4.2　線性變換

下面要重點(diǎn)介紹一種良態(tài)（well-behaved）的向量變換，稱為線性變換。除了向量，線性變換也是線性代數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象。線性變換是一種向量運(yùn)算在變換前后看起來一樣的特殊變換。下面通過一些圖例來說明其含義。

4.2.1　向量運(yùn)算的不變性

向量加法和標(biāo)量乘法是向量算術(shù)運(yùn)算中最重要的兩個(gè)。回到能夠反映這些運(yùn)算的二維圖片，看看對(duì)它們應(yīng)用變換前后的樣子。

把兩個(gè)向量的和想象成將它們頭尾相接放置時(shí)得出的新向量，或者指向它們所張成平行四邊形頂點(diǎn)的向量。例如，圖4-22展示了向量和。

圖4-22　向量和的幾何表示

我們想問的問題是：如果對(duì)圖中的三個(gè)向量應(yīng)用同樣的向量變換，三個(gè)向量的關(guān)系是否會(huì)保持不變？下面嘗試一種關(guān)于原點(diǎn)做逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的向量變換。圖4-23顯示、和通過變換旋轉(zhuǎn)了相同的角度。

圖4-23　將、和旋轉(zhuǎn)同樣的角度，其關(guān)系仍然不變

旋轉(zhuǎn)后的圖例表示向量。只要，那么對(duì)三個(gè)向量、和中的每個(gè)向量應(yīng)用同樣的旋轉(zhuǎn)變換，依然成立。為了描述這個(gè)特性，我們說旋轉(zhuǎn)保持（preserve）了向量和。

同樣，旋轉(zhuǎn)也會(huì)保持標(biāo)量乘積。如果是一個(gè)向量，是乘以標(biāo)量，那么指向與相同的方向，只是被按照系數(shù)進(jìn)行了縮放。如果對(duì)和做同樣的旋轉(zhuǎn)，就是與相同系數(shù)的標(biāo)量乘積（見圖4-24）。

圖4-24　旋轉(zhuǎn)保持了標(biāo)量乘積

同樣，這只是一個(gè)直觀的示例而不是證明，但對(duì)于任意向量、標(biāo)量和旋轉(zhuǎn)，圖中都保持了相同的特性。旋轉(zhuǎn)或其他任意保持向量和與標(biāo)量乘積的向量變換被稱為線性變換。

線性變換

線性變換是保持向量和與標(biāo)量乘積的向量變換。也就是說，對(duì)于任意輸入向量和，有：

而對(duì)于任意一對(duì)標(biāo)量和向量，有：

請(qǐng)務(wù)必停下來消化并理解這個(gè)定義。線性變換非常重要，以至于整個(gè)線性代數(shù)學(xué)科都以它命名。為了幫助你在看到線性變換時(shí)認(rèn)出它們，我們?cè)倏磶讉€(gè)示例。

4.2.2　圖解線性變換

首先看一個(gè)反例：一個(gè)非線性的向量變換。示例變換接收向量并輸出一個(gè)坐標(biāo)被平方后的向量：。舉一個(gè)例子，和的和是(2, 3) + (1, -1) = (3, 2)。這個(gè)向量加法如圖4-25所示。

圖4-25　圖解向量和的和

現(xiàn)在把應(yīng)用到每個(gè)向量上：，，。圖4-26明顯表明，和不一致。

圖4-26　沒有保持向量和，和相差甚遠(yuǎn)

作為練習(xí)，你可以試著找到一個(gè)反例來證明也不保持標(biāo)量乘積。現(xiàn)在，我們來研究另一個(gè)變換。是按系數(shù)2對(duì)輸入向量進(jìn)行縮放的向量變換，換句話說，。它確實(shí)保持了向量和：如果，那么也成立。圖4-27提供了一個(gè)直觀的示例。

