第二節 看我凹造型！——變化多樣的七巧板

第60屆國際數學奧林匹克競賽（IMO），于2019年7月16日至17日在英國巴斯大學舉行。中國隊有6名高中選手獲得金牌，其中有2名選手榮獲極高的42分，6人總分為227分，與美國參賽隊并列冠軍。值得關注的是，6名美國參賽選手中有5名是華裔，包括領隊和副領隊。而加拿大隊中，同樣出現了5名華裔。此外，國際學生評估項目曾對全球50萬名學生進行測試。在評估結果中，來自中國的孩子的數學成績遙遙領先。

為什么中國人學數學這么厲害呢？原因肯定是多方面的。這一節要講其中一個重要原因——中國人從很小的時候開始，就在有意無意地培養“數學思維”。大部分的中國孩子都曾玩過“七巧板”“華容道”“九連環”等玩具，它們被譽為“中國古典智力游戲三絕”，都包含著極為豐富的數學原理。比如，用七巧板可以拼出多少個多邊形，便是一道由兩位中國數學家通過精妙計算后解決的數學問題。又如，解開九連環的步數和環數之間，存在可以參考的數學公式。這里我們重點探究一下七巧板的趣味。

七巧板是中國最古老的智力游戲之一

七巧板又稱“智慧版”“益智圖”“七巧圖”“唐圖”，是一種由7塊板組拼而成的益智玩具，也是一種歷史悠久、名揚全球的玩具。

相傳七巧板已有數千年的歷史，在世界各地、各民族中廣泛流行。在我國西周時期，七巧板的祖先“五巧板”，就有幫助周公認識世界即“周公問矩”的故事，在之后的歷史中關于七巧板的故事也很多，這里略去不提。歐洲也曾為之瘋狂，在歐洲歷史上留下了許多故事。據說曾經顯赫一時的法國皇帝拿破侖·波拿巴在滑鐵盧戰役失敗后，被流放到大西洋的一個島嶼上，成了七巧板游戲的狂熱愛好者，七巧板智慧游戲陪他度過了他的流放生涯。

七巧板是由7塊板組成的，完整的圖案為一個正方形：5塊等腰直角三角形（2塊小三角形、1塊中三角形和2塊大三角形）、1塊正方形和1塊平行四邊形。

你相信嗎？只要放飛想象力，就可以利用七巧板拼組出一個極其精彩的世界。小小的7塊板，為什么會有這么驚人的表現力？它有什么特別之處？它所蘊含的世界的秘密是什么？

1.試試你的巧手，動手做一做傳統七巧板

使用一個正方形作為底板制作的七巧板，是商店里常見的類型，所以制作方法相對簡單。如圖所示：

第一步，找一塊結實耐用的正方形厚紙板（或者用木板，不太適合自己做，可以請木工師傅幫忙做），進行劃分；

第二步，畫出正方形ABCD的2條對角線AC和BD，相交于G；

第三步，找到BC邊和DC邊的中點并連接成線，與對角線AC相交于K；

第四步，過K點做BC的平行線，與對角線BD相交于H；

第五步，從E向對角線BD作垂線相交于L。

在上面形成的圖形中，CK為虛線（不能切開），沿著其他線剪切開就是一副七巧板了：2個大三角形、1個中三角形、2個小三角形、1個正方形和1個平行四邊形。還可以給它們涂上不同的顏色（按照這種方法可以多做幾副備用）。

