《給孩子的趣味數學：數學原來這么好玩》叢書導讀

民國時期，著名畫家、教育家、漫畫家、作家豐子愷給劉薰宇的《數學趣味》一書作序，原文如下：

我中學時代最不歡喜數學，最歡喜圖畫，常常為了圖畫而拋荒數學課。看見某畫理書上說：“學數學與學圖畫，頭腦的用法相反，故長于數學者往往不善圖畫，長于圖畫者往往不善數學。”我得了這話的辯護，便放心地拋荒數學課，仿佛數學越壞，圖畫會越好起來似的。現在回想覺得可笑又可惜，放棄了青年時代應修的一種功課。我一直沒有嘗過數學的興味，一直沒有游覽過數學的世界，到底是損失！

最近給我稍稍補償這損失的，便是這冊書里的幾篇文章。我與薰宇相識后，他便做這些文章。他每次發表，我都讀，誘我讀的，是它們的富有趣味的題材。我常不知不覺地被誘進數學的世界里去。每次想：假如從前有這樣的數學書，也許我不會拋荒數學，因而不會相信那畫理書上的話。我曾鼓勵薰宇續作，將來結集成書。現在書就將出版了，薰宇要我作序。數學的書，叫我這從小拋荒數學的人作序，也是奇事。而我居然作了，更屬異聞！序，似乎應該是對于全書的內容有所品評或闡發的，然而我的序沒有，只表示我是每篇的愛讀者而已。——唯其中《韓信點兵》一篇給我的回想很不好：這篇發表時，我正患眼疾，醫生叮囑我燈下不可看書，而我接到雜志，竟在燈下一口氣讀完了。次日眼睛很痛，又去看醫生。

一九三三年耶穌誕

子愷

一篇簡短的序言，讓我們讀到了大畫家豐子愷對沒有學好數學的懊悔，也讀到了《數學趣味》的趣味。這趣味讓豐子愷對該書愛不釋手，忍著眼痛也要看完。如此精彩，到底是怎樣的書呢？讓我們一起來品味劉薰宇的數學科普叢書。

一、讀其文，先品其人——認識叢書作者劉薰宇

劉薰宇（1896—1967），貴州貴陽人。我國現代數學家，也是我國現代數學教育家和出版家，受過法國數學教育的熏陶，曾任多所大學和中學數學教師或校長，擔任過人民教育出版社副總編輯，審定過我國中小學數學教材，出版了中小學數學教科書和科普讀物，發表了大量數學教育方面的論文，籌備出版了《中學生》《新少年》等青少年期刊。

擔任人民教育出版社副總編輯期間，編寫了一系列中學數學教材。算術誰編的？劉薰宇！代數誰編的？劉薰宇！平面幾何誰編的？劉薰宇！立體幾何誰編的？劉薰宇！解析幾何誰編的？劉薰宇！……注意不是主編，而是編！我們對作者的景仰之情如滔滔江水，連綿不絕。

民國時期，語文教育家夏丏尊出過一本書，名為《文章作法》，這本書的第二作者是劉薰宇，一個數學家編寫語文專著，可謂文理兼修，驚為天人。

劉薰宇作為中國數學科普第一人，論著特點之一就是：說理淺明，以趣味豐富的文字寫枯燥的算理。所以，他的科普著作深受人們的喜愛，下面僅對《數學趣味》《馬先生談算學》《數學的園地》和《因數和因式》中的內容做一簡單的介紹，增進我們對他的科普著作的了解，進而去閱讀，并享受其中的數學趣味，汲取這位數學家留給我們的“教育遺產”。

二、作品賞析

劉薰宇的《馬先生談算學》這部著作從1937年1月開始，陸續按

月發表在《中學生》上，預定于1937年，在《中學生》上登載完畢，

但由于時局動亂，難以靜心撰寫，時至1939年冬天才完稿，前后歷時三年。

劉薰宇寫該書的動機是：“在增進學算學的人對于算學的趣味。對于學習算學的態度，思索問題的途徑，以及探究題目間的關系和變化，我很用心地去選擇和計劃表出它們的方法。我希望，能夠把這沒有生命的算學問題注進一點兒活力。”該書是以第三人稱——“馬先生”的口吻來進行書寫的，主要圍繞如何用圖解法求解一些算術四則問題，收集了100多道題目加以解釋，但它并不是什么難題詳解之類的書。馬先生是一位風趣幽默的老師，在和同學們的交流中循循善誘，把復雜的數學問題通過深入淺出的語言，通過生動

