不是2的倍數，所以187便不是2的倍數。這就是說：

末位是奇數的數都不是2的倍數。

5. 【4 的倍數】100=25×4，100是4的倍數。1300=13×100，就是13個100，也就是13個4的倍數的和，所以也是4的倍數。這就是說：

末兩位是0的數都是4的倍數。

3124=3100+24和2576=2500+76。

兩個式子右邊的第一個數都是4的倍數，第二個數24和76也是4的倍數。所以它們的和3124和2576也是4的倍數。這就是說：

末兩位是4的倍數的數都是4的倍數。

相反地，末兩位不是4的倍數的數也不是4的倍數。同樣地，我們還可以推得：

末三位是0或8的倍數的數都是8的倍數。

相反地，末三位不是8的倍數的數都不是8的倍數。

6.【5和10的倍數】末位是0的數都可以看成是若干個10的和。30是3個10的和，170是17個10 的和。但10是5和10的倍數。這就是說：

末位是0的數都是5和10的倍數。

45=40+5和1035=1030+5。

兩個式子右邊的第一個數都是5的倍數，第二個數5也是5的倍數，所以它們的和45和1035都是5 的倍數。這就是說：

末位是0或5的數都是5的倍數。

相反地，末位不是0或5的數都不是5的倍數。同樣地，我們還可以推得：

末二位是0或25，50，75 的數都是25的倍數。

末三位是0或125，250，375，500，625，750，875（125的倍數）的數都是125的倍數。

7.【3和9的倍數】我們先注意一下：

                                    9÷3=3 ， 9÷9=1 ；

                                    99÷3=33 ， 99÷9=11 ；

                                   999÷3=333 ， 999÷9=111 。

就是只用 9 這一個數字組織成的數都是 3 和 9 的倍數。現在我們再來看：

36=30+6=10×3+6=(9+1)×3+6=9×3+(3+6)，

135=100+30+5=(99+1)×1+(9+1)×3+5

=（99×1+9×3）+1+3+5，

2601=2000+600+1=（999+1）×2+（99+1）×6+1

=（999×2+99×6）+（2+6+1）.

各個式子右邊的第一個數都是9的倍數，第二個數也都是9的倍數，所以它們的和36，135，2601 都是9的倍數。

把各個式子右邊的第二個數來和原數對照一下，我們可以看出來， 它們就是原數的“各位數字的和”。這就是說：

一個數的各位數字的和是9的倍數，它就是9的倍數。自然，這也可以用到3。

一個數的各位數字的和是3的倍數，它就是3的倍數。

9是3的倍數，所以9的倍數都是3的倍數，上面的36，135，2601都是3的倍數。但3的倍數不一定就是9的倍數，如 3，6，12，15……所以一個數的各位數字的和若只是3的倍數而不是 的倍數，它也就只是3的倍數而不是9的倍數。

8.【11 的倍數】 我們先注意一下：

上面三個式子告訴我們，最后等式右邊的第一個數都是11的倍數。所以原數是不是11的倍數就要看它最后等式右邊的第二個數是不是11的倍數。

我們來仔仔細細地看看這些第二個數，同著原數對起來，它們都是奇數位數的數字在‘+’，偶數位數的數字在‘-’。

8?6+9=(8+9)?6=11，

?3+5?5+3=(5+3)?(3+5)=0，

2?3+4?1+9=(2+4+9)?(3+1)=11。

它們是0或11的倍數。所以原數也就是11的倍數。這就是說：

一個數的奇位數字的和同著它的偶位數字的和相減所得的差若是0或11的倍數，它就是11的倍數。

869=79×11， 3553=323×11 ， 23419=2129×11 。