七巧板拼圖游戲的規則

規則一：在拼組七巧板的時候，所有的組件都必須用到，而且只能使用7個組件排列（下文講到的用2副甚至多副的除外）；

規則二：7個組件不能重疊，可以邊邊相接，也可以角邊相接，所以，無論拼組成哪種圖形，總面積一定相等。

七巧板拼圖的玩法

一般有三種情況：

第一種，按照圖形拼組出答案；

第二種，根據圖形找出一種或一種以上的拼組方法；

第三種，也是最多、最有趣的玩法，根據自己的想象創造出新的玩法。

七巧板拼圖的玩法本身就是一種非常特別、很有個性的游戲，每個人完全可以腦洞大開，展開自己的想象力，創造出與眾不同的玩法。

知道了七巧板拼圖游戲的規則和一般玩法后，我們就來體驗一下吧！

練習：玩轉七巧板

照著下面這些圖形試一試：

（1）實物類

房子

帆船

茶壺

飛機

高跟鞋

花瓶

火箭

橋

（2）動物類

烏龜

兔子

牛

狐貍

驢

海豹

狗

鴨子

（3）人物類

走

坐

踢球

跑

敬茶

滑冰

跳舞

（4）數字類

2.制作升級七巧板

接下來，難度升級，運用兩個大小完全相同的正方形底板，制作一副更大的七巧板。你需要對兩個正方形進行劃分，如圖所示：

第一步，在第一個正方形ABCD中，任意畫出2條對角線，AC或者BD；

第二步，在另一個正方形EFGH中，量取EH的中點L和GH的中點K，分別畫出平行于四條邊的直線，相交點為中心I；

第三步，量取EF的中點J，并與和EH的中點L相連；

第四步，畫線連接FI和GI。

第一個正方形ABCD：照著對角線，將正方形ABCD剪成2個等邊三角形。

另一個正方形EFGH：沿著畫好的實線，以任意次序將這個正方形剪成5個小塊。

2個三角形，5個小塊，合二為一，便組成了一副標準的七巧板。

3.探索七巧板，發現它的數學奧秘

標準的七巧板是由規則的三角形、正方形、平行四邊形等規則多邊形組成的。其中，七巧板的“七”在數學上被稱為“素數”，即不能分為對稱的兩半。但就是這樣一個由直線圍成、沒什么變化和曲線美的七巧板，卻能通過拼接，組成無數優美的藝術圖案。產生這種效果的原因就在于，制作七巧板時對正方形的巧妙分割方式。

第一個數學奧秘：等差的邊長

在兩次制作七巧板的經驗幫助下，相信你很容易理解，如果把剪下來的最小正方形的邊長設定為單位1，那么，七巧板其他幾個小塊的邊長就只會出現以下4種數值：單位1，單位√2（≈1.4），單位2，單位2√2（≈2.8），這四個長度之間近似形成了1.4-1=0.4，2-1.4=0.6；2.8-2=0.8，三個均勻遞增的臺階，如圖所示。這便是七巧板潛藏的數學奧秘之一：等差數列。

七巧板中4種邊長長度之間的關系

第二個數學奧秘：成比例的角度

在兩次制作七巧板的經驗幫助下，相信你很容易發現，七巧板的組成包括2個大三角形、1個中三角形、2個小三角形，共5個三角形，并且他們都是等腰直角三角形。另外，剩下的2個圖形中，其中一個是正方形，一個是邊長為1∶√2（≈1.4）的平行四邊形。因此，可以判斷出，它們的內角角度都是45°的整數倍——針對三角形而言，有一個直角（2×45°），一共兩個45°；針對正方形而言，4個角都是直角（2×45°）；針對平行四邊形而言，2個角是45°，2個是135°（3×45°）。很明顯，七巧板的7個拼板的所有內角之間，形成了45°∶90°∶135°=1∶2∶3。這樣成比例的關系，是能拼接出各色圖形的另一個數學基礎。

第三個數學奧秘：成比例的面積

在兩次制作七巧板的經驗幫助下，相信你很容易發現，如果假設下面的4個小方格的面積為單位1，那么，小三角形的面積為；中三角形和平行四邊形的面積則與4個小方格面積相同，為單位1，因為它們都可以由2個相同的小三角形構成；可以由8個小方格（1個正方形和2個小三角形，或者1個平行四邊形和2個小三角形，或者4個小三角形）組成的大三角形，面積都是單位2，如圖所示。于是，不難得出以下結論：一副標準的七巧板可以被當成通過16個小三角形（1+1+1×2+1×2+1×2+2×4=16）構成，總面積是單位。這意味著，7塊組成部分中，小三角形的面積：正方形（中三角形、平行四邊形）的面積：大三角形的面積：一副七巧板的面積=1∶2∶4∶8。這樣成比例的關系，是讓各小塊能互相替換、排列組合創造條件的第三個數學基礎。

七巧板可以分成大小均等的16個三角形

將七巧板像下圖一樣，畫在小方格紙上。從圖畫上，我們很容易觀察到，三角形的直角邊均與小方格紙上的橫、縱坐標線相交，而且都是小方格的整數倍；三角形的斜邊正好是小方格的對角線。在數學上，這種三角形的直角邊被稱為“有理邊”，而三角形的斜邊被稱為“無理邊”。