形象的畫圖加以解決。例如書中有這么一段：

雞、兔 同 一 籠 共 十 九 個 頭，五十二只腳，求雞、兔各有幾只？

不用說，這題目包含一個事實條件，雞是兩只腳，而兔是四只腳。

“依頭數說，這是‘和一定’的關系。”馬先生一邊說，一邊畫AB線。

“但若就腳來說，兩只雞的才等于一只兔的，這又是‘定倍數’ 的關系。假設全是兔，兔應當有十三只；假設全是雞，就應當有二十六只。由此得 CD 線，兩線交于 E。豎看得七只兔，橫看得十二只雞，這就對了。”

七只兔，二十八只腳，十二只雞，二十四只腳，一共正好五十二只腳。

這種方法正如劉薰宇先生強調的：“用圖解法直接來解決算術問題，這不但便于觀察和思索，而且還可使算術更切近于實用一點。圖解，本來已溝通了代數和幾何，而成為解析幾何學的骨干。所以，若從算術起，就充分地運用它，我想，這不但對于進一步學習算學中的其他部門，有著不少的幫助，而且對于學理、工科，乃至于統計等，也是有益的。”《馬先生談算學》中的圖像法不正是中學的函數圖像的雛形嗎？在學習函數和解析法分析問題時，馬先生讓你水到渠成。

《馬先生談算學》共有30部分，依次為：他是這樣開場的、怎樣具體地表出數量以及兩個數量間的關系、解答如何產生——交差原理、就講和差算罷、“追趕上前”的話、時鐘的兩只針、流水行舟、年齡的關系、多多少少、鳥獸同籠問題、分工合作、歸一法的問題、截長補短、還原算、五個指頭四個叉、排方陣、全部通過、七零八落、韓信點兵、話說分數、三態之一——幾分之幾、三態之二——求偏、三態之三—— 求全、顯出原形、從比到比例、這要算不可能了、大半不可能的復比例、物物交換、按比分配、結束的一課。

《馬先生談算學》充分體現了劉薰宇先生對數學的態度，一方面認為人人應該學習數學，但不是說人人都要當數學家；另一方面認為人人都能學習數學，但不是說人人都能成為數學家。科學的價值與需求在當時已經不容懷疑，而算術、代數、幾何、三角、解析幾何以及初等微積分等中等程度的數學是科學必備的基礎。所以，“謹以此書獻給真實愛好科學的青年朋友”表達了劉薰宇先生出版該書的心聲。

《數學趣味》共有11部分，依次是：數學是什么、數學所給與人們的、數的啟示、從數學問題說到我們的思想、恨點不到頭、堆羅漢、八仙過海、棕欖謎、韓信點兵、王老頭子的湯圓、假使我們有十二根手指。《數學趣味》是一本有趣的數學史，從數學是什么到數的啟示，你會讀到數的歷史演變，你會讀到從數到式的發展。從數學問題說我們的思想中，劉薰宇先生通過雞兔同籠、勾股定理兩個耳熟能詳的問題，分析了數學中的通法和特法的關系，以及特殊與一般的關系。

大概說來，在十六七年前吧，從一部舊小說上，也許是《鏡花緣》，看到一個數學題的算法，覺得很巧妙，至今仍沒有忘記。那是一個關于雞兔同籠的問題，題上的數字現在已有點兒模糊，假使總共十二個頭，三十只腳，要求的便是那籠子里邊究竟有幾只雞、幾只兔。

那書上的算法很簡便，將總共的腳的數目三十折半，得十五，從這十五中減去總共的頭的數目十二，剩的是三，這就是那籠子里面的兔的只數；再從總共的頭數減去兔的頭數三，剩的是九，便是要求的雞的數目。真是一點兒不差，三只兔和九只雞，總共恰是十二個頭，三十只腳。

