2.4.2　利用割圓術求解圓周率

通過加減乘除的運算迭代求得某數的N次方根，這是意義非凡的數學成就，因為N次方程式據此可以計算出明確的方根數值，從而一舉奠定了代數學的堅實基礎。同時，結合“勾三股四弦五”的勾股定理，能夠使用開平方運算求得直角三角形的斜邊長。假設直角三角形的兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，則有方程式a²+b²=c² ，由此得到。已知a和b的長度，便能根據牛頓迭代法計算斜邊的長度。不要小看勾股定理及其算法，利用它不但能開展三角函數運算，還能進一步求出圓周率π的數值。

眾所周知，圓周率π是一個無限不循環小數，數學課本上給出的π近似值有3.14和3.1416兩個，它跟勾股定理有什么關系呢？此事說來話長，早在上古時期的中國，人們就認為圓的周長與直徑存在比例關系，當時成書的《周髀算經》中明確記載“圓徑一而周三”，即圓的周長是直徑的三倍（π=3）。后來于漢朝成書的《九章算術》沿用了《周髀算經》里“徑一周三”的說法，當然這個估算的圓周率很不精確，三國時期的劉徽就發現“徑一周三”只適用于圓的內接正六邊形，具體情況如圖2-4所示。

顯然正六邊形的每條邊長外圍還有一段彎曲的圓弧，六段圓弧構成了整個圓圈的周長，由于每段圓弧都比拉直的各邊要長，因此圓周必然大于正六邊形的周長，也就是說圓周率應當比數字3大一些。為了計算出精確的圓周率，劉徽在《九章算術注》中提出了著名的“割圓術”，從圓的內接正六邊形開始，依次往外去割正十二邊形、正二十四邊形等，隨著正N邊形的邊數增加，正N邊形的周長越來越接近圓的周長。正所謂“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！睘榱烁庇^地理解割圓術的精妙，來看圖2-5所示的圓圈及其內接正六邊形、內接正十二邊形的形狀組合。

圖2-4　圓及其內接正六邊形的周長

圖2-5　圓的內接正六邊形與內接正十二邊形

由圖2-5可見，內接正十二邊形的周長更加接近圓周，從而表明割圓術的理論是正確的。不過內接正十二邊形的邊長該如何計算呢？這個問題必須解決，因為只有求得正N邊形的邊長，才能通過式子“正N邊形的邊長*邊數/直徑”計算出圓周率的近似值。由于內接正六邊形的邊長剛好等于圓的半徑，因此不妨借助于正六邊形計算正十二邊形的邊長。假定圓心為O點，內接正六邊形的某條邊為AB，且線段AB的兩個端點都位于圓圈之上。接著在O點做AB的垂線，且垂線與圓圈相交于C點，與AB相交于D點，此時各點的分布情況如圖2-6所示。

圖2-6　圓的內接正十二邊形的邊長計算

然后分別連接AC兩點與BC兩點，可見線段AC和BC構成了內接正十二邊形的兩條邊長，于是正十二邊形的邊長解法就變成了計算AC或BC的長度。假設圓的半徑長度為r，則線段OA、OB、AB的長度均為r，同時因為垂線OD將三角形OAB二等分，所以線段AD與BD各為AB的一半長即。在直角三角形ODB中，根據勾股定理可知OB²=BD²+OD²，求得，進一步求得線段CD的長度：。注意到CDB三點依舊構成直角三角形，那么由勾股定理可得BC²=BD²+CD²，于是得到線段BC的長度：。倘若r值為1，求得內接正十二邊形的邊長，此時正十二邊形的周長≈0.5176×12=≈6.212，將這個周長除以圓的直徑長度2，可得正十二邊形對應的圓周率π=6.212/2=3.106。顯而易見，內接正十二邊形的3.106要優于正六邊形的3，要是繼續割到內接正二十四邊形，正二十四邊形對應的圓周率又會比正十二邊形更逼近真實的π值。

上述求解內接正十二邊形邊長的辦法同樣適用于正二十四邊形、正四十八邊形等，中心思想是先二等分每條邊對應的等腰三角形，再連續運用勾股定理依次求得直角三角形的各邊長，進而計算出內接正N邊形的邊長數值。如此每迭代一次運算，正N邊形的邊數就翻倍，反復迭代多次之后，內接正N邊形就越來越趨向于圓圈，相應的圓周率數值也越來越精確。