4.七巧板的悖論

上一節“我在撒謊！——荒誕無比的悖論”中，已經比較詳細地講了關于“悖論”的問題。這些發生在數學、邏輯學中的悖論，曾引起科學家們的激烈討論。而在七巧板的研究和探討過程中，人們逐漸發現它也存在著一些鮮為人知的悖論。

下圖是由4組8個七巧板構成的圖形組成，前面3組中的2個圖形，從外形上看是完全相同的。但左圖是實心，右圖要么有邊緣的缺口，要么有內部的缺失；最后一組圖均是人形，左圖的那個人有一只腳，但是右圖的那個人卻沒有。

有趣之處就在于，這8個七巧板構成的圖形，用的是同一副七巧板。那么，問題來了，到底是哪里出了問題呢？

如果你認真閱讀了七巧板所涉及的數學理論知識的講解，那么，你應該已經知道如何解答這個問題了。如果你暫時對這個問題沒有頭緒，建議你往前翻，再認真看一看，特別是關于七巧板等積變換的那部分。沒錯，類似七巧板悖論，產生的根源都是等積變換。

接下來，我們以最后一組的兩個小人為例，詳細講解一下產生這種悖論的過程。假設左圖的小人為A，右圖的小人為B，小人A和小人B有看起來相似的外形，但是他們的內部構造（七巧板拼法）完全不同。小人A的身體只用了七巧板中的6塊，其中最小的那個小三角形成了他的腳；小人B的身體卻將七巧板的7塊都用了，因此他沒有腳。所以，小人A和小人B雖然看起來很像，但是有胖瘦的區別——請認真看，小人A要更瘦、更矮一些，而小人B要更胖、更高一些。這些區別非常細微，容易造成視覺上的錯覺，一眼看過去還以為一模一樣，讓人覺得不可思議。

相信通過解說，其他3組七巧板悖論的奧秘，你已經能夠自己找到答案了。

【小游戲，考考你】

這些都是七巧板的杰作嗎？七巧板因為7個組塊的特性，可以拼接出許多有趣的圖形，也由于以上特性，決定了它拼出的圖形都是有跡可循的。

請你判斷，下面10個圖形中，哪些圖形是可以用七巧板拼出來的？哪些是不可以拼出來的？

這個游戲鍛煉的是數學中的空間思維能力，當然，為了更好、更快地尋找答案，你可以把我們一起制作的七巧板，拿來當作解題道具，花一點時間，花一點心思，你一定能發現游戲的秘密。

還是我來公布答案吧，只有這一個圖形無法拼出來，其他都可以。

20世紀80年代，系列小說《狄仁杰斷案傳奇》中的《鐵釘案》，講了一個武師是一位拼七巧板的高手，他在被人毒死前，為了把兇手告訴他人，便用七巧板擺了一個圖形。神探狄仁杰破解了這個七巧板圖案，成功地查到了兇手。小說的熱銷使人們對七巧板的熱情也被帶動起來，在一些專家的努力下七巧板這一古老的游戲重新煥發了活力，而且成為很多青少年喜愛的一種益智活動。

如今，隨著傳統游戲回歸現實生活，七巧板也越來越為人們喜歡。成年人把它當作減壓的工具，很多中學生也通過玩七巧板來為自己煩悶的學習生活減壓，有的學校還開展了團隊七巧板活動，讓許多人感覺玩七巧板使學習生活輕松了許多，大腦也變靈活了。總之，常玩七巧板，可以讓中小學生從繁重的題海中解脫出來，調節他們的心理狀態，有益于身心健康，使大腦越來越聰明。

5.現代智力七巧板

隨著科技的進步和時代的發展，在傳統七巧板基礎上引用了現代高等數學的幾何學、拓樸學和線性規劃原理設計了現代“智力七巧板”，又稱“現代智力七巧板”，由7塊不規則板塊構成：圓、半圓、三角形、梯形、直角板、圓、不規則圖形（又稱大板）。

現代智力七巧板

練習：

（1）按照下面的圖案拼一拼：

（2）用現代智力七巧板完成下面的拼圖，并標出連接線。

要求：

7塊板都要用上；

每塊板必須平放；

每塊板不能重復。

汽車

競走

飛機

（3）分解：用七巧板組拼下圖，并在圖案上畫出分解線。

坐在草地上的姑娘

踢球

人

金魚

滑梯