數字的發明＞＞

無論是結繩，還是在骨頭、木棍上刻痕，這些計數方法只存在于遙遠的過去，在美索不達米亞平原上發現的計數方法也同樣消失在了歲月的長河中。1928年，在努茲——現今伊拉克摩蘇爾南部的一個城市，考古學家在發掘遺跡時找到了一個陶土罐，個頭比雞蛋稍稍大些，可追溯至公元前15世紀，表面帶有一些楔形文字。這些文字表示了不同的物體——48只動物，其中有公羊、綿羊、羔羊和山羊。在罐子里，考古學家們發現了相同數量的陶土做的小物件。這個容器應該和狼骨或狒狒骨上的刻痕作用一樣：用物件表示相應的動物數量。

也就是如今數學上說的一一對應關系：計算時，一根骨頭或木棍上的每一道刻痕、一小堆石子中的每一顆、一個容器中的每一個物件都對應著一個物體，反之亦然。當然，這種對應關系，比如下維斯特尼采古人在骨頭上刻下的劃痕，無法直接顯示物件的數量，呈現的只是有多少刻痕、繩結或小石子。在木棍上有序列地刻下劃痕、結繩或是在容器中放置物品，已經是一個相當抽象的符號系統了，因為它們都與被計數的事物分離，既可以表示動物數量，也可以表示借貸量或者一個月的天數。然而，距離數字這個概念的誕生，還差一步，跨越數百年之久的一步。

在努茲出土的那個文物，應該是人們在遙遠的古代所使用的東西。那可能是一個會計的陶土罐。會計在城門附近，計算牧人帶去放牧的動物數量，眼前經過多少只牲畜，就在容器里放多少個陶土物件。這些物件或是形狀各異，或是刻有不同的圖案，以對應不同的動物。這或許是一位為地主工作的會計，地主雇用牧人帶他的牲畜去城外放牧，會計負責計算牲畜數量。

可是，當牧人放牧歸來時，如何確保無人使詐呢？也許，是牧人弄丟了一只羊，或是地主在容器里多放了一個物件，以索要賠償，或是會計意圖詐騙雙方？為了防止這一切的發生，找到的解決辦法就是在陶罐外面刻上說明罐中內容的文字，然后密封陶罐。當牧人歸來時，只要打破陶罐，檢查物件數與牲畜數是否對應即可。這種方式貌似也被用來計算其他東西，如谷物、織物、餐具等。

就這樣過去了數個世紀，直到又一個“普羅米修斯”出現，他突然意識到，需要使用一個不同的符號記錄事物，而不必多次重復現用的符號來表示內容。偉大的邏輯學家伯特蘭·羅素曾寫道：“經歷了多個世紀，人們才發現兩只山雞和兩天都是數字2的例子。”當人們發現這一點時，就是數字的抽象概念誕生的宿命時刻。這一刻就發生在美索不達米亞平原的一個城市里，一位佚名會計想到可以在陶罐的表面刻上一個符號，不管計算的對象是公羊、綿羊、山羊，還是谷物，都不會影響這個符號的所指。

你們試想，用同一個抽象符號表示相同數量的動物、谷物或花瓶！“其中內涵的抽象程度實在讓人難以領悟。”羅素也發出了這樣的感慨。面對數字，我們已經習以為常，所以很難體會到這個想法所具有的重要的變革意義。在《被縛的普羅米修斯》中，埃斯庫羅斯[1]將那個宿命時刻的結果——數字稱作普羅米修斯贈予人類的最杰出的發明。這并非偶然。一旦掌握了數字的抽象概念，人們就會很快發現，比起像雞蛋一樣的圓罐，使用黏土板更方便。他們用一種裝有硬片的工具筆在黏土板上刻出數字符號，也就是我們在古巴比倫黏土板上看到的那些數字符號。

看第一眼，我們就會很明顯地注意到，一個數字產生于一個常數值的疊加總和，就像數學家們說的那樣，這種記數系統采用的是加法規則。從黏土板上，我們就可以看見這種系統究竟是如何運行的。比如，你們看看表示數字1、2、3的符號：數字2的符號重復了兩次數字1的符號，數字3則重復了三次。你們想一下，就會發現這個記數方式很眼熟。羅馬數字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ也是這樣的。

中文數字、古印度的婆羅門數字和笈多王朝[2]使用的數字，還有在大洋彼岸的瑪雅數字，都采取了同樣的方法。

總而言之，大多數的古代文明在表示前三個數字時，都采取了同樣的方式：重復表示“1”的符號一次，兩次，三次。仔細看看的話，現代的阿拉伯數字也體現了同樣的重復方式。可是，從數字4開始，所有的文明就都放棄了這種重復。從巴比倫數字黏土板上也可以看出這一點。為什么呢？你們試想一下，如果要表示數字23，需要重復排列表示“1”的符號二十三次，無論是書寫還是閱讀，都會很困難——怎么能一眼就看出它是23，而不是21或者24呢？或許存在一個更深層的原因——對一些出生幾個月的嬰孩進行試驗，結果證實人類與生俱來的數感的容量不超過三。

把這個問題留給認知心理學家深入研究吧，讓我們回到巴比倫的數字黏土板。你們會發現，從數字10開始，這個記數系統變成了十進制的，一直到數字60。回到之前舉的例子，重復數字10的符號，旁邊再加上數字3的符號，表示的就是數字23。但是，我們的十進位法是按10的乘方序列進行的，即1、10、10×10、10×10×10等，而古巴比倫則是交替著使用10和6，如圖所示：