當年劉徽從圓的內接正六邊形開始，一直割到內接正192邊形，并求得圓周率的近似值為3.14。但他拿官方的度量衡標準容器一驗證，發現3.14還是偏小，于是繼續往上一路割到圓的內接正3072邊形，終于求出此時的圓周率值為3.1416。為了計算準確的圓周率數值，古今中外的眾多數學家窮盡智慧，紛紛各顯神通謀劃圓周，知名的數學家除了劉徽外，還包括東漢數學家張衡、南北朝數學家祖沖之以及古希臘數學家阿基米德、印度數學家阿耶波多、波斯數學家花拉子米、意大利數學家斐波那契、阿拉伯數學家卡西、德國數學家魯道夫、英國數學家牛頓和梅欽等，真可謂“圓周率如此多嬌，引無數天才競折腰”。他們各自推導的圓周率精度見表2-2。

表2-2　古代數學家計算的圓周率紀錄

這些數學家中的佼佼者便是祖沖之，他在劉徽開創的割圓術的基礎上，首次將圓周率推導至小數點后7位，即π值位于3.1415926和3.1415927之間，并且該紀錄保持了近千年才被打破。為了便于日常運算，祖沖之還給出了圓周率的兩個分數形式，其中22/7精確到小數點后兩位，被稱作“約率”；另一個355/113精確到小數點后7位，被稱作“密率”，用于日常生活中的圓周、圓面積、球體積等運算已綽綽有余。

如今來到計算機時代，初學者只要利用割圓術的算法，結合編程語言的四則運算與數學函數，即可不費吹灰之力輕松求得較精確的圓周率值。仍從圓的內接正六邊形開始，依次切割正十二邊形、正二十四邊形直至正三千零七十二邊形，每次切割都根據勾股定理計算出直角三角形的各邊長，且每次迭代過程編寫的算法代碼一模一樣，后續迭代只需將首次的迭代代碼復制粘貼一遍就行，具體的實現示例代碼如下（完整代碼見本章源碼的src\com\arithmetic\Yuanzhoulv.java）：

// 假設圓的半徑r=1，則直徑d=2，內接正六邊形的邊長=1
int r=1;  // 半徑
long edgeNumber=6L;  // 從正六邊形開始內接圓
double edgeLength=r;  // 內接正n邊形的邊長（初始值為正六邊形的邊長）
double π=edgeLength * edgeNumber / (2*r);  // 圓周率
System.out.println("正n邊形的邊數="+edgeNumber+"，圓周率="+π);
double gou;  // 直角三角形中長度最短的邊，稱作“勾”
double gu;  // 直角三角形中長度居中的邊，稱作“股”
// 以下計算內接圓的正十二邊形
edgeNumber=edgeNumber*2;  // 正n邊形的邊數乘2
gou=edgeLength/2.0;  // 計算勾
gu=r - Math.sqrt(Math.pow(r,2) - Math.pow(gou,2));  // 計算股
// 通過勾股定理求斜邊長（勾三股四弦五），斜邊長也是新正n邊形的邊長
edgeLength=Math.sqrt(Math.pow(gou,2) + Math.pow(gu,2));
// 正n邊形的周長除以直徑，即可得到近似的圓周率數值
π=edgeLength * edgeNumber / (2*r);
System.out.println("正n邊形的邊數="+edgeNumber+"，圓周率="+π);
// 以下計算內接圓的正二十四邊形
edgeNumber=edgeNumber*2;  // 正n邊形的邊數乘2
gou=edgeLength/2.0;  // 計算勾
gu=r - Math.sqrt(Math.pow(r,2) - Math.pow(gou,2));  // 計算股
// 通過勾股定理求斜邊長（勾三股四弦五），斜邊長也是新正n邊形的邊長
edgeLength=Math.sqrt(Math.pow(gou,2) + Math.pow(gu,2));
// 正n邊形的周長除以直徑，即可得到近似的圓周率數值
π=edgeLength * edgeNumber / (2*r);
System.out.println("正n邊形的邊數="+edgeNumber+"，圓周率="+π);
// 此處省略正四十八邊形、正九十六邊形直到正三千零七十二邊形的代碼

運行以上的圓周率求解代碼，觀察到的輸出日志如下：

正n邊形的邊數=6，圓周率=3.0
正n邊形的邊數=12，圓周率=3.105828541230249
正n邊形的邊數=24，圓周率=3.1326286132812378
正n邊形的邊數=48，圓周率=3.1393502030468667
正n邊形的邊數=96，圓周率=3.14103195089051
正n邊形的邊數=192，圓周率=3.1414524722854624
正n邊形的邊數=384，圓周率=3.141557607911858
正n邊形的邊數=768，圓周率=3.1415838921483186
正n邊形的邊數=1536，圓周率=3.1415904632280505
正n邊形的邊數=3072，圓周率=3.1415921059992717

可見隨著內接正N邊形的邊數增加，求得的圓周率精度越來越高，當n=96的時候，圓周率精確到了3.14，當n=3072的時候，圓周率精確到了小數點后6位。從程序的運行結果可知，史書記載的劉徽割圓之事所言非虛。