4.2　量子化——舊協(xié)變方法

下面介紹玻色弦理論的量子化。將玻色弦理論量子化的方法有很多種，這些方法都是等價的。當(dāng)然，每種方法都具有一定的優(yōu)勢。通常有兩種協(xié)變方法：第一種是基于X坐標(biāo)的描述，該坐標(biāo)僅在對應(yīng)于維拉宿約束條件的福克空間上具有約束，這些約束類似于電動力學(xué)中的Gupta-Bleuler條件。第二種是現(xiàn)代協(xié)變量子化方法，該方法具有更深層次的幾何基礎(chǔ)（將在下一章介紹）。

4.2.1　對易關(guān)系及模展開

在4.1.3節(jié)的經(jīng)典協(xié)變庫侖規(guī)范中，我們利用再參量化和外爾尺度對稱性建立了與平直2-維閔氏度規(guī)等價的世界片度規(guī)。在量子理論中，必須更仔細(xì)地考慮這一過程的有效性。通過改變關(guān)于的作用量得到能量-動量張量的無跡性，外爾尺度對稱性是可靠的。一般來說，量子理論給出的結(jié)果在的跡中會出現(xiàn)異常，僅在十分特殊的情況下這種異常才不會出現(xiàn)。歷史上解決這一問題的第一個辦法是令。后來的分析表明，一個令人滿意的理論要求時空維度和基態(tài)質(zhì)量具有確定無疑的自洽性。4.1.3節(jié)中描述的光錐量子化，僅是物理近似，其中以開始，然后加上規(guī)范約束。正如我們將看到的，在質(zhì)量和時空維度上也會導(dǎo)致同樣的約束。

以最傳統(tǒng)的逼近開始，我們在量子理論中令，探討所導(dǎo)致的結(jié)果。早先已經(jīng)證明，按照這一規(guī)范，經(jīng)典弦理論動力學(xué)由作用量

描述，增補(bǔ)的輔助條件為

其對應(yīng)于，以及合適的開弦和閉弦邊界條件。的共軛動量為

是在式（4.1.65）中引入了動量流的τ分量。從經(jīng)典物理邁向量子物理的標(biāo)準(zhǔn)方法是用對易子括號替代泊松括號，即

現(xiàn)在可以把解釋為量子算符，用典型的對易關(guān)系（τ時刻）替換式（4.1.55），得

式（4.1.56）和式（4.1.57）同樣被等時算符替代：

而和有下述對易關(guān)系：

自然被解釋為諧振子的升、降算符，對應(yīng)于m的正、負(fù)。若m>0，則振子基態(tài)定義為被湮滅。實際上，處于基態(tài)的諧振子并不能完全決定弦的態(tài)，另外的自由度是質(zhì)心的動量。若m>0，一個態(tài)被湮滅，并且該態(tài)具有質(zhì)心動量，則我們稱這個態(tài)為。

與傳統(tǒng)歸一化的諧振算符相關(guān)聯(lián)：

最重要的一點是，對基態(tài)通過上升算符建立起來的福克空間不是正定的。時間分量在對易關(guān)系中有一個不平常的減號，即。因此，形如的態(tài)具有負(fù)規(guī)范，即。弦態(tài)允許的物理空間是完整的福克空間的子空間，它由確定的輔助條件來說明。為了得到合乎情理的因果理論，要求物理子空間不受負(fù)模態(tài)的影響，這個負(fù)模態(tài)就是通常所說的“幽靈”。

經(jīng)典理論的輔助條件表明，對應(yīng)于能量-動量分量和的消失，其傅里葉模給出了維拉宿生成子：

對于閉弦，也有類似的表達(dá)式。在量子理論中，是算符，所以必須解決排序問題。因為要想以交換，除非m=0，只有這種模棱兩可的排序出現(xiàn)在的表達(dá)式中。在某一時刻，如果我們沒有合理的方法解決排序問題，可以簡單地定義為下述正則序的表達(dá)式：

