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神秘讀心術背后的奧妙

思維自疑問和驚奇開始!

——亞里士多德

吉卜賽讀心術

愛因斯坦曾說:“人類的一切經驗和感受中,以神秘感最為美妙,這是一切真正藝術創作及科學發明的靈感源泉。”巧合最富有神秘感,而且它在生活中無處不在。下面是吉卜賽人一個古老的神秘讀心術,它能測算出你內心的感應,百試不爽,非常神奇。

讀心術是這樣的:首先,你在心中從10~99之間任意挑選一個數,并用這個數減去它自己的十位數字與個位數字之和,得到最終的數。然后,從下面給出的圖中(左圖)找出最終數對應的圖形,并把這個圖形牢記心中。最后,點擊水晶球,出現的竟然就是你剛剛在心里記下的那個圖形(右圖)!

水晶球真的能讀懂你的內心嗎,抑或僅僅是巧合?碰到如此神秘的事情,孩子的好奇心會被完全激發出來。水晶球當然不能讀懂你的內心,背后必有蹊蹺。到底是怎么回事呢?不妨再玩一次。重新點擊開始,看看會發生什么。

在看似雜亂無章的圖案中,你有沒有發現什么?如果還沒有什么發現,那么可以觀察一下下面圖形中我用紅色方框標出來的位置。這下你肯定明白了:原來在9的倍數的地方都是一樣的圖案啊!

不過,這個發現和讀心術游戲有什么關系呢?不妨隨便找幾個數來試一下(按照前面說過的方法進行計算:將這個數減去它自己的十位數字與個位數字之和,得到最終的數):

咦,最后的結果都是9的倍數啊。如果任意選一個數,按上述操作,結果都是9的倍數的話,那我們只需要事先在9的倍數的位置擺上相同圖案,在不是9的倍數的地方擺上隨機圖案,則水晶球就一定能猜出你心中所想,除非……除非你算錯了!

那為什么按上面的操作,最后的結果就是9的倍數呢?

以69為例:

69–6–9=(6×10+9)–6–9

    =6×10+9–6–9

    =6×10–6

    =6×(10–1)

    =6×9→9的倍數

那么,如果任意給一個兩位數,則:

9a為9的倍數。

9的倍數

判斷一個兩位數是否為9的倍數,只要看它的十位、個位數字之和是否為9的倍數。

對這一結論,很多小學生都知其然而不知其所以然。如果問他們,他們會回答說老師就是這么教的,從而就認為這個結論是對的。

人類文明發展了數千年,蘋果亙古不變地從樹上落下,但只有牛頓對它的合理性進行了質疑和研究,從而引領了物理學史上的第一次飛躍。生活中,也有很多我們認為理所當然而不去深究背后原因的現象。如果我們稍微發揚一下牛頓刨根問底的精神,真相也許會讓我們豁然開朗或大吃一驚。

讓我們再來觀察一下剛才的過程:

69–6–9=6×9

69=6×9+6+9

6×9一定是9的倍數,但是6+9=15不是,所以69也不是9的倍數。

45–4–5=4×9

45=4×9+4+5

4×9一定是9的倍數,而4+5=9也是9的倍數,所以45也是9的倍數。

一般來說,我們有,因此是否為9的倍數等價于(a+b)是否為9的倍數。

這個結論可以推廣到多位數,例如對于3位數

因此能不能被9整除等價于(a+b+c)能不能被9整除。

同樣,根據上面的推導,我們還有下面的推論:一個數除以9的余數與這個數的各位數字之和除以9的余數是一樣的。

如果一個數比較大,那么上面的過程還可以迭代進行。比如99999999988888888777777766666655555,各位數字之和為9×9+8×8+7×7+6×6+5×5=255。

255能被9整除嗎?我們可以重復上面的過程。

255的各位數字之和為2+5+5=12,12不能被9整除,所以255不能被9整除,進而原數99999999988888888777777766666655555不能被9整除(事實上,我們還可以繼續迭代,因為1+2=3,所以12不能被9整除)。由于12除以9的余數是3,從而255除以9的余數也是3,因此原數除以9的余數也是3。

在上面的拆分基礎上,我們可以進一步得出下面的推論:一個數能否被3整除也等價于這個數各位數字之和能否被3整除。

如果更深究一步,我們還可以推導出被11整除的數的特征:一個數能被11整除等價于這個數的奇數位與偶數位的差的絕對值能被11整除。

這里,給大家玩一個神奇的游戲:

首先,讓你的朋友選擇一個6位數x,不要讓他告訴你;然后,你讓他把x的各位數字重新排列一下,得到一個更小一點兒的數y,并把x減去y,得到(x-y)的值;

接著,你讓他將得到的這個差值乘以任意一個數,把乘積告訴你(除了其中的某一位數);

最后,出乎他的意料,你竟然能很快說出他用“?”替代的這位數是幾。

請問:在上面的例子中,你朋友告訴你的7244?1816這個結果中,“?”應該代表幾,為什么?(答案和解題思路可在作者公眾號“昍爸說數學與計算思維”中獲取)

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