一 數(shù)學(xué)是什么

這里所要說明的“數(shù)學(xué)”這一個(gè)詞，包含著算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角等在內(nèi)。用英文名詞來說，那就是 Mathematics。它的定義，照平常的想法，非常簡(jiǎn)單、明了，幾乎已用不到再加說明。但真要說明，那問題卻又有很多。且先舉羅素（Russell），在他所著的《數(shù)理哲學(xué)》提出的定義，真是叫人莫名其妙，好像在開玩笑一樣。他說：

“Mathematics is the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true.”

將這句話很粗疏地譯出來，就是：

“數(shù)學(xué)是這樣一回事，研究它這種玩意兒的人也不知道自己究竟在干些什么。”

這樣的定義，既惝恍迷離，又神奇莫測(cè)，真是“不說還明白，一說反糊涂”。然而，若要將已經(jīng)發(fā)展到現(xiàn)在的數(shù)學(xué)的領(lǐng)域概括得完全，要將它繁復(fù)、燦爛的內(nèi)容表示得活躍，好像除了這樣也沒有其他更好的話可說了。所以伯比里慈（Papperitz）、伊特耳生（Itelson）和路易·古度拉特（Louis Couturat）幾位先生對(duì)于數(shù)學(xué)所下的定義也是和這個(gè)大體相似。

對(duì)于一般的讀者，這定義，恐怕反而使大家墜入迷霧中，因此，“撥云霧見青天”的工作似乎是少不了的。羅素所下的定義，它的價(jià)值在什么地方呢？它所指示的是什么呢？要回答這些問題，還是用數(shù)學(xué)的其他定義來相比較更容易明白。

在希臘，亞里士多德（Aristotle）那個(gè)時(shí)代，不用說，數(shù)學(xué)的發(fā)展還很幼稚，領(lǐng)域也極狹小，所以數(shù)學(xué)的定義只需說它是一種“計(jì)量的科學(xué)”，已很可使人心滿意足了。可不是嗎？這個(gè)定義，對(duì)于初學(xué)數(shù)學(xué)的人是極容易明白而且能夠滿足的。他們解四則問題、學(xué)復(fù)名數(shù)的計(jì)算，再進(jìn)到比例、利息，無一件不是在計(jì)算量。就是學(xué)到代數(shù)、幾何、三角，也還不容易發(fā)現(xiàn)這個(gè)定義的破綻。然而仔細(xì)一想，它實(shí)在有些不妥帖。第一，什么叫作“量”。雖然我們可以用一般的知識(shí)來解釋，但真要將它的內(nèi)涵說明白，也不容易。因此，當(dāng)用它來解釋其他名詞時(shí)，依然不能將那名詞的概念明了地闡述出來。第二，就是用一般的知識(shí)來解釋“量”，所謂“計(jì)量的科學(xué)”這個(gè)謂語也不能夠明確地劃定數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。例如測(cè)量、統(tǒng)計(jì)這些學(xué)科，雖然它們有各自特殊的目的，但也只是一種計(jì)量。總的來講，僅僅用“計(jì)算的科學(xué)”這一個(gè)謂語聯(lián)系到數(shù)學(xué)而 形成一個(gè)數(shù)學(xué)的定義，未免過于廣泛了。

若進(jìn)一步去探究，這個(gè)定義欠缺的還不止這兩點(diǎn)，所以孔德（Comte）就將它加以修改為：“數(shù)學(xué)是間接測(cè)量的科學(xué)。”照前面的定義，數(shù)學(xué)是計(jì)量的科學(xué)，那么必定要有“量”才有可計(jì)算的，但它所計(jì)的“量” 是通過什么方式得來的呢？用一把尺子就可以量一塊布有幾尺幾寸寬、幾丈幾尺長(zhǎng)；用一桿秤就可以量一袋米有幾斤幾兩重，這些都是可以直接辦到的。但若要測(cè)量行星軌道的廣狹、行星的體積，或是很小的分子的體積，這些就不是依靠人力所能直接測(cè)定的，但用數(shù)學(xué)的方法都可以間接將它們計(jì)算出來。因此，孔德所下的這個(gè)定義，雖然不能將前一個(gè)定義的缺陷完全補(bǔ)正，但總是較進(jìn)一步了。

孔德畢竟是十九世紀(jì)前半期的人物，雖然他是一位不可多得的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，但在他的時(shí)代，數(shù)學(xué)的領(lǐng)域遠(yuǎn)不及現(xiàn)在廣闊，如群論、位置解析、投影幾何、數(shù)論以及邏輯的代數(shù)等，這些數(shù)學(xué)的支流的發(fā)展，都是他以后的事。而這些支流與量或測(cè)量實(shí)在沒什么關(guān)系。即如笛沙格（Desargues）所證明的一個(gè)極具趣味的定理：“兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)若在集交于一點(diǎn)的三條直線上，則它們的相應(yīng)邊的交點(diǎn)就在一條直線上。”