由于一個任意常數(shù)出現(xiàn)在式（4.2.14）中，所以必須對所有包含的公式加一個待定常數(shù)。在經(jīng)典理論中，強(qiáng)加約束的重要例子是，對弦許可的運動，必須為零。正是這個條件給出了關(guān)于質(zhì)量的公式。最樸素的量子力學(xué)模擬的要求是應(yīng)該湮滅物理態(tài)。由于正則序的模棱兩可，我們列入一個待定常數(shù)，并且物態(tài)必須滿足：

式中，為待定常數(shù)。正如我們在經(jīng)典理論中知道的，式（4.2.15）決定了弦在振蕩的初始狀態(tài)的質(zhì)量。事實上，式（4.2.15）明確了在開弦情況中，當(dāng)時有

這表明振蕩子的基態(tài)具有質(zhì)量平方-2a，而激發(fā)態(tài)具有的質(zhì)量平方比-2a大2的倍數(shù)。對于閉弦，條件給出：

閉弦基態(tài)質(zhì)量平方是開弦基態(tài)質(zhì)量平方的4倍，這一事實在第3章中已經(jīng)以另外的方法解釋過。去掉式（4.2.17）中的-8a，或等價地設(shè)定條件，得

在所有的約束方程中，這是唯一一個左-動模與右-動模耦合的方程。

在和中，和對應(yīng)于那些非零頻率的項。正如電動力學(xué)中Gupta-Bleuler條件，在經(jīng)典理論中這些項的消失是由于被量子理論替代，正頻分量要求湮滅物態(tài)，即

這充分保證了算符，對正m和負(fù)m，以合適的順序在成對的物態(tài)之間使矩陣元消失。令和為兩個物態(tài)，它們遵守式（4.2.15）和式（4.2.19）。

考慮表達(dá)式：

如果式（4.2.20）中有一項nk=0，則相應(yīng)的應(yīng)當(dāng)由代替。因為不互換（我們馬上發(fā)現(xiàn)量子異常，該異常將在對易子中導(dǎo)致c-數(shù)異常），所以式（4.2.20）的值依賴于算符的排序。由于物態(tài)條件或者厄米性，所以若對右邊的nk為正，而對左邊的nk為負(fù)，則式（4.2.20）為0。這是我們在量子水平上對經(jīng)典態(tài)的最貼近的解釋。這里的經(jīng)典態(tài)有，對允許的經(jīng)典態(tài)的弦運動，全部為零。由于的不規(guī)則對易關(guān)系，我們不可能找到全部的湮滅態(tài)。

在角動量計算中，不存在排序的歧義：

這已在式（4.1.70）至式（4.1.74）中引入。由于不存在排序的問題，它們可以毫無疑義地解釋為量子算符。使用典型的對易關(guān)系證明龐加萊代數(shù)并不困難：

事實上，由諾特流產(chǎn)生的龐加萊生成子遵從龐加萊代數(shù)。

4.2.2　維拉宿代數(shù)和物態(tài)

正如已經(jīng)解釋過的，我們構(gòu)建的具有振蕩子和的福克空間不是正定的，因為對易關(guān)系的時間分量是負(fù)度規(guī)。然而，，物態(tài)對應(yīng)的子空間滿足維拉宿條件，即。可見，在振子中～二次項。在靜止標(biāo)架中，物態(tài)將由振子的空間分量生成。這表明，計算條件給了幽靈退耦的充分機(jī)會，而二次項扮演著重要角色。對于確定的常數(shù)值和時空維數(shù)D，幽靈譜是唯一可能的。要仔細(xì)調(diào)查這件事，需要研究維拉宿代數(shù)。

我們已經(jīng)求出維拉宿代數(shù)的經(jīng)典形式，即

在先前的討論中，我們通過有效步驟，已經(jīng)在量子水平上得到式（4.1.81）。進(jìn)而，只要，從式（4.1.81）到式（4.1.82）的推導(dǎo)過程在量子力學(xué)上都是符合邏輯的，所以不存在式（4.1.82）的量子修正問題。對于的情況，式（4.1.81）中的兩個無限和的每一項都存在量子水平上無限規(guī)范序的歧義。一方面，因為這兩個無限和的每一項定義都不清晰；另一方面，由于當(dāng)時式（4.1.81）產(chǎn)生的規(guī)范序歧義僅涉及一個c-數(shù)，我們保證