……

八方桌和六方桌，總共八張，總共有五十二個角，試求每種各有幾張。這個題目具備了前面所舉的三個條件中的第一個和第二個，只缺第三個，所以不能完全用相同的方法計算。先將五十二折半得二十六，八方和六方折半以后，它們的角的數目相差雖只有一，但六方的折半還有三個角，八方的還有四個。所以，在三十六個角里面，必須將每張桌折半以后的腳數三只三只地都減去。總共減去三乘八得出來的二十四個角，所剩的才是每張八方桌比每張六方桌所多出的角數的一半。所以二十六減去二十四剩二，這便是八方桌有兩張，八張減去二張剩六張，這就是六方桌的數目。將原來的方法用到這道題上，步驟就復雜了，但教科書上所說的方法，用到那些形式相差很遠的例子上并不繁重，這就可以證明兩種方法使用范圍的廣狹了。

讀了上面的例子，你是否認識到越是普遍的法則，用來對付特殊的事例，往往越是容易顯出不靈巧，但它的效用并不在使人得到小花招，而是要給大家一種可靠的、能夠一以當百的方法。你是否認識到這可以列方程和方程組，解法更加普遍。

中國很老的數學書，如《周髀算經》上面，就載有一個關于直角三角形的定理，所謂“勾三股四弦五”。這正和希臘數學家畢達哥拉斯的定理：“直角三角形的斜邊的平方等于它兩邊的平方的和。”本質上沒有區別。但由于表出的方法不同，它們的進展就大相懸殊。從時間上看，畢達哥拉斯是紀元前六世紀的人，《周髀算經》出世的時代雖已不能確定，但總不止二千六百年。從這兒，我們中國人也可以自傲了，這樣的定理，我們老早就有的。這似乎比把墨子的木鳶當作飛行機的始祖來得大方些。然而為什么畢達哥拉斯的定理在數學史上有著很大的發展，而“勾三股四弦五”的說法，卻沒有新的突破呢？

這進一步告訴我們，我們的科學研究，尤其數學研究要從實際問題出發，從特殊到一般，發現普遍真理。劉薰宇進一步分析了一般三角形的三邊類勾股的關系，擴展到費馬定理，層層遞進，精彩紛呈。

劉薰宇出版《數學趣味》有兩個目的：一是打破一種觀念：“許多人以為數學是枯燥、繁雜、令人頭疼、不切實用的學科，因而望而卻步。打破這種觀念，這是第一個共同的企圖。”二是暗示處理材料和思索問題的方法：“許多人以為學習數學，只要呆記書本上的法則、公式、定理等等，再將練習題做完，這就算全部掌握了。其實書本上的知識不但有限，而且也太固定了，我們所能遇見的更鮮活的材料不知有多少。將死板的方法用到這些活潑的材料上去，使它倆相得益彰，這是一條學習的正軌。學習不但要收集一些材料，還要掌握一些方法。掌握方法比收集材料更有效果。”

中學生可以看懂高等數學中的微積分，也許你認為這是天方夜譚吧。當你打開劉薰宇的《數學的園地》，你會發現微積分其實很簡單。該書比較系統地說明了函數、誘導函數、積分、微分等概念及它們的運算法的基本原理。抽象、枯燥的高等數學內容，經過他巧妙的手法寫出來，只要學過初等代數和幾何的人，就能很輕松、毫不費力地讀完并掌握。所以，該書完全可以作為中學生必備的重要自學書籍。

記起一段笑話，一段戲文上的笑話。有一個窮書生，討了一個有錢人家的女兒做老婆，因此，平日就以怕老婆出了名。后來，他的運道亨通了，進京朝考，居然一榜及第。他身上披起了藍衫，許多差人侍候著。回到家里，一心以為這回可以向他的老婆復仇了。哪知老婆見了他，仍然是神氣活現的樣子。他覺得這未免有些奇怪，便問：“從前我窮，你向我擺架子，現在我做了官，為什么你還要擺架子呢？”

她的回答很妙：“愧煞你是一個讀書人，還做了官，‘水漲船高’ 你都不曉得嗎？”

