為什么富士山給人以美的享受

指數(shù)函數(shù)會(huì)“爆炸”嗎？

“黃金比例”和“白銀比例”都是人類(lèi)覺(jué)得美和協(xié)調(diào)的比例。黃金比例是1:約1.6。比如，國(guó)旗和名片的橫豎都是這個(gè)比例。而白銀比例是（約1.4），A版和B版復(fù)印紙橫豎都是這個(gè)比例。

有時(shí)翻看富士山的寫(xiě)真集，我的目光就會(huì)被釘在某張照片上無(wú)法移開(kāi)。因?yàn)楦皇可胶偷褂吃诤娴牡惯^(guò)來(lái)的富士山，上下左右都完美地對(duì)稱(chēng)著。那山脊的弧線似乎在對(duì)我深情地傾訴——

仔細(xì)觀察，就會(huì)覺(jué)得那弧線似乎跟指數(shù)函數(shù)“y＝ex”的圖像有一部分是重合的。

指數(shù)函數(shù)可以用來(lái)說(shuō)明各種各樣的自然現(xiàn)象。其圖像特征是從與x軸無(wú)限接近平行的狀態(tài)開(kāi)始，之后發(fā)生急劇變化，最后無(wú)限接近與x軸垂直的形狀。

指數(shù)函數(shù)的縮寫(xiě)是“exp”，是取了“exponentia（指數(shù)）”的前三個(gè)字母。看到這個(gè)縮寫(xiě)，我不由得想起以同樣三個(gè)字母開(kāi)頭的一個(gè)單詞“explosion”（爆炸）。因?yàn)椤皬哪骋粋€(gè)點(diǎn)開(kāi)始數(shù)值發(fā)生爆炸性的變化”正是指數(shù)函數(shù)的特征。

詳細(xì)內(nèi)容會(huì)在第109頁(yè)介紹，現(xiàn)在請(qǐng)大家思考一下發(fā)生在我們身邊關(guān)于洗澡水變冷的現(xiàn)象。熱茶和肉包子也是如此，接觸到外面空氣的瞬間，溫度開(kāi)始急劇下降，可當(dāng)接近室溫時(shí)，這種變化就放緩了。如果將溫度變化的樣子畫(huà)成圖表，就會(huì)畫(huà)出先前指數(shù)函數(shù)的曲線。

發(fā)現(xiàn)富士山山脊和指數(shù)函數(shù)的曲線相重合后，我又將目光投向了葛飾北齋畫(huà)的《富岳三十六景》。其中的《神奈川沖浪里》是人們談起黃金比例時(shí)屢屢言及的作品，北齋畫(huà)中描繪的波浪形狀跟“斐波納奇數(shù)列（黃金分割數(shù)列）”（1，1，2，3，5，8，13，…，像這樣相鄰兩項(xiàng)的和等于下一項(xiàng)的數(shù)列）中衍生出來(lái)的“螺旋”非常接近，因此畫(huà)面整體呈現(xiàn)出黃金比例。

我并不認(rèn)為北齋懂得數(shù)學(xué)知識(shí)，只是這位藝術(shù)家能畫(huà)出從數(shù)學(xué)角度欣賞也很美的畫(huà)作，那么在這個(gè)畫(huà)著富士山的系列作品中，出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的曲線也就不是什么奇怪的事了。

仔細(xì)一看，還真有了發(fā)現(xiàn)。《凱風(fēng)快晴》這幅作品中描繪的山脊就跟“y＝ex”的圖像展現(xiàn)出完美的一致。

想必有人會(huì)認(rèn)為，既然山脊本身就是指數(shù)函數(shù)的曲線，描繪它的畫(huà)呈現(xiàn)出同樣的曲線可不就是理所當(dāng)然的嘛。

但是北齋不可能拍下照片去臨摹。歸根結(jié)底，他還是根據(jù)自己的感性這面濾鏡去把握富士山的美，然后再親手一點(diǎn)點(diǎn)描繪出來(lái)。

畫(huà)作居然與數(shù)學(xué)意義上的曲線完全一致，這真讓人驚嘆不已。

聯(lián)結(jié)富士山與數(shù)學(xué)的神秘?cái)?shù)字“e”

那么，創(chuàng)造出如此美妙曲線的“e”究竟是個(gè)什么樣的數(shù)字？“e”被稱(chēng)作“納皮爾常數(shù)”，源自微積分。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，微分表示“瞬間的變化”，積分表示“最終的結(jié)果”。比如說(shuō)，汽車(chē)的速度就是微分，而累計(jì)距離數(shù)值則用積分表示。想要表示時(shí)刻發(fā)生變化的樣子就不得不用到“e”這個(gè)數(shù)字。

這個(gè)“e”等于2.71828182845904523536…，是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。這樣的數(shù)字稱(chēng)為“無(wú)理數(shù)”。

順便告訴大家，無(wú)理數(shù)的伙伴中還有一位很著名的朋友，那就是圓周率“π”。“π”和“e”是數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域里非常重要的基本定數(shù)。有這兩個(gè)數(shù)字登場(chǎng)的最有名的算式要數(shù)歐拉等式——“eiπ＝- 1”。