成立。式中，是一個m-依賴的c-數(shù)。這個廣義代數(shù)是人所共知的維拉宿代數(shù)的中心展開，c-數(shù)是該代數(shù)的異常項。由式（4.2.26）有，，故對正m，它足以決定。通過對式（4.1.81）中兩個無限和的規(guī)范序的研究來直接計算十分棘手，而采用下面的方法比較簡單。雅可比恒等式為

對于k+n+m=0，有

令k=1，m=-(n+1)，得

依據(jù)A(1)和A(2)遞推足以確定所有的A(n)，于是A(n)的一般形式?jīng)Q定于兩個未知系數(shù)。其通解為

式中，和為常數(shù)。可以證明，式（4.2.30）的確遵守式（4.2.28）。常數(shù)能通過改變的定義而改變，而可用一個常數(shù)定義。

必須十分小心地對算符和進(jìn)行評估，以便得到修正的異常貢獻(xiàn)。確定最安全、最簡單的方法是在合適的態(tài)中計算的期望值。對于這個合適的態(tài)，最方便的選擇是振子的基態(tài)，即。對m=1，有

和中的每一項都湮滅一個零動量基態(tài)，但對于m=2，有

根據(jù)這些信息足以確定，然后可得

注意，、和生成一個封閉的子代數(shù)，沒有異常，同構(gòu)于SU(1,1)和SL(2,R)。

現(xiàn)在討論開弦，與閉弦的情況幾乎完全相同，利用一對振子和維拉宿條件進(jìn)行分析。

事實上，在第n個閉弦質(zhì)量水平上的物態(tài)可以表達(dá)為赫爾伯特空間的張量積，該空間的物態(tài)由左-動振子形成，而左-動振子除了具有約束條件式（4.2.18），還具有右-動振子形成的物態(tài)的赫爾伯特空間。左-動和右-動的物理空間等價于開弦物理空間。于是，我們不如探索負(fù)模態(tài)。

注意開弦基態(tài)的動量，如。質(zhì)量殼條件意味著。考慮第一激發(fā)態(tài)，由給出，是D-維獨立分量的極化矢量，已經(jīng)考慮約束。質(zhì)量殼條件現(xiàn)在給出了，而輔助條件意指。這一條件保留了允許的(D-1)-維極化。這些態(tài)的模由給出。若選擇矢量在(0,1)平面上，則具有（類空）極化模的(D-2)個態(tài)具有正模。換言之，如果是超光子，，則可沒有時間分量，最后的是類時的，具有負(fù)模；若，則可選為僅有時間分量，最后的是類空的，具有正模；若，則最后的正比于，具有零模。于是我們得到幽靈缺席的第一條件：

在邊界上（），矢量粒子無質(zhì)量，標(biāo)量基態(tài)是超光子。在這種情況下，的輔助條件對應(yīng)于電動力學(xué)的約束規(guī)范條件。正如電動力學(xué)的Gupta-Bleuler約束量子化，該約束保留了具有橫向極化的(D-2)個正模態(tài)，以及一個縱向的零模態(tài)。

當(dāng)時，“零態(tài)”出現(xiàn)在第一激發(fā)態(tài)，恰是無限數(shù)目的這類態(tài)的第一個。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在第一激發(fā)態(tài)，能夠通過下述考慮加以推廣。如果一個任意的態(tài)滿足條件（對m>0）及，則稱其為物態(tài)；如果一個態(tài)滿足條件，并且與所有物態(tài)正交，即