這個(gè)定理的證明，就只用到位置的關(guān)系，和量毫不相干。數(shù)學(xué)的這種進(jìn)展，自然是輕輕巧巧地便將孔德所給的定義攻破了。

到了 1970 年，皮爾士（Peirce）就另外給數(shù)學(xué)下了一個(gè)這樣的定義：

“數(shù)學(xué)是產(chǎn)生‘必要的’結(jié)論的科學(xué)。”

不用說，這個(gè)定義比之前的都要廣泛得多，它已離開了數(shù)、量、測(cè)量等這些名詞。我們知道，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是建筑在幾個(gè)所謂公理上面的。從方法上說，不過由這幾個(gè)公理出發(fā)，逐漸演繹出去而組成一個(gè)秩序井然的系統(tǒng)。所謂公式、定理，只是這演繹所得的結(jié)論。

照這般說法，皮爾士的定義可以說是完整無缺嗎？

不！依照幾個(gè)基本的公理，通過邏輯的法則演繹出的結(jié)論，只是“必然的”。若說是“必要”，那就很值得商榷。我們?nèi)粢獑栐鯓拥慕Y(jié)論才是必要的，這豈不是很難回答嗎？

更進(jìn)一步說，在目前的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，固然大部分還是采用著老方法，但像皮亞諾（Peano）、布爾（Boole）和羅素這些先生們，卻又走著一條相反的途徑，他們對(duì)于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)的研究要掉一個(gè)方向去下尋根問底的工夫。

于是，這個(gè)新鮮的定義又免不了搖動(dòng)。

關(guān)于這定義的改正，我們可以舉出康伯（Kempe）的來看，他說：“數(shù)學(xué)是一種這樣的科學(xué)，我們是用它來研究思想的題材的性質(zhì)的。而這里所說的思想，是歸依到含著相異和相同，個(gè)別和復(fù)合的一個(gè)數(shù)的概念上面。”

這個(gè)定義，實(shí)在太嚴(yán)肅、太具文學(xué)氣息了，而且意味也有點(diǎn)兒含混。在康伯以后，布契（B?cher）把它修改為：

“倘若有某一群的事件與某一群的關(guān)系，而我們所要研究的問題，又單只是這些事件是否適合于這些關(guān)系，這種研究便稱為數(shù)學(xué)。”

在這個(gè)定義中，最值得注意的一點(diǎn)，布契提出了“關(guān)系”這一個(gè)詞來解釋數(shù)學(xué)，它并不用數(shù)、量這些家伙，因此很巧妙地將數(shù)學(xué)的范圍擴(kuò)張到“計(jì)算”以外。

假如我們以前只是照慣用的意義來解釋“計(jì)算”，那么，到了現(xiàn)在，數(shù)學(xué)中有些部分確實(shí)和計(jì)算沒有什么關(guān)系。

也正是因?yàn)檫@個(gè)緣故，我更喜歡用“數(shù)學(xué)”這個(gè)詞來譯Mathematics，而不是“算學(xué)”。雖然“數(shù)”字還是不免有些語病，但似乎比“算”字來得輕些。

倘使我們?cè)僮穼ひ环覀冞€可以發(fā)現(xiàn)布契的定義也并不是“懸諸國門不能增損一字”的。不過這種工夫越來越細(xì)微，也不容易理解。而我這篇文章不過想給一般的讀者一點(diǎn)兒數(shù)學(xué)的概念，所以不再往里面深挖了。

將這個(gè)定義來和羅素所下的比較，雖然距離較近，但總還是旨趣懸殊。那么，羅素的定義果真是開玩笑嗎？

我是很愿意接受羅素的定義的，為了要將它說得明白些，也就是要將數(shù)學(xué)的定義——性質(zhì)——說得明白些，我想這樣說：

“數(shù)學(xué)只是一種符號(hào)的游戲。”

假如，有人覺得這樣太輕佻了一點(diǎn)兒，嚴(yán)嚴(yán)正正的科學(xué)怎么能說它是“游戲”呢？那么，像這樣說也可以：

“數(shù)學(xué)是使用符號(hào)來研究‘關(guān)系’的科學(xué)。”

對(duì)于數(shù)學(xué)這種東西，讀者大都有過這樣的疑問：這有什么意思呢？

這有什么用呢？本來它不過讓你知道一些關(guān)系，以及從某種關(guān)系中推演出別的關(guān)系來，而關(guān)系的表述大部分又只依靠著符號(hào)，這自然不能具體地給出什么用場(chǎng)和意義了。

