4.1　經(jīng)典玻色弦

首先回顧點(diǎn)粒子。在經(jīng)典力學(xué)中，點(diǎn)粒子的拉格朗日量為

系統(tǒng)的作用量S及其變分為

所以。通過(guò)分部積分法可得歐拉-拉格朗日方程為

將L的表達(dá)式代入歐拉-拉格朗日方程，可得牛頓運(yùn)動(dòng)定律，即

顯然，系統(tǒng)的動(dòng)量和哈密頓量分別為

而坐標(biāo)和動(dòng)量的泊松括號(hào)為

現(xiàn)在考慮質(zhì)量為m的點(diǎn)粒子在引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，即由度規(guī)描述的黎曼幾何中的運(yùn)動(dòng)。假定度規(guī)是(D-1)個(gè)正的本征值和1個(gè)負(fù)的本征值，對(duì)應(yīng)于D-維時(shí)空中的閔氏符號(hào)。這里我們使用自然單位制。

大量點(diǎn)粒子運(yùn)動(dòng)的作用量與世界線的長(zhǎng)度不變量成正比，即

不變量線元為

若經(jīng)典軌道寫(xiě)作，其中τ是任意參數(shù)，它引導(dǎo)點(diǎn)粒子沿著世界線運(yùn)動(dòng)，則式（4.1.6）可寫(xiě)作

式中，

式（4.1.8）在粒子軌跡的再參量化之下不變。因此式（4.1.8）具有粒子世界線的特性，并且與坐標(biāo)的選擇無(wú)關(guān)。然而，式（4.1.8）中的平方不適用于無(wú)質(zhì)量粒子。為此，我們引入輔助坐標(biāo)，它可解釋為世界線一維“絕對(duì)”幾何。故式（4.1.6）可用經(jīng)典等價(jià)的形式重新表達(dá)，即

比較式（4.1.8）與式（4.1.10），得

解得

這正是粒子的運(yùn)動(dòng)方程。將式（4.1.11）代入式（4.1.10），得

于是作用量的本質(zhì)被揭示出來(lái)。在當(dāng)前形式中，τ的再參量化對(duì)稱(chēng)性在下述變換下可被描述為式（4.1.10）的不變性。

式中，是依賴(lài)于τ的無(wú)窮小參數(shù)。該變換適用于無(wú)質(zhì)量粒子。進(jìn)行規(guī)范選擇e=1/m，共軛動(dòng)量為

而運(yùn)動(dòng)方程可以通常的方式得到。式（4.1.11）為約束條件，可解釋為質(zhì)量殼條件。

在量子力學(xué)中，點(diǎn)粒子的傳播可由下面的路徑積分描述：

4.1.1　弦的作用量及其對(duì)稱(chēng)性

將點(diǎn)粒子的作用量推廣到更高維度。如果考慮的對(duì)象是n-維的（在圖4.1中，n分別為0,1,2），則式（4.1.6）最明顯的推廣是它掃出不變的(n+1)-維時(shí)空體積，系數(shù)必須具有(質(zhì)量)n+1個(gè)維度。由于僅描述玻色子的自由度，所以(1+1)-維流形的內(nèi)在幾何可由度規(guī)描述。具體地，式（4.1.10）中第一項(xiàng)的推廣為

式中，和是一個(gè)n-維對(duì)象的空間坐標(biāo)；是的逆矩陣，而h是的行列式的絕對(duì)值。矩陣具有閔氏符號(hào)，故當(dāng)其本征值n為負(fù)值時(shí)，類(lèi)時(shí)；當(dāng)n為正值時(shí)，類(lèi)空。當(dāng)函數(shù)將一個(gè)“世界流形”（線、片、管）映射到物理時(shí)空時(shí)，要求Dn+1。