則稱其為偽態(tài)。偽態(tài)總能寫作下述形式：

式中，滿足：

事實上，式（4.2.36）中的無窮級數(shù)被截取了頂端，因為對于n3，可表達(dá)為和的迭代交易子，如～。于是，可簡單地寫出一個偽態(tài)：

式中，遵守式（4.2.37）。形如式（4.2.38）的態(tài)正交于物理態(tài)，因為：

一個偽態(tài)必須能表達(dá)為式（4.2.36）或式（4.2.38）的形式。如果是偽態(tài)，那么算符湮滅了所有的物態(tài)。由于一般物態(tài)上的唯一限制是，對m>0，它們被湮滅，這意味著，對算符，O可以寫為

式（4.2.40）與一起意味著具有如式（4.2.36）所示的表達(dá)形式。

當(dāng)既是偽態(tài)又是物態(tài)時，有

由式（4.2.36）知，這類態(tài)具有零模，因為：

這些態(tài)與所有物態(tài)（包括它們自身）正交（有時說成“真真空態(tài)”）。

考慮偽態(tài)的形式，我們可以構(gòu)造這種類型的態(tài)：

式中，是滿足和的任意態(tài)，其中可以是零動量態(tài)，或者任何物態(tài)都對有所改變的態(tài)。此外，對于偽態(tài)，態(tài)也滿足除條件之外的所有物理條件。

然而，在26-維時空中零模態(tài)的數(shù)目增加，這是在考慮偽態(tài)的下述結(jié)構(gòu)時發(fā)現(xiàn)的：

這里取，要求對m>0，有及，故。具有零模，它必須是物理的，特別是它應(yīng)該被（m>0）所湮滅。由于m3，令態(tài)湮滅，我們僅需考慮在假設(shè)條件下，是否可應(yīng)用維拉宿代數(shù)，該式給出了方程3-2γ=0，以及，這意味著γ=3/2，D=26。故當(dāng)D=26時有更多的零模態(tài)：

不同于第一個無窮大種類的零模態(tài)，式（4.2.45）的模態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)D=26時為零。形如式（2.2.44）的態(tài)的第一個例子為

式中，。這個態(tài)具有模(D-26)/2，當(dāng)D=26時模為零。當(dāng)D<26時模為負(fù)這個結(jié)論是沒有根據(jù)的，因為這不符合物態(tài)條件。

物態(tài)的負(fù)模可以構(gòu)建為D>26。在這種情況下，我們在物理譜中發(fā)現(xiàn)了幽靈。

通常的物理法則是，如果a=1和D=26或a<1和D<25，則頻譜是無幽靈的。

僅通過研究自由理論來證明D必須等于26是不可能的。其原因是，如果D=26的理論不存在幽靈，那么通過研究u=25*時振子處于基態(tài)的子空間，我們得到了D=25的理論的物理起點，它也一定不存在幽靈。我們期望證明，在這種形式的樹水平上，D=26是最自然的情況。對于D<26的情況，實際屬于26-維理論。上面的極端零模態(tài)的出現(xiàn)僅在D=26時發(fā)生，首次印證了這一點。這些十分特別的零模態(tài)具有十分重要的意義。所以，對于D=26時極端零模態(tài)的出現(xiàn)，建議該理論擴(kuò)展規(guī)范不變性，并且將其作為最有趣的研究課題。另外，零模態(tài)的無窮級數(shù)總是出現(xiàn)在時，這十分有趣。所以我們認(rèn)為，開弦基態(tài)是質(zhì)量平方為-2的超光子，第一激發(fā)態(tài)是無質(zhì)量矢量介子。