為了解釋明白上面提出的定義，我想從數(shù)學(xué)中舉些例子來講，這樣更方便些。

我們先看“一加二等于三”。

在這一個(gè)短短的句子 里，照句子構(gòu) 成，總共是五個(gè) 詞：“一”“二”“三”“加”“等于”。這五個(gè)詞，前三個(gè)是一類，后兩個(gè)又是一類。什么叫“一”？什么叫“二”？什么叫“三”？這實(shí)在不容易解答。它們都是數(shù)，數(shù)是抽象的，不是嗎？我們能夠拿一個(gè)銅板、一支鉛筆、一個(gè)墨水瓶給別人看，但我們拿不出“一”來，“一”是一個(gè)銅板、一支鉛筆、一個(gè)墨水瓶。一個(gè)這樣，一個(gè)那樣。從這些東西中我們認(rèn)識(shí)它們的共相，要自己保存，又要傳給別人，不得不給它起一個(gè)稱呼，于是就叫它“一”。我為什么叫“薰宇”，倘若你要問我，我也回答不上來，我只能說，這只是一個(gè)符號(hào)，有了它方便你們稱呼我，可以讓你們?cè)诓栌嗑坪笠团笥褌兣u(píng)我、罵我時(shí)，說起來方便些，所以“薰宇”兩個(gè)字是我的符號(hào)。同樣地，“一”就是一個(gè)銅板、一支鉛筆、一個(gè)墨水瓶……這些東西的共相的符號(hào)。這么一說，自然“二”和“三”也一樣只是符號(hào)。

至于“加”和“等于”在根源上要說它們只是符號(hào)，一樣也是可以的，不過從表面上說，它們表示一種關(guān)系。所謂“一加二”是表示“一”和“二”這兩個(gè)符號(hào)在這里的關(guān)系是相加；所謂“等于”是表示在它前后的兩件東西在量上相等。所以歸根結(jié)底“一加二等于三”只是三個(gè)符號(hào)和兩個(gè)關(guān)系的聯(lián)綴。

只舉這么一個(gè)例子，似乎還不能夠說明白。那么我們?cè)倥e一例，假定你已經(jīng)學(xué)過代數(shù)了，我們就可以從數(shù)的范圍的逐漸擴(kuò)大來說明。

在算術(shù)里我們用的只是 1，2，3，4……這些數(shù)，最初跨進(jìn)代數(shù)的門檻，遇到 a，b，c，x，y，z，總有些不習(xí)慣。你對(duì)于 2+3=5，并不感到驚奇和懷疑；對(duì)于兩個(gè)加三個(gè)等于五個(gè)，也不覺驚奇和懷疑；但對(duì)于2a+3a=5a，你卻怔住了，常常覺得不安心，不知道你在想什么。其實(shí)，2a+3a=5a 和 2+3=5 對(duì)于你的習(xí)慣來說，后者不過更像符號(hào)而已。有了這一個(gè)使用符號(hào)的進(jìn)步，許多關(guān)系來得更簡(jiǎn)單，更普遍，不是嗎？若是將 2a+3a=5a具體化，認(rèn)為a是一只狗的符號(hào)，那么這關(guān)系所表示的便是兩只狗碰到了三只狗成為五只狗；若a是一個(gè)鼻頭的符號(hào)，那么，這關(guān)系所表示的便是兩個(gè)鼻頭添上三個(gè)鼻頭總共就成了五個(gè)鼻頭。

從另一個(gè)角度來看，在算術(shù)中除法常有除不盡的時(shí)候，比如2÷3。遇見這樣的問題，我們便有幾種方法表示：

第一種只是一個(gè)近似的表示法；第二種表示得雖正確，但用起來不方便；第三種是循環(huán)小數(shù)，關(guān)于循環(huán)小數(shù)的計(jì)算，那種苦頭你肯定嘗到過；第四種是分?jǐn)?shù)，是什么？你已經(jīng)知道就是2除以3的意思。對(duì)了，只是“意思”，實(shí)際并沒有除。這和6除以3得2的意味是不同的。剛才所說的“意思”便是“符號(hào)”。因?yàn)槌ㄓ谐槐M的時(shí)候，所以我們使用“分?jǐn)?shù)”這種符號(hào)。有了這種符號(hào)，我們就可以推出分?jǐn)?shù)中的各種關(guān)系。