圖4-27　將向量的長(zhǎng)度增加1倍，可以保持它們的和：如果，那么

同樣，也保持了標(biāo)量乘積。這有些難畫，但可以從代數(shù)上看出，對(duì)于任意標(biāo)量，。

那么平移呢？假設(shè)將任意輸入向量按照(7, 0)平移。令人驚訝的是，這不是線性變換。圖4-28提供了一個(gè)直觀的反例，其中，但和不同。

圖4-28　因?yàn)?img alt="" class="h-pic-x" src="https://epubservercos.yuewen.com/8EA7F4/22124474309908206/epubprivate/OEBPS/Images/451.gif?sign=1755126986-M7QKfPQlzyboZIPvE7U3FrEtK9RGapve-0-48af18393f429638d3434340fbeb30dd">不等于，所以平移變換不保持向量和

事實(shí)證明，只有不移動(dòng)原點(diǎn)的變換才能是線性的（在后面的練習(xí)中可以看到原因）。任何使用非零向量的平移都會(huì)將原點(diǎn)變換到不同的點(diǎn)上，所以它不可能是線性的。

其他線性變換的例子包括鏡像、投影、剪切以及前面這些線性變換的任何三維類推。練習(xí)部分定義了這些變換，你應(yīng)該通過幾個(gè)示例來讓自己相信，這些變換中的每一種都保持了向量和與標(biāo)量乘積。通過練習(xí)，你可以識(shí)別哪些變換是線性的、哪些不是。接下來將介紹線性變換的特殊性質(zhì)有什么用。

4.2.3　為什么要做線性變換

因?yàn)榫€性變換保持了向量和與標(biāo)量乘積，所以也保持了一類更廣泛的向量算術(shù)運(yùn)算。最常規(guī)的運(yùn)算稱為線性組合。一個(gè)向量集合的線性組合是它們的標(biāo)量乘積之和。例如，是向量和的線性組合。給定三個(gè)向量、和，表達(dá)式是它們的線性組合。因?yàn)榫€性變換保持了向量和與標(biāo)量乘積，所以也保持了線性組合。

用代數(shù)方式重新描述：如果有一個(gè)包含個(gè)向量（）的集合，以及任意個(gè)標(biāo)量（），則線性變換可以保持線性組合。

我們之前見過一個(gè)很容易繪制的線性組合：和的組合，它相當(dāng)于。圖4-29顯示，兩個(gè)向量的這種線性組合可以讓我們得到連接它們的線段的中點(diǎn)。

圖4-29　兩個(gè)向量和的頭部之間的中點(diǎn)可以用線性組合求得

這意味著線性變換能將一些中點(diǎn)變換為其他中點(diǎn)。例如，如圖4-30所示，就是連接和的線段的中點(diǎn)。

圖4-30　因?yàn)閮蓚€(gè)向量之間的中點(diǎn)是向量的線性組合，所以線性變換將和之間的中點(diǎn)設(shè)為和的中點(diǎn)

雖然不太明顯，但像這樣的線性組合也位于和之間的線段上（見圖4-31）。具體來說，是從到路徑上75%處的點(diǎn)，同樣，是到路徑上40%處的點(diǎn)，以此類推。

圖4-31　點(diǎn)位于連接和的線段上到的75%處。你可以用具體的示例觀察，比如當(dāng)和時(shí)的情況

事實(shí)上，兩個(gè)向量之間線段上的每個(gè)點(diǎn)都是形如的“加權(quán)平均值”，其中介于0和1之間。為了證明這一點(diǎn)，圖4-32顯示了對(duì)于和的向量組合，分別展示了10個(gè)和100個(gè)介于0和1之間的值。

圖4-32　用0和1之間的10個(gè)值（左）和100個(gè)值（右）繪制(-1, 1)和(3, 4)的各種加權(quán)平均值

這里的關(guān)鍵思想是，連接兩個(gè)向量和的線段上的每一個(gè)點(diǎn)都是加權(quán)平均值，因此也是點(diǎn)和的線性組合。考慮到這一點(diǎn)，我們可以思考線性變換對(duì)整個(gè)線段的作用。