4.2.3　頂點算符

基本的開弦相互作用可看作一個過程，即單一的弦分裂成兩個，或者兩個弦結(jié)合成一個。一般地，如圖4.4（a）所示，我們可以思考弦的相互作用，其中3個參與作用的弦都沒有質(zhì)量殼。然而有意思的是，圖4.4（b）中3個弦中的一個是物理質(zhì)量殼本征態(tài)。根據(jù)圖4.4來概括敘述1的過程，其中弦態(tài)2是質(zhì)量本征態(tài)，1和可以是也可以不是質(zhì)量本征態(tài)。弦的質(zhì)量本征態(tài)的概念是量子力學(xué)概念。若我們恢復(fù)所有公式中的普朗克常數(shù)，則質(zhì)量本征態(tài)有一個寬度和一個量級的質(zhì)量平方。于是，經(jīng)典極限中弦的任何質(zhì)量本征態(tài)類似于點粒子。1的轉(zhuǎn)換過程伴隨殼態(tài)2的發(fā)射，量子態(tài)必須通過某個線性變換與量子態(tài)1相聯(lián)系，這個變換依賴于弦2的態(tài)。弦2類似于一個點，自然猜想弦是由弦1通過局域算符在弦2的端點發(fā)射出來的。局域算符通常叫作，是發(fā)射殼態(tài)2的頂點算符。這一設(shè)想導(dǎo)致我們猜想每個殼上物態(tài)都有一個頂點算符。討論頂點算符的目的不是分析相互作用，而是發(fā)展關(guān)于物態(tài)譜分析的工具。對于第3章中所講的內(nèi)容，這是有益的補(bǔ)充。為此，我們集中討論開弦。

在開弦的赫爾伯特空間中，考慮一個局域算符，令σ=0或者σ=π，在弦的端點處研究這個算符。為了便于計算，將記作。當(dāng)為弦的哈密頓量時，有

考慮算符，通過維拉宿代數(shù)，它變換為自身。如果在變量τ的任意變換下，變換為

則具有共形維數(shù)J。式（4.2.48）等價于在3.4.5節(jié)中使用的定義，算符的維度從它的兩-點函數(shù)中提取。考慮無窮小變換：

共形維數(shù)J的變換定律為

的生成變換式（4.2.49）與共同構(gòu)建了如式（4.2.51）所示的對易關(guān)系：

式（4.2.51）中包含J，所以A具有共形維數(shù)J的條件。

如果具有傅里葉形式的模展開式，即

則對于傅里葉模這一條件變?yōu)?/p>

易證這一規(guī)則與維拉宿代數(shù)和雅可比恒等式兼容。例如，根據(jù)式（4.2.53）弦坐標(biāo)具有J=0，動量算符具有J=1。稍后我們在討論法捷耶夫-波波夫幽靈時，將會看到幽靈坐標(biāo)c具有J=-1，而反幽靈坐標(biāo)b具有J=2。算符變換，如式（4.2.51）中的關(guān)于某個J的定義，是說它具有共形維數(shù)的定義，是維拉宿代數(shù)中非常“漂亮”的變換。

定義了共形維數(shù)的算符是相當(dāng)特殊的。每個算符都能展開為定義了共形維數(shù)的算符的線性組合，這絕對不是事實。對于我們當(dāng)前的任務(wù)，引入定義了共形維數(shù)的算符的作用是，它們可用來構(gòu)建新的物態(tài)。事實上，若是一個物態(tài)，（），并且具有共形維數(shù)J=1，則容易看到，故

也是一個物態(tài)。由于頂點算符與物質(zhì)本征態(tài)2的發(fā)射相聯(lián)系，因此應(yīng)把初始物態(tài)1映射到終態(tài)上，由式（4.2.54）知開弦頂點算符應(yīng)該是一個共形維算符。我們的確以另一種方法理解了開弦頂點算符乃局域算符。

頂點算符是動量為的物態(tài)在時刻τ或時的發(fā)射，或者是動量為的物態(tài)的吸收。不論發(fā)射還是吸收，必須通過一個量改變它所作用的態(tài)的動量。于是，弦的質(zhì)心坐標(biāo)必須由一個量改變它所作用的態(tài)的動量。所以，弦的質(zhì)心坐標(biāo)必須由因子組成，這里

是弦在時刻的質(zhì)心位置。在弦的背景中實現(xiàn)這一目標(biāo)的方法是在中包括一個因子。事實上，在世界片處弦吸收一個質(zhì)量本征態(tài)的動量是自然的事情，并且在時空位置處應(yīng)存在由因子修改過的波函數(shù)。如果吸收或者發(fā)射的弦除了它的動量沒有特別的量子數(shù)，則可將=簡化為一個頂點算符。規(guī)范序的表達(dá)式為