式（4.1.16）的幾何特性是，它獨(dú)立于坐標(biāo)的特殊選擇。是不變體積元，也不變，因?yàn)閺埩恐笜?biāo)被收縮了?，F(xiàn)在，一般具有個(gè)分量，并且有(n+1)個(gè)獨(dú)立的再參量化不變量。故n>0，h不能通過(guò)世界面的再參量化被簡(jiǎn)單地消除。然而，必須考慮到還有一個(gè)局域?qū)ΨQ(chēng)僅發(fā)生在弦（n=1）的情況下。存在一個(gè)局域外爾標(biāo)量度規(guī)：

根據(jù)式（4.1.17），有

因此，在弦的情況中借助這種額外對(duì)稱(chēng)性仍然可能消除所有的依賴(lài)。

外爾不變性至少能夠局域消除所有的依賴(lài)，這在弦理論中很重要。對(duì)于膜及更高維度的東西，存在一個(gè)突出問(wèn)題：式（4.1.16）定義了一個(gè)(n+1)-維量子場(chǎng)理論，通過(guò)權(quán)重計(jì)算，對(duì)n=1，它是重整化的；對(duì)n>1，它是非重整化的。本書(shū)后面的討論，僅考慮弦（n=1）的情況。

4.1.2　閔氏空間中的自由弦

上文中為了探討弦在一般時(shí)空中的傳播而建立了作用量式（4.1.16），本章濃縮了閔氏空間，將式（4.1.16）簡(jiǎn)化到閔氏空間中為

式中，坐標(biāo)σ的范圍為0σπ。即使在平面背景中，我們也能夠?qū)κ剑?.1.19）添加額外項(xiàng)。額外項(xiàng)可能與D-維龐加萊不變量兼容，并且具有冪次計(jì)算可重整化的2-維理論：

S1是2-維宇宙常數(shù)項(xiàng)，不具有S的外爾對(duì)稱(chēng)性，與S會(huì)導(dǎo)致不相同的經(jīng)典場(chǎng)方程。特別是，在關(guān)于的運(yùn)動(dòng)方程中，的跡意味著=0。如果λ不為0，則可能出現(xiàn)矛盾。表示由度規(guī)組成的世界片的內(nèi)在2-維標(biāo)量曲率。S2并不重要，因?yàn)?-維組合是總導(dǎo)數(shù)。作為結(jié)果，S2對(duì)經(jīng)典理論沒(méi)有貢獻(xiàn)。

現(xiàn)在討論式（4.1.19）的對(duì)稱(chēng)性，不管背景如何，它具有早先提及的局域?qū)ΨQ(chēng)性。下面3個(gè)式子具有再參量化不變性：

外爾縮放為

另外，存在反映背景對(duì)稱(chēng)的整體對(duì)稱(chēng)性，弦在這種對(duì)稱(chēng)的背景中傳播。對(duì)于閔氏空間，這恰是龐加萊不變性，可描述為

，是反對(duì)稱(chēng)矩陣，其中為閔氏度規(guī)。

4.1.3　經(jīng)典協(xié)變庫(kù)侖規(guī)范和場(chǎng)方程

2-維能量-動(dòng)量張量由S對(duì)2-維度規(guī)的變分導(dǎo)數(shù)給出：

我們發(fā)現(xiàn)：

由于外爾對(duì)稱(chēng)性，式（4.1.29）是自動(dòng)無(wú)跡的，。場(chǎng)方程要求。若定義，，則的消失給出了以下兩式：

于是

式（4.1.32）恰是世界片Σ的面積公式，由南部陽(yáng)一郎首次提出。3個(gè)局域?qū)ΨQ(chēng)性參數(shù)包括2個(gè)再參量化參數(shù)和1個(gè)外爾標(biāo)量（用于選擇的3個(gè)獨(dú)立元素）。于是，有2-維閔氏度規(guī)。有了這一選擇，作用量可簡(jiǎn)化為