換句話說，這個系統實行的是以60為基數的六十進制，或者更準確地說，是采用了十進位法和六十進位法。

古埃及使用的也是一種十進位制的記數法，即他們的記數系統中存在表示常數值的符號（典型的有1、10、…、10的n次方）。為什么是十進制呢？因為在遙遠的古代，用雙手的十個手指計數是再自然不過的選擇。這個解剖學上的細節，被愛德華·盧卡斯恰如其分地表述為“自然界的一個偶然事件”，使十進位法成了應用最廣泛的記數法。這種十進位法當然不是唯一的記數法，從數學的角度看，可能也不是最方便的記數法，也不是我們如今使用的十進制。

這種十進制，經由古代美索不達米亞（和埃及）人民，從印度地區傳入西方。在此之前的數千年里，西方使用的是一種運用加法的記數法，一個數字是幾個表示固定數值的符號疊加組合而成。我們最熟悉的羅馬數字遵循的就是這個方法：V表示數字5，X表示數字10，L表示50，C表示100等，這些特殊符號構成了羅馬數字的加性記數系統。根據這種方法，數字6寫作VI，數字11寫作XI。在這個系統中還運行著減法規則：在一個符號的左邊添加一個代表更小數值的符號，以表示一個數字，比如IV表示4，IX表示9。

在古代，為了計算，一些民族不僅僅用上手指，還會用上腳趾。只有這樣才能解釋，為什么西非的一些地區、中美洲和歐洲的某些地方采用的是以20為基數的記數法。我們在許多語言中都可以看到它的蹤跡。莎士比亞在《圣經》的英譯本中找到了一個表達方式“three score and ten”（20的3倍加10），借麥克白之口用這個說法表示人類的平均壽命，也就是古稀之年。

“Four score and seven years ago（87年前）。”1863年11月19日，為悼念在南北戰爭葛底斯堡之役中陣亡的將士，林肯在葛底斯堡國家公墓揭幕式中發表演說，開篇便是這句，隨即追憶美國的開國元勛。1776年，北美洲十三個英屬殖民地脫離英國獨立，一個新的國家隨之誕生。從那一年到1863年，正好過了87年。林肯紀念堂里有一塊石刻，上面的銘文就是葛底斯堡的這場演說詞。所以，在林肯所使用的英語里，“score”表示二十。一百年之后，在馬丁·路德·金的演說中，也出現了這個詞。1963年8月，正是在林肯紀念堂的石階上，他發表了著名的演講《我有一個夢想》，開頭便是“Five score years ago”（100年前）。在現今流行的英語里，score已經不再有那個含義了。

在英國，獨特的十二進制與二十進制混合的貨幣系統也同樣消失了。原先，根據這種貨幣系統，1英鎊等于20先令，1先令等于12便士。1971年引進了十進制貨幣系統，1英鎊等于100便士，而先令在1990年徹底停止流通。在巴斯克語、丹麥語和法語中，也能找到二十進制記數法的痕跡。從quatre-vingts（80）、quatre-vingts-dix（90），到quatre-vingts-dix-neuf（99），這些數詞表明凱爾特族過去采用的是二十進制記數法，但同時又混合著六十進制，比如數詞soixante（60）到soixante-dix-neuf（79）。

大洋的另一邊，在中美洲的瑪雅文明和阿茲特克文明[3]中，我們也看到了二十進制記數法，值得注意的是，與此同時還短暫地出現了表示0的符號，盡管它在歷史上沒有留下任何痕跡。事實上，瑪雅僅存一些碑文殘片和未被燒毀的3份刻本，能夠證明它在科技上的發展。西班牙方濟各會傳教士迭戈·德·蘭達，曾任尤卡坦半島上的宗教裁判所所長。他是一個狂熱的基督徒，決意摧毀瑪雅的一切文明與宗教。1562年7月12日，德·蘭達下令在一場懲罰異教徒的火刑上燒毀瑪雅的所有文稿。過了好多年，他才被控告進行了不合法的裁判，被遣送回西班牙以接受審判。或許是有所悔悟，他寫下了《尤卡坦紀事》（寫于1566年至1568年間），該書成為研究瑪雅歷史、宗教、文化，尤其是文字的第一手資料。后來，免于處分的他被腓力二世任命為尤卡坦總教區主教，并在尤卡坦結束了一生（葬在了梅里達的圣方濟各修道院里，按照西班牙征服者的習慣，這座修道院建在一座瑪雅金字塔的廢墟上）。

我們所知曉的是，瑪雅人用點線組成的符號表示1至19的數字，而表示數字0的符號則像一只半閉的眼睛，他們認為數字1至13是神圣的。（不僅僅瑪雅人這樣認為，古巴比倫的數字也有著神圣的含義，從天神安努開始，1到60的每一個數字都與特定的神靈有關。）

在一些學者看來，二十進制、十進制，還有十二進制記數法都是基于手指的構造，或者更準確地說是一只手上四根手指的指節（大拇指除外，每根手指上都有三段指節）。一種用手指數數的常用方式，比如數右手上的指節，一旦數到12，左手就記一根手指，直到用完5根手指（即12×5=60）。

近東地區的人民可能也使用這種數數方式，這也許能夠解釋為什么60和12在他們的記數法中有著特殊的作用。

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注釋：

[1]埃斯庫羅斯（Aeschylos，約前525—前456），古希臘三大悲劇作家之一，被稱為“悲劇之父”。

[2]笈多王朝，古代印度摩揭陀的第一個封建王朝（約320—6世紀中）。——編者注

[3]阿茲特克文明，古代印第安人“后期古典”文明，由阿茲特克人創造。位于中美洲，主要分布在墨西哥中部和南部，是美洲古代三大文明之一。——編者注