由式（4.2.55）定義。式（4.2.56）的指數(shù)不同于沒有規(guī)范序的那一類，因為和式是發(fā)散的（所以規(guī)范序在特殊情況時沒有影響）。

現(xiàn)在計算的共形維數(shù)。鑒于具有共形維數(shù)J=0，可以預(yù)期，形如，以及更一般的復(fù)合算符也具有共形維數(shù)J=0。事實上，由式（4.2.56）知，如果具有共形維數(shù)，具有共形維數(shù)，那么只要定義完好且沒有任何減損或者需要分別定義和之外的其他內(nèi)容，其積具有共形維數(shù)+。

的共形維數(shù)可由明確的振子操作來確定，只是要跟蹤順序效果。為了評價算符，我們從式（4.2.57）開始分析：

利用表達(dá)式，容易證明：

在應(yīng)用式（4.2.58）對進(jìn)行求值時［V由式（4.2.56）給定］，設(shè)m>0（關(guān)于m<0的討論，與此相同），忽視規(guī)范序的問題，容易計算式（4.2.54）在J=0時的結(jié)果（用V替代A）。然而，V被定義為規(guī)范序的表達(dá)，即，這意味著導(dǎo)數(shù)dV/dτ也是規(guī)范序。當(dāng)根據(jù)式（4.2.58）得到的表達(dá)式時，人們就成功地得到了不是規(guī)范序的表達(dá)式。在無窮項數(shù)的計算中，一個有限的數(shù)不以規(guī)范序的形式出現(xiàn)，那些特別的項對于V中上升算符的左邊具有較低的階，并且由式（4.2.59）給出：

規(guī)范序這一表達(dá)式給出了算符的貢獻(xiàn)：

于是，結(jié)果為

將式（4.2.61）與式（4.2.51）進(jìn)行比較，得。在第3章，我們通過計算其兩-點函數(shù)，計算了算符的異常維數(shù)，對閉弦得到；對于插入在邊界上的開弦得到。這里得到的與在開弦中得到的結(jié)果一致。

頂點是具有共形維數(shù)J=1的物理頂點算符。該值是由得到的。對于基態(tài)超光子的發(fā)射，它確實是合適的頂點，其質(zhì)量平方暫時定為。

在中，唯一不需要規(guī)范序的情況是，在這種情況中，J=0。條件的情況是對無質(zhì)量介子的修正，但是J=0是關(guān)于頂點算符的錯誤共形維數(shù)。因為具有共形維數(shù)1，人們可以解釋：

為頂點算符關(guān)于無質(zhì)量介子發(fā)射的極化。式（4.2.62）中和積的短距離奇點不存在，確保V具有共形維數(shù)1。具有共形維數(shù)1的頂點算符是與物態(tài)一一對應(yīng)的，此處僅是這一事實的一個例證。譜中其他態(tài)的頂點算符更加復(fù)雜。對于具有的態(tài)，其普遍形式是，這里的微分的總數(shù)添加到n中。但是，存在附加的限制，即J=1。

零模態(tài)的頂點算符的描述如下：假設(shè)是共形維數(shù)為0的算符，包含因子，則具有共形維數(shù)1。若選=具有，則對于具有縱向極化的無質(zhì)量矢量介子的發(fā)射，可被視作頂點算符。跳過前面的風(fēng)險，我們注意到零模態(tài)退耦的理由是，V作為的一個總導(dǎo)數(shù)，如同式（4.2.54）中的零頻分量，映射物態(tài)到物態(tài)上而消失。作為進(jìn)一步的例證，考慮第二激發(fā)能級的發(fā)射頂點，態(tài)具有。因子具有共形維數(shù)，所以

具有共形維數(shù)，在式（4.2.63）的算符積提供了沒有短距離奇點的情況。有人會想，在同樣質(zhì)量水平上，自旋為1、極化為的物態(tài)制造一個頂點算符是可能的。然而，若，則總導(dǎo)數(shù)

描述了零模態(tài)的發(fā)射，且視作(D-1)-維的Y的可能分量。因此，這些Y的分量不同于式（4.2.63）的表達(dá)。