算式中的“i”（虛數(shù)單位）也是一個(gè)不可思議的數(shù)字，它的平方等于- 1。兩個(gè)無(wú)限的無(wú)理數(shù)和虛數(shù)組合，得到的卻是“ - 1”這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的答案。

諾貝爾獎(jiǎng)得主、美國(guó)物理學(xué)家理查德·費(fèi)曼（1918—1988）稱(chēng)贊這個(gè)算式為“人類(lèi)的至寶”。

為什么富士山的山脊呈現(xiàn)出這個(gè)算式的樣子？

讓我們將話題轉(zhuǎn)回富士山。

幾乎在日本列島中心位置的火山，為什么有著可以用包含神奇的納皮爾常數(shù)的算式“y＝ex”來(lái)表示的山脊？

這意味著，富士山從某種意義上講，是在比較理想的環(huán)境下誕生的。

如果第一次噴發(fā)是在一個(gè)完全水平的地面上，同時(shí)巖漿垂直向上噴出，會(huì)變成什么樣？

我們單純考慮的話，離噴火口越近的地方就會(huì)沉積越多的巖漿，離得越遠(yuǎn)的地方沉積的量會(huì)越少。如果火山噴發(fā)能始終保持相同的態(tài)勢(shì)，巖石也均一地分散到四面八方，那么巖漿體積和距噴火口的距離之間的關(guān)系就可以用微分方程式來(lái)表示。解開(kāi)微分方程式后，得到的富士山山脊的曲線正是指數(shù)函數(shù)的圖像。

雖說(shuō)指數(shù)函數(shù)跟溫度變化等自然現(xiàn)象有著很深的關(guān)系，但現(xiàn)實(shí)中的火山噴發(fā)不可能完全按照設(shè)定的理想狀況進(jìn)行，想要得到科學(xué)實(shí)驗(yàn)中那樣的形狀更是不可想象的。

但是，富士山正是在這種與理想狀態(tài)極其接近的情況下形成的，所以富士山山脊能與純粹的數(shù)學(xué)曲線相吻合。像這樣的火山，就算縱觀全世界也找不出第二個(gè)。這樣的山存在于我的祖國(guó)，這令我非常高興。

不過(guò)，富士山山脊的弧線只是指數(shù)函數(shù)的一部分。如果無(wú)法準(zhǔn)確地想象出“y＝ex”圖像所描繪的曲線，無(wú)論怎么盯著富士山不放，也不會(huì)知道它們是一致的。數(shù)學(xué)老師經(jīng)常會(huì)徒手在黑板上畫(huà)出指數(shù)函數(shù)的圖像，但看著這種大略畫(huà)出的曲線是不會(huì)產(chǎn)生正確的想象的。

就我自身而言，以前就對(duì)“y＝ex”正確的曲線形狀怎么也看不夠。那個(gè)圖像已經(jīng)深深沁入了我的身體，正因如此，當(dāng)我看到富士山的照片時(shí)，一下就發(fā)現(xiàn)了它們?cè)跀?shù)學(xué)范疇內(nèi)的一致。

另外，像北齋這種感覺(jué)敏銳的人可能在下意識(shí)中就融合了數(shù)學(xué)的感覺(jué)。雖然他沒(méi)有專(zhuān)門(mén)學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)，不過(guò)正因?yàn)閷?duì)數(shù)學(xué)有著一種感覺(jué)，所以能感受到數(shù)學(xué)圖形的美和協(xié)調(diào)，才能在其作品中再現(xiàn)《神奈川沖浪里》中的黃金比例和《凱風(fēng)快晴》中的指數(shù)函數(shù)曲線。

如此說(shuō)來(lái)，我們?nèi)祟?lèi)可能天生就有一種本能，可以感受到數(shù)學(xué)的美和協(xié)調(diào)等帶來(lái)的快樂(lè)。學(xué)校里強(qiáng)行灌輸?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)可能是很多人的心頭之痛，但其實(shí)數(shù)學(xué)本來(lái)就是一種游戲。實(shí)際上從很久以前就有一大批數(shù)學(xué)家，他們不受誰(shuí)的命令，自己想出數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后專(zhuān)心解答。他們就是在這個(gè)過(guò)程中尋找樂(lè)趣的。

而這種感覺(jué)并不是數(shù)學(xué)家的特權(quán)。

日本人也好，外國(guó)人也罷，不管誰(shuí)看見(jiàn)富士山都會(huì)感受到它秀美的姿態(tài)吧。

每個(gè)人對(duì)美的感受各不相同，讓成千上萬(wàn)人都覺(jué)得美的東西并不多見(jiàn)。但是，擁有“y＝ex”形山脊的富士山大體是個(gè)例外，它似乎擁有讓人神魂顛倒的魅力。我認(rèn)為這是因?yàn)槲覀兩聛?lái)就有著一顆感受數(shù)學(xué)之美的心。

這座講述數(shù)學(xué)之美的山正屹立在日本。我希望越來(lái)越多的日本人能夠仰望富士山，喚醒自己那顆沉睡的“數(shù)學(xué)之心”。