一 開場話

我在中學三年級學物理的時候，曾經碰過一次物理教員的釘子，現在只要一想到，額上好像都還有余痛。詳細的情形已不大記得清楚了，大概是這樣的：為了一個什么公式，我不知道它的來源，便很愚笨地向那位教員追問。起初他很和善，雖然已有點不大高興，他說：“你記住好了，怎樣來的，說來你這時不會懂。”在我那時的呆板而幼稚的心里，無論如何不承認真有說來不會懂的這么一回事，仍舊不知趣地這樣請求：“先生說說看吧！”他真懊惱了，這一點我記得非常明白，他的臉，發一陣紅又發一陣青。他氣憤憤地，呼吸很促，手也顫抖了，從桌dy子上拿起一支粉筆使勁在黑板上寫了這樣幾個字：（后來我知道這只是記號，不好單看成幾個字 )，眼睛瞪著我，幾乎想要將我吞到他的肚子里才甘心似的，“這你懂嗎？”我嚇得不敢出聲，心里暗想：“真是不懂！”

從那一次起，雖則我已被嚇得承認自己不懂，然而總也不大甘心，常常想從什么書上去找這幾個奇怪的字來看。可惜得很，一直過了三年才遇見它，才算“懂其所懂”地懂了一點。真的，第一次知道它的意義的時候，心里感到無限的喜悅！

不管怎樣，馬馬虎虎，我總算懂了，然而我的年齡也大起來了，我已經踏進了被人追問的領域了！“代數、幾何，學過了學些什么呢？”“微積分是怎樣的東西呢？”這類問題，常常被比我年紀小些的朋友們問到，我總記起我碰釘子時的苦悶，不忍心讓他們也在我的面前碰，常常想些似是而非的解說，使他們不全然失望。不過，總覺得這也于心不安，我相信一定可以簡單地將它們的大意說明的，只是我不曾仔細去思索過。新近偶然從書店看見一本《兩小時的數學》，書名很奇特，便買了來。翻讀一遍，覺得它很夠替我來解答前面的問題，因此就依據它，寫成這篇東西，算是了卻一樁心愿。我常常這樣想，數學和辣椒很有些相同，沒有吃過的人，初次吃到，免不了要叫要哭，但真吃慣了，不吃卻過不得。不只這樣，就是吃到滿頭是汗，兩眼淚流，身體上固然夠苦，精神上卻愈加舒暢。話雖如此，這里卻不是真要把惡辣的東西硬叫許多人流一通大汗，實在還沒有吃生蔥那樣的辣。

有一點卻得先聲明，數學的階段是很緊嚴的，只好一步一步地走上去。要跳，那簡直是妄想，結果只有跌了下來。因此，這里雖然竭力避去繁重的說明，但也是對于曾經學過初等的算術、代數、幾何，而沒有全部忘掉的人說的。因此先來簡單地說幾句關于算術、代數、幾何的話。

算術

無論哪一個人要走進數學的園地里去游覽一番，一進門碰到的就是算術。這是因為它比較容易也比較簡單，所以易于親近。話雖如此，真在數學的園地里游個盡興，到后來你要碰到的卻又是它了。“整數的理論”就是數學中最難的部分。

你在算術中，經過了加、減、乘、除四道正門，就可以看到一座大廳，門上橫著一塊大大的匾，寫的是“整數的性質”五個大字。已經走進這座大廳，而且很快地就走了出來，由那里轉到分數的庭院去，你當然很高興。但是我問你：你在那座大廳里究竟得到了什么呢？里面最重要的不是質數嗎？1，3，5，7，9，11，13……你都知道它們是質數了吧！然而，這就夠了嗎？隨便給你一個數，比如103，你能用比它小的質數一個一個地去除它，除到后來，得數比除數小了還除不盡，你就確定它是質數。這個法子，是很靠得住的，一點兒不會欺騙你。然而它只是一個小聰明的玩意兒，真要正正經經地用它，那就叫你不得不搖頭了。倘若我給你的不是103，而是一個有103位的整數，你還能呆板地照老法子去確定它是不是質數嗎？人壽幾何，一個不湊巧，恐怕你還沒有試到一半，已經天昏地暗了。那么，有沒有別的法子可以確定一個數是不是質數呢？對不起，真要問，多請些人到這座大廳里去轉去。