在算術(shù)里你知道 5-3=2，但要碰到 3-5 你就沒有辦法了，只好說一句“不能夠”。“不能夠”？這是什么意思？我替你解釋便是沒有辦法表示這個(gè)關(guān)系。但是到了代數(shù)里面，為了探究一些更普遍的關(guān)系，不得不想一些方法來突破這個(gè)困難。于是在面對(duì)3-5 為什么“不能夠”這個(gè)問題時(shí)，有些人異口同聲地回答，因?yàn)檫€差2的緣故。這一回答，關(guān)系就成立了，“從3 減去 5 差 2”。在這個(gè)當(dāng)兒又用一個(gè)符號(hào)“-2”來表示“差2”，于是這關(guān)系就成為3-5=-2。這一來，真是“功不在禹下”。有了負(fù)數(shù)，我們既可探討它自身所包含的一些關(guān)系，也可以將我們已得到的一些關(guān)系更普遍化。

又如在乘法中，有時(shí)只是一些相同的數(shù)相乘，便給它一種符號(hào)，譬如a×a×a×a×a寫成a5。這樣一來，關(guān)于這一類的東西又可以發(fā)現(xiàn)許多關(guān)系，例如：

不但這樣，這里的n和m還只是正整數(shù)，后來卻擴(kuò)張到負(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)而得出下面的符號(hào)：

這些符號(hào)的使用，是代數(shù)所給的便利，學(xué)過代數(shù)的人都已經(jīng)知道了，我也不用再說了。

由整數(shù)到分?jǐn)?shù)，由正整數(shù)到負(fù)數(shù)，由乘方到使用指數(shù)，我們可以看到許多符號(hào)的創(chuàng)立以及許多關(guān)系的產(chǎn)生、衍變。要將乘方還原，用的是開方，但開方常常會(huì)“碰釘子”，因此就有了無理數(shù)，如……這不過是一些符號(hào)，這些符號(hào)經(jīng)過一番探索，便和乘方所用的指數(shù)符號(hào)結(jié)成了很親密的關(guān)系。

將這些例子總結(jié)起來，除了使用符號(hào)和發(fā)現(xiàn)關(guān)系以外，數(shù)學(xué)實(shí)在沒有什么別的花頭。倘若你已學(xué)過平面三角，那么，我相信你更容易承認(rèn)這句話。所謂平面三角，不就是只靠著幾個(gè)什么正弦、余弦這類的符號(hào)來表示幾個(gè)比，然后去研究這些比的關(guān)系和三角形中的其他關(guān)系嗎？

現(xiàn)在我說“數(shù)學(xué)是使用符號(hào)來研究‘關(guān)系’的科學(xué)”，你應(yīng)該不至于再懷疑了吧？

在數(shù)學(xué)中，你會(huì)碰到一些實(shí)際的問題需要你計(jì)算，譬如三個(gè)十兩五錢總共是多少斤。但這只是我們所得的關(guān)系的具體化，換句話說，不過是一種應(yīng)用。

也許你還有一個(gè)疑問，數(shù)學(xué)中的公式和定理固然只是一些“關(guān)系” 的表現(xiàn)形式，但像定義那類的東西又是什么呢？我的回答是這樣，那只是符號(hào)的規(guī)定。“到一個(gè)定點(diǎn)距離相等的一個(gè)完全的曲線叫圓。”這是一個(gè)定義，但也只是對(duì)于“圓”這個(gè)符號(hào)的規(guī)定。

認(rèn)真來講，數(shù)學(xué)只是這么一回事，但我仍然喜歡說它是符號(hào)的游戲。所謂“游戲”自然不是開玩笑的意思。兩個(gè)要好的朋友拿著球拍在 球場(chǎng)上打網(wǎng)球，他們并沒有什么爭(zhēng)勝的要求，然而玩得興致淋漓，不忍釋手，在這過程中他們得到一種滿足，這就是使他們忘卻一切的原因，這叫游戲。小孩子獨(dú)自拿著兩塊石子在地上造房子，盡管滿頭大汗，氣喘吁吁，但仍然拼盡全身力氣去做，這是游戲。至于為銀盾而賽球，為錦標(biāo)而練習(xí)賽跑，這便不是游戲了。還有為了排遣寂寞，約幾個(gè)人打麻將，喝老酒，這也算不上游戲。就在這意味上，我說“數(shù)學(xué)是符號(hào)的游戲”。

自然，從這游戲中可以得到一些收獲——發(fā)現(xiàn)一些可以供人使用的關(guān)系。但符號(hào)使用得越多，所得的關(guān)系越不容易具體化。等你踏到數(shù)學(xué)的領(lǐng)域的后部，真的，只要見到符號(hào)和關(guān)系，那些符號(hào)，那么要你把關(guān)系說個(gè)明白，就算是馬馬虎虎地說，你也無從下手。

好了，到這一步，羅素便說：

“數(shù)學(xué)是這樣一回事，研究它這種玩意兒的人也不知道自己究竟在干些什么。”