你懂得“水漲船高”嗎？船的位置的高低，是隨著水的漲落變的。用數學上的話來說，船的位置就是水的漲落的函數。說女子是男子的函數，也就是同樣的理由。在家從父，出嫁從夫，夫死從子，這已經有點兒像函數的樣子了。如果還嫌粗略，我們不妨再精細一點兒說。女子一生下來，父親是知識階級，或官僚政客，她就是千金小姐；若父親是挑糞、擔水的，她就是丫頭。這個地位一直到了她嫁人以后才會發生改變。這時，改變也很大：嫁的是大官僚，她便是夫人；嫁的是小官僚，她便是太太；嫁的是教書匠，她便是師母；嫁的是生意人，她便是老板娘；嫁的是 x，她就是y，y總是隨著x變的，自己無法做主。這種情形和“水漲船高”真是一樣，所以我說，女子是男子的函數，y是x的函數。

函數的概念比較抽象，劉薰宇先生以舊社會婦女沒地位，處處要服從男人這個事實作為從屬關系的例子，把“一個變化另一個也跟著變” 的道理說得幽默生動。相對于函數，微分、積分、導數以及微分方程更加抽象，但劉薰宇先生依然把它們講得栩栩如生，通俗易懂。

《因數和因式》中，劉薰宇先生把小學的數和中學的式放在一起，可以類比學習，對于愛好數學的學生、學有余力的學生、在六年級著手初小銜接的學生，可以仔細讀一讀，品一品，你會發現二者之間有著緊密的聯系。書中有一些名詞在今天讀起來更覺得生動：比如我們現在稱為分解質因數，本書中稱為“析因數”，分解因式在本書中稱為“析因式”。有關式的部分，劉薰宇先生在書中做了細致的闡述，對初中數學中數與式的鞏固、拓展提升有很大的幫助。

三、劉薰宇著作對后世的影響

劉薰宇的論著在當時深受人們的喜愛，有些人正是因為讀了他的論著才對數學感興趣，不再覺得數學是枯燥、難懂的學科。

著名物理學家、諾貝爾獎得者楊振寧在對香港中學生的演講中說：“早在中學時代，由于偶然的機會我對數學產生了興趣，而且發現了自己的數學能力。20世紀30年代，有一雜志名叫《中學生》。我想香港的一些圖書館一定還收藏有這份雜志。這份雜志非常好，面向中學生，辦得認真，內容有趣。有一位劉薰宇先生，他是位數學家，寫過許多通俗易懂和極其有趣的數學方面的文章。我記得，我讀了他寫的關于智力測驗的文章，才知道排列和奇偶排列這些極為重要的數學概念。”

著名數學家、國家最高科學技術獎獲得者谷超豪院士說：“我很早就對數學產生了興趣，中學時期除了好好學習課本外，我還看了不少課外書。記得看了劉薰宇先生的《數學的園地》，其中有一段講述了微積分思想，從什么是速度講起。當時在學中學物理課，我自以為很懂得速度、加速度等概念，然而讀了這本書之后才發現，原來速度概念要用到微積分才能精確了解，于是對數學愈發地感興趣了。”

劉薰宇先生的這些作品與教科書不同，劉薰宇說“在嬉皮笑臉中來談點嚴肅的數學法則”（劉薰宇《科學小品和我》），這樣的寫法很得著名藝術家豐子愷的稱贊。

好友李異鳴先生從孔夫子舊書網購得劉薰宇先生的《馬先生談算學》《數學趣味》《數學的園地》《因數和因式》套書。2020年春節，新冠肺炎疫情蔓延，待家防護，捧讀大師這四本著作，仿佛和大師做了一番月余的長談。“數學很難，數學很枯燥，數學很重要”，這是很多中小學生的內心獨白。今天，我要向所有的中小學生推薦這套叢書，這套叢書能夠讓人感知數學知識可以是有趣的，也應該是有趣的，學習數學知識并不是苦差事。好書永遠有生命力，劉薰宇先生的這套叢書就是好書，一代代人讀，啟迪智慧，開創未來。

北京市第八十中學 楊根深

2020年4月