第 5 章　使用矩陣計算變換

本章內容

• 將線性變換寫成矩陣
• 用矩陣相乘來組合并應用線性變換
• 用線性變換操作不同維度的向量
• 使用矩陣平移二維向量或三維向量

我在第4章的結尾提出了一個很重要的思想：任何三維線性變換都可以只用3個向量或9個數來指定。正確選擇這9個數，可以實現繞軸旋轉、平面反射、平面投影、縮放，或者其他任意三維線性變換。

“繞軸逆時針旋轉90°”的變換可以被等價描述為對標準基向量、和的作用。也就是說，結果是(0, 1, 0)、(-1, 0, 0)和(0, 0, 1)。無論是以幾何學的方式還是以3個向量（9個數）的方式思考這個變換，它都是同一個對三維向量進行操作的虛擬機器（見圖5-1）。雖然實現方式可能不同，但這些機器產生的結果別無二致。

圖5-1　兩臺機器執行相同的線性變換。幾何推理為上面的機器提供動力，而9個數則為下面的機器提供動力

排列在網格中、用于說明如何執行線性變換的數被稱為矩陣。本章重點介紹如何使用這些數字網格作為計算工具，因此包含的數字運算比前幾章多了一些。不要被嚇到！歸根結底，我們仍然只是在進行向量變換。

矩陣可以利用對標準基向量的操作數據，計算給定的線性變換。本章的所有表示法都是為了組織這個過程，4.2節已經介紹過了，這里并沒有引入任何其他陌生的概念。學習新的表示法雖然痛苦，但是有回報。最好將向量看作幾何對象或數字元組。同樣，將線性變換看作數字矩陣，可以拓展我們的心智模型。