在“整數的理論”中，問題很多，得了別的一部分數學的幫助，也 解決過一些，所以算術也是常常在它的領域內增加新的建筑和點綴，不過不及別的部分來得快罷了。

代數

走到代數的殿上，你知道解一次方程式和二次方程式，自然這是再快樂不過。算術碰見了要弄得焦頭爛額的四則問題，只要用一兩個羅馬字母去代替那所求的數，依著題目已說明白的條件，立一個方程式，就可以死板地照著法則求出答案來，真是又輕巧又明白。代數比算術有趣得多，容易得多！但是，這也只是在那殿里隨便玩玩就走了出來的說法，若在里面流連，又將看出許多困難了，一次、兩次方程式總算可以解了，一般的方程式怎樣呢？

幾何

幾何的這座院子，里面本來是陳列著些直線、曲線的圖形的，所以，你初走進去的時候，立刻會感到一種特別的風味，好像它在數學的園地里，儼然是別有天地。但從笛卡爾發現了它和代數的院落的通路，這座院子也就不是孤零零的了。它的內部更加充實富麗起來。萊布尼茨用解析的方法也讓它滋長繁榮的力量增加了不少。的確，用二元一次方程式y=mx + c 表示直線，用二元二次方程式相應地表示圓和橢圓，實在便利不少。這條路一經發現，來往行人都可通過，并不是只許進不許出，所以解析數學和幾何就手挽手地互相扶助著向前發展。

還有，這條路發現以后，也不是因為它比較便利，幾何的院子獨自的出路便懸掛上了一塊“路不通行，行人止步”的牌子，它自己獨立地發展，也一樣沒有停息。即如里曼就是走老路。后來新造的題著“位置分析”和“形學”的那間亭子，在里面你可以看見空間的性質和幾何的連續的、純粹的性相，只需用到那“量度”的抽象觀念就夠了。

總集論

在物理學的園地里面，有著愛因斯坦的相對論原理的新建筑，它所陳列的是通過性慧由敏感而發明的新定理。像這種性質的法寶，數學的園地當中，也可以找得出嗎？在數學的園地里，走來走去，所能夠見到的，都只是些老花樣、舊古董，和游賞一所傾頹的古剎一樣嗎？

不，絕不！那些古老參天的樹干，那些從幾千百年前遺留下來的質樸的亭臺樓閣，在這園地里，固然是占重要的地位，極容易映到游人的眼里。但倘使你看到了這些還不滿足，你慢慢地走進去，就可以看出古樹林中還有鮮艷的花草，亭樓里面更有新奇的裝飾。這些增加了這個園地的美感，充實了這個園地的生命。由它們，你就可以知道，數學的園地從開始到現在，沒有一天停止過墾殖。在別的各種園地里，可以看見燦爛耀目的新點綴，但也常常可以見到那舊建筑傾跌以后殘留的破磚爛瓦。在數學的園地里，卻只有欣欣向榮的盛觀。這殘敗的使人感到凄涼的遺跡，卻非常稀少，它里面的一切建筑裝飾，都有著很牢固的根底的呀！

數學的園地里，有一種使人感到不可思議的法寶，叫作“無限”。它常常都是一樣的嗎？它里面究竟包含著些什么，我們能夠說明嗎？它的意義必須確定嗎？

游到了數學的園地當中的一個新的院落，墻門上寫著“總集論” 三個字的，那里面就可以給你看這些問題的解答了。這里面是極有趣味的，用一面大的反射鏡，可以叫你看到這整個園地和幽邃的哲學的花園的關聯以及它倆的通路。三十年來，康托爾將超限數的意義導出，和那物理的園地中驚奇的新建筑一樣重要而且令人驚異！在本文的最后，就要說到它。