根據(jù)最小作用量原理，由式（4.1.33）可以導(dǎo)出，這正是歐拉-拉格朗日方程，即自由弦的2-維波動(dòng)方程：

其邊界條件為。

在常規(guī)情況下，2-維時(shí)空中的無(wú)質(zhì)量波動(dòng)方程，即式（4.1.34）的通解可以寫(xiě)為

式中，描述弦的右-動(dòng)模；描述弦的左-動(dòng)模。對(duì)易關(guān)系為

式中，

在此基礎(chǔ)上，系統(tǒng)的哈密頓量取下面的簡(jiǎn)單形式：

引入世界片的“光錐坐標(biāo)”和是方便的，因?yàn)?img alt="img" class="picture_formula_line" height="19" src="https://epubservercos.yuewen.com/3B6B02/23020634201633406/epubprivate/OEBPS/Images/txt005_92.jpg?sign=1755145744-UsjqcmaUGuaAIgVgm5Zg1A9EaM3cobio-0-ad79631feab233f81543b4025b98c43c" width="23">和僅分別是關(guān)于和的函數(shù)。與共軛的導(dǎo)數(shù)由下式定義：

于是，在光錐坐標(biāo)中，閔氏世界片度規(guī)張量變?yōu)?/p>

世界片指標(biāo)的升和降分別由規(guī)則決定。

波動(dòng)方程［式（4.1.34）］仍需由約束方程補(bǔ)充。對(duì)τ的導(dǎo)數(shù)用圓點(diǎn)表示，而對(duì)σ的導(dǎo)數(shù)用上標(biāo)撇號(hào)表示，取下述形式：

式中，是關(guān)于的縮寫(xiě)。若按張量分析的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)則，在坐標(biāo)系統(tǒng)中寫(xiě)世界片能量-動(dòng)量張量，應(yīng)用式（4.1.41）和式（4.1.42），得

證明式（4.1.43）：

故式（4.1.43）成立。同理可證明式（4.1.44）成立。

由于能量-動(dòng)量張量無(wú)跡，，所以，這等價(jià)于式（4.1.42）已經(jīng)得出的結(jié)論，即。利用前面已知的事實(shí)，約束方程成為

在2-維量子場(chǎng)理論中，能量-動(dòng)量守恒定律取一般形式。而對(duì)于-+，有類(lèi)似的方程。在共形不變的情況中，，能量-動(dòng)量守恒定律簡(jiǎn)化為

這是很有分量的陳述，它對(duì)應(yīng)于一組無(wú)限的守恒量的存在。

在弦理論中，守恒量對(duì)應(yīng)于庫(kù)侖規(guī)范剩余的對(duì)稱(chēng)性。對(duì)于協(xié)變規(guī)范選擇，令，并不完全使用規(guī)范自由。鑒于此，我們使用式（4.1.23）和式（4.1.25），任何組合的再參量化和外爾縮放對(duì)于

都保留著規(guī)范選擇。組合的形式意味著和分別是任意函數(shù)和。若我們認(rèn)為世界片再參量化是由算符V=生成的，則剩余對(duì)稱(chēng)性的生成元為

由～發(fā)現(xiàn)，守恒荷正是生成式（4.1.48）的那些。寫(xiě)成式（4.1.48）的算符是2-維閔氏空間中保角變換群的生成元，僅在2-維空間中是無(wú)限維共形群。

必須考慮兩種類(lèi)型的邊界條件，分別對(duì)應(yīng)于閉弦和開(kāi)弦，如圖4.2所示。閉弦是沒(méi)有自由端點(diǎn)的圈，在拓?fù)渖系扔趫A，如圖4.2（a）所示，其合適的邊界條件恰是坐標(biāo)的周期性：

式（4.1.46）與周期性兼容的通解要求：

式中，是傅里葉分量，可理解為振蕩器坐標(biāo)；是基本長(zhǎng)度，它與和弦張量T（）相聯(lián)系：

式中，l將被設(shè)置為1。可理解為弦的坐標(biāo)和動(dòng)量。式（4.1.50）和式（4.1.51）中的歸一化常數(shù)已被選定。注意，中的線性項(xiàng)在中被取消，于是閉弦邊界條件事實(shí)上已經(jīng)被遵守。要求是實(shí)函數(shù)，意指是實(shí)數(shù)，并且是的伴隨矩陣，即

