3.2 系統(tǒng)對(duì)輸入的穩(wěn)態(tài)誤差分析

從初始狀態(tài)出發(fā)經(jīng)過一段時(shí)間的變動(dòng)調(diào)整，控制系統(tǒng)會(huì)進(jìn)入相對(duì)平穩(wěn)的工作狀態(tài)。對(duì)工作狀態(tài)下系統(tǒng)響應(yīng)特性與期望特性關(guān)系的討論就是穩(wěn)態(tài)誤差分析的任務(wù)。

3.2.1 穩(wěn)態(tài)誤差定義及其指標(biāo)

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)在信號(hào)激勵(lì)下t→∞時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)情況。實(shí)際輸出響應(yīng)與期望輸出響應(yīng)間的差別常常作為衡量穩(wěn)態(tài)精度的指標(biāo)，具體如下。

定義3-1 穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)輸出值與期望參考值之間的差在t→∞時(shí)的極值，即

式中，e（t）、b（t）、r（t）如圖3-2所示，e（t）稱為系統(tǒng)誤差。

顯然，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與輸入?yún)⒖夹盘?hào)r（t）以及開環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)。一般而言，e_ss越小越好。

3.2.2 系統(tǒng)按積分環(huán)節(jié)數(shù)分類

為討論控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，下面將開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)按其包含的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)分類。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是

式（3-2）說(shuō)明，開環(huán)系統(tǒng)中有N重積分環(huán)節(jié)相串聯(lián)，或者說(shuō)系統(tǒng)有s＝0的N重極點(diǎn)，稱其為N型系統(tǒng)。比如，N＝0則稱系統(tǒng)為0型的，N＝3則稱系統(tǒng)為3型的。

3.2.3 穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法

式（3-1）給出了穩(wěn)態(tài)誤差的定義公式，但直接由該公式計(jì)算是不方便的，會(huì)涉及誤差信號(hào)e（t）的計(jì)算。一般可利用拉氏變換的終值定理計(jì)算，也就是說(shuō)

因此，現(xiàn)在的關(guān)鍵是保證存在和導(dǎo)出E（s）。從圖3-2可知

將上式代入式（3-3），就有

式（3-4）說(shuō)明穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號(hào)和系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)。另外，注意到

上式也稱為誤差信號(hào)與參考輸入之間的傳遞函數(shù)。

3.2.4 各型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算與比較

這里討論N＝0，1，2，3型系統(tǒng)在典型信號(hào)激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算。

（1）單位階躍輸入情形

即r（t）＝1（t）?R（s）＝1/s。由式（3-4），可知

其中

稱為系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)。

（2）單位斜坡輸入

即r（t）＝t?R（s）＝1/s²。將其代入式（3-4），則有

其中

稱為系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)。

（3）單位拋物線輸入

即r（t）＝t²/2?R（s）＝1/s³。將其代入式（3-4），則

其中

稱為系統(tǒng)的加速度誤差系數(shù)。

（4）其他

當(dāng)系統(tǒng)類型給定后，上述結(jié)論和誤差系數(shù)公式可進(jìn)一步具體化。

1）當(dāng)系統(tǒng)為0型時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)是

于是

相應(yīng)地，各類典型信號(hào)下的穩(wěn)態(tài)誤差是

2）當(dāng)系統(tǒng)為1型時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)是

于是

相應(yīng)地，各類典型信號(hào)下的穩(wěn)態(tài)誤差是

3）當(dāng)系統(tǒng)為2型時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)是

于是

相應(yīng)地，各類典型信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差是

4）當(dāng)系統(tǒng)型號(hào)N≥3時(shí)，顯然

相應(yīng)地，各類穩(wěn)態(tài)誤差是

e _ss1＝e_ss2＝e_ss3＝0

表3-1說(shuō)明，只有N≥3型的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差才總是為零（相對(duì)于典型參考信號(hào)而言）。不過，當(dāng)系統(tǒng)的型號(hào)N過高時(shí)，會(huì)引起閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定。

3.2.5 穩(wěn)態(tài)誤差的物理意義

為理解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的物理意義，這里討論單位負(fù)反饋的各型系統(tǒng)響應(yīng)曲線及其與穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系。為此，考慮如圖3-3所示的系統(tǒng)。

依系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差定義式（3-1），e_ss是指系統(tǒng)的輸入?yún)⒖夹盘?hào)與輸出響應(yīng)間在t→∞時(shí)的偏差。根據(jù)上面關(guān)于表3-1的討論，可分別畫出各型系統(tǒng)在各種典型信號(hào)下的輸入輸出關(guān)系曲線，由此系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的物理意義就一目了然了。

各型負(fù)反饋系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差如圖3-4所示。

例3-1 已知兩單位反饋系統(tǒng)分別如圖3-5a、b所示，當(dāng)參考輸入為r（t）＝4+6t+3t²時(shí)，試分別求出兩系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解：根據(jù)式（3-4），有

而且對(duì)圖3-5a、b兩系統(tǒng)都有

于是，對(duì)于圖3-5a系統(tǒng)有

而對(duì)于圖3-5b系統(tǒng)有

實(shí)際上，圖3-5a系統(tǒng)開環(huán)是1型的，它不能跟隨r（t）的3t²分量，直接可得出e_ss＝∞；而圖3-5b系統(tǒng)開環(huán)是2型的，它對(duì)r（t）中4+6t的穩(wěn)態(tài)誤差為零，故只對(duì)3t²計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差即可，而K_a＝10/4，注意到3t²?6/s³，于是e_ss＝6/K_a＝2.4。

3.2.6 穩(wěn)態(tài)誤差與零極點(diǎn)的關(guān)系

將開環(huán)傳遞函數(shù)表示為

由此討論各類系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)與零極點(diǎn)的關(guān)系。具體如下。

1）當(dāng)開環(huán)為0型系統(tǒng)時(shí)

2）當(dāng)開環(huán)為1型系統(tǒng)時(shí)

3）當(dāng)開環(huán)為2型系統(tǒng)時(shí)