2.4　RL電路的暫態過程

電機、電磁鐵、電磁繼電器等電磁元器件都可等效為RL的串聯電路。因為L是儲能元件，所以RL電路在換路時也可能會產生暫態過程。

2.4.1　RL電路的零輸入響應

在圖2.8所示的RL電路中，換路前開關合在1端，電路已處于穩態。時將開關由1合到2，產生換路。換路后，電路的電源激勵為零，在電感的初始儲能的作用下，電路將產生零輸入響應。

根據換路定則可知，電感中電流的初始值為

換路后電路的KVL方程

上式與RC電路的零輸入響應的微分方程形式相同，參照式（2.2）的解法及結果，可得

代入初始條件，即，則。

所以，電路中微分方程的解為

由此可得，電感上電流的衰減規律與電容上電壓的衰減規律是相同的，都是隨時間按指數規律變化的。波形如圖2.9所示，由初始值I0按指數規律變化到新的穩態值0，變化的速度取決于時間常數。由式（2.19）可知，RL電路的時間常數為

當電阻的單位為Ω（歐姆），電感的單位為H（亨利）時，的單位是s（秒）。

的大小決定了過渡過程的快慢，即暫態過程的長短。越大，和衰減得越慢，暫態過程越長。當經過了一個后，衰減為初始值的36.8%，即

理論上，當趨近于∞時，電路才達到新的穩定狀態；而實際上，經過后，就可以認為過渡過程結束，電路已達到新的穩定狀態了。

在圖2.8所示的一階RL電路中，我們已求得電感電流的初始值，穩態值，時間常數，代入三要素法的一般式中，可得

可以看出，用三要素法求得的暫態響應與用經典法得到的式（2.19）相同。因此一階RL電路的暫態響應也可以用三要素法求解。在一階RL電路中，時間常數，式中是換路后的電路中從電感元件兩端看進去的無源二端網絡（將理想電壓源短路，理想電流源開路）的等效電阻。

根據元件特性，可求出如圖2.8所示電路中電感電壓的變化規律，即

的波形圖如圖2.9所示。

可以用RL串聯電路作為線圈的電路模型，在圖2.8中，若用開關將線圈從電源斷開而未加以短路，這時由于電流變化率很大，因此將在線圈兩端產生非常大的感應電動勢，這個感應電動勢可能將開關兩個觸點間的空氣擊穿而造成電弧以延續電流的流動，這種現象可能會造成設備的損壞和人員的傷害。所以，在將線圈從電源斷開的同時，必須將其短路或接入一個低值泄放電阻。此泄放電阻的數值不宜過大，否則，在換路的瞬間將在線圈兩端感應出過高電壓。如果在線圈兩端原來接著電壓表（其內阻很大），在開關斷開前必須先將其去掉，以免引起過電壓而損壞電表。

〖例2.4〗圖2.10所示為直流電機的勵磁電路。已知：U=220V，L=10H，，，R'=1kΩ。開關斷開電源時與泄放電阻接通。求：（1）負載兩端的初始電壓。（2）多大時，能保證不超過其額定電壓220V？（3）寫出時的表達式。（4）根據（2）中所選的，開關接通后多長時間，線圈才能將所儲存的能量釋放掉95%？

解：（1）

時，負載兩端電壓大小為在和上產生的壓降之和。

（2）如果使不超過220V，則

得　

（3）

（4）設磁能泄放掉95%時的為，則

代入表達式，得

2.4.2　RL電路的零狀態響應

電路如圖2.11所示。換路前，電感沒有初始儲能，所以，電感電流的初始值為

換路后開關閉合，電路達到新的穩態時，電流的穩態值為

電路的時間常數，根據三要素法的一般式，可得出RL電路的零狀態響應為

從上式中可以看出，iL也是由穩態分量和暫態分量兩部分疊加而成的。其變化的速度依然取決于時間常數。波形如圖2.12（a）所示。

根據（2.23）和電路的基本定律，可求得電路中時，電感元件和電阻元件兩端的電壓為

它們的波形圖如2.12（b）所示。

2.4.3　RL電路的全響應

圖2.13所示的RL串聯電路中，電源電壓為U，為t=0時，開關閉合。

換路前，電路已處于穩態，電感電流的初始值為

換路后，開關閉合，電路達到新的穩態時，電感電流的穩態值為

電路的時間常數，將初始值、穩態值和時間常數代入三要素法的公式中，可得

可見，全響應的結果為零輸入和零狀態響應的疊加。

與RC電路一樣，在分析復雜一些的RL電路的暫態過程時，可應用戴維南定理，將電感支路以外的部分電路做戴維南等效，簡化電路的結構后，再進行電路分析。

【思考與練習】

2-4-1　圖2.14所示的電路中，與R、L線圈并聯的是一個二極管。設二極管的正向電阻為零，反向電阻為無窮大。試問：二極管在此起何作用？