決定的泊松括號(hào)至關(guān)重要。注意，這里泊松括號(hào)用方括號(hào)，對(duì)易子用大括號(hào)。由式（4.1.52）注意到，在τ相等處的泊松括號(hào)為

式中，。式（4.1.50）和式（4.1.51）的插入表明的泊松括號(hào)為

當(dāng)以對(duì)易子替代泊松括號(hào)時(shí)，i將消失。于是，當(dāng)n≠0時(shí)傅里葉模是諧振子坐標(biāo)，如果我們采用通常的慣例，則式（4.1.56）在n=0或者m=0時(shí)依然有效。比較式（4.1.50）、式（4.1.51）與式（4.1.55），可得

因此，恰如預(yù)測(cè)的那樣，弦的質(zhì)心位置和動(dòng)量是正則共軛變量。

除必須在弦的端點(diǎn)確定適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件（如σ=0,π）之外，對(duì)于如圖4.2（b）所示的開(kāi)弦的分析類(lèi)似于上述過(guò)程。要求邊界項(xiàng)在作用量的變分中為零，對(duì)有

這正是開(kāi)弦的邊界條件，又稱(chēng)自由邊界條件，它阻止了弦的動(dòng)量在端點(diǎn)離開(kāi)。具有這些邊界條件的波動(dòng)方程的通解為

若令，則開(kāi)弦邊界條件導(dǎo)致左-動(dòng)分量和右-動(dòng)分量結(jié)合成駐波：

關(guān)于閉弦，類(lèi)似的公式為

這時(shí)左-動(dòng)模與右-動(dòng)模互相獨(dú)立。

下面考慮D-維龐加萊不變量。在2-維理論中，龐加萊變換具有簡(jiǎn)單的整體對(duì)稱(chēng)性。構(gòu)建與整體對(duì)稱(chēng)變換相關(guān)的守恒流，場(chǎng)理論中有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)程序。令為理論中的任一個(gè)場(chǎng)，為無(wú)窮小常參數(shù)?？紤]變換：

在世界片上不是常數(shù)。在這一變換下，對(duì)于一般的作用量并非不變，因?yàn)槲覀冋诳紤]的對(duì)稱(chēng)性僅是整體對(duì)稱(chēng)性。由于作用量對(duì)于常數(shù)應(yīng)該是不變量，因此其變分正比于的導(dǎo)數(shù)，所以對(duì)于流有一般形式：

當(dāng)遵守運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，作用量在任何變化［包括如式（4.1.63）所示的變化］之下都是穩(wěn)定的。因此，對(duì)任何ε都是零。僅當(dāng)時(shí)，這種情況才能發(fā)生。

應(yīng)用這一方法容易推導(dǎo)出與的龐加萊變換相關(guān)的守恒流：

式中，是與變換不變量相關(guān)聯(lián)的流；是與洛倫茲不變量相關(guān)聯(lián)的流。世界片上的動(dòng)量流穿越任一流線斷面的總量為

于是，開(kāi)弦端點(diǎn)的邊界條件為不存在動(dòng)量流出弦的端點(diǎn)，角動(dòng)量流亦然。

弦的守恒的動(dòng)量和角動(dòng)量通過(guò)處式（4.1.65）和式（4.1.66）的流遍及的積分。例如，閉弦的總動(dòng)量為

所以，弦的總動(dòng)量與零模動(dòng)量是一樣的，這也包括了開(kāi)弦?？偨莿?dòng)量為

將其代入模展開(kāi)式，得

式中，；。

用表示的有相同的表達(dá)式。通過(guò)任何類(lèi)空曲線的積分能夠得到相同的結(jié)果。

現(xiàn)在我們證明T確實(shí)是弦的張力。我們先作一個(gè)閉弦，其半徑為R，如圖4.3（a）所示，它在t=0時(shí)靜止；再在x-y平面上作一個(gè)旋轉(zhuǎn)的開(kāi)弦，如圖4.3（b）所示。令在時(shí)與弦的弧長(zhǎng)成正比，即

容易看到，對(duì)于運(yùn)動(dòng)方程式（4.1.34）及約束方程式（4.1.41）和式（4.1.42），可假設(shè)在附近成立。由式（4.1.65）看出，這樣的弦具有，進(jìn)而我們可以確信T是弦的張力。

由時(shí)空回到世界片，2-維理論的哈密頓量為

其給出：

該哈密頓量（由泊松括號(hào)）生成弦的τ演化。H無(wú)量綱，因?yàn)?span id="tm9tipa" class="emphasis_italic">τ無(wú)量綱。

現(xiàn)在考慮約束的模展開(kāi)。對(duì)閉弦，這些方程全由給出。由式（4.1.51）和式（4.1.62）知，在τ=0處展開(kāi)式具有傅里葉變換形式：

對(duì)于開(kāi)弦，需要進(jìn)行某些修改，因?yàn)?img alt="img" class="picture_formula_line" height="16" src="https://epubservercos.yuewen.com/3B6B02/23020634201633406/epubprivate/OEBPS/Images/txt005_210.jpg?sign=1755145744-E3dQTrzyOda8AAAZvByQfoT0y6A17O5Z-0-7b2f749917cb0242075013ed810ca26a" width="25">不是關(guān)于間隔的正交函數(shù)。若拓展和的定義，從間隔拓展到,，則開(kāi)弦的約束方程可以便利地描述。開(kāi)弦邊界條件為是關(guān)于的周期為2π的周期函數(shù)。約束方程相當(dāng)于在間隔內(nèi)消失，等價(jià)于下述它的傅里葉分量的消失：

要特別注意，對(duì)開(kāi)弦，H=L0；對(duì)閉弦，H=L0+。在閉弦中，組合(L0-)必須消失，不包括動(dòng)量。該組合產(chǎn)生閉弦的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，，將扮演一個(gè)重要角色。

弦在給定狀態(tài)的振動(dòng)下具有質(zhì)量平方。約束方程L0=0轉(zhuǎn)化成一個(gè)非常重要的方程，可決定弦內(nèi)部振蕩的模式。對(duì)開(kāi)弦為

對(duì)閉弦為

式（4.1.77）和式（4.1.78）分別稱(chēng)為開(kāi)弦和閉弦的質(zhì)量殼條件。質(zhì)量殼條件表示一個(gè)非相對(duì)論性的小提琴弦在它的振子坐標(biāo)下的能量。

弦的能量-動(dòng)量張量的傅里葉模和正是維拉宿算符。維拉宿算符的泊松括號(hào)可以根據(jù)各個(gè)振蕩子括號(hào)直接了當(dāng)?shù)赜?jì)算。由的定義得

利用恒等式[AB,CD]=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B，以及振子的泊松括號(hào)，該式變?yōu)?/p>

若n=0，則。式（4.1.80）簡(jiǎn)化為

改變第一個(gè)和式中的變量，式（4.1.81）可簡(jiǎn)化為維拉宿代數(shù)：

式（4.1.82）是一個(gè)關(guān)鍵的公式，其量子異常的修正稍后介紹。同樣遵守維拉宿代數(shù)。式（4.1.82）有一種簡(jiǎn)單的解釋。令θ為普通的角變量，，將其視作圓的參數(shù)，由生成的圓的無(wú)限小廣義坐標(biāo)變換為。該圓的微分同胚映射由下述算符提供：

容易看到，這些公式遵守維拉宿代數(shù)，即式（4.1.82）。于是，維拉宿代數(shù)與圓的無(wú)限小微分同胚映射代數(shù)相同。關(guān)于維拉宿代數(shù)出現(xiàn)的理由，很容易理解為在式（4.1.83）中用代替，用代替，與剩余對(duì)稱(chēng)性的生成子式（4.1.82）相一致，這種剩余對(duì)稱(chēng)性仍滿足共形規(guī)范條件。