因?yàn)檫B接和的線段上的任意點(diǎn)都是和的加權(quán)平均值，所以對(duì)于某個(gè)值，點(diǎn)的形式是。線性變換將和變換成新的向量和。線段上的點(diǎn)被轉(zhuǎn)化為某個(gè)新的點(diǎn)或 。這又是和的加權(quán)平均值，所以如圖4-33所示，它是位于連接和的線段上的一點(diǎn)。

圖4-33　線性變換將和的加權(quán)平均值轉(zhuǎn)化為和的加權(quán)平均值。原加權(quán)平均值位于連接和的線段上，而變換后的加權(quán)平均值位于連接和的線段上

正因如此，線性變換把連接和的線段上的每一個(gè)點(diǎn)都轉(zhuǎn)移到連接和的線段上的一個(gè)點(diǎn)。這是線性變換的一個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)：它們將每一條現(xiàn)有的線段都轉(zhuǎn)移到一條新的線段上。因?yàn)槲覀兊娜S模型是由多邊形組成的，而多邊形是由線段勾勒出來的，所以可以預(yù)期線性變換會(huì)在一定程度上保持三維模型的結(jié)構(gòu)（見圖4-34）。

圖4-34　對(duì)構(gòu)成三角形的點(diǎn)進(jìn)行線性變換（旋轉(zhuǎn)60°），結(jié)果是一個(gè)（向左）旋轉(zhuǎn)的三角形

相反，如果使用非線性變換將轉(zhuǎn)移到，可以看到線段是扭曲的。這意味著由向量、和定義的三角形并沒有真正被轉(zhuǎn)移到另一個(gè)由、和定義的三角形，如圖4-35所示。

圖4-35　應(yīng)用非線性變換不能保持三角形邊的直線性

總而言之，線性變換遵循向量的代數(shù)性質(zhì)，保持了向量和、標(biāo)量乘積和線性組合。它們還遵循向量集合的幾何性質(zhì)，將向量定義的線段和多邊形轉(zhuǎn)移到由變換后的向量定義的新線段和多邊形上。接下來，我們將看到線性變換不僅從幾何學(xué)的角度看特殊，還很容易計(jì)算。

4.2.4　計(jì)算線性變換

第2章和第3章介紹了如何將二維和三維向量分解為分量。例如，向量(4, 3, 5)可以分解為(4, 0, 0) + (0, 3, 0) + (0, 0, 5)。這樣就很容易想象出向量在三維空間中每一個(gè)維度上延伸的距離。這可以進(jìn)一步分解為線性組合（見圖4-36）。

圖4-36　三維向量(4, 3, 5)為(1, 0, 0)、(0, 1, 0)和(0, 0, 1)的線性組合

這似乎是一個(gè)簡(jiǎn)單的事實(shí)，但又是能從線性代數(shù)中得到的深刻見解之一：任何三維向量都可以被分解為(1, 0, 0)、(0, 1, 0)和(0, 0, 1)這三個(gè)向量的線性組合。這種分解中出現(xiàn)的向量的標(biāo)量正是的坐標(biāo)。

(1, 0, 0)、(0, 1, 0)和(0, 0, 1)這三個(gè)向量被稱為三維空間的標(biāo)準(zhǔn)基（standard basis），分別表示為、和。因此，前面的線性組合可以寫成。在二維空間中，，。例如，（見圖4-37）。（當(dāng)我們說時(shí)，可能是指(1, 0)或(1, 0, 0)，但一旦確定了是在二維還是三維空間中，通常就可以清楚地知道指的是哪一個(gè)。）

圖4-37　標(biāo)準(zhǔn)基向量和線性組合成的二維向量(7, -4)

這里只是用稍微不同的方式表示了相同的向量，但事實(shí)證明，這種視角的改變使得計(jì)算線性變換變得很容易。因?yàn)榫€性變換保持了線性組合，所以在計(jì)算線性變換時(shí)只需知道它如何影響標(biāo)準(zhǔn)基向量即可。

來看一個(gè)直觀的示例，如圖4-38所示。假設(shè)已知二維向量變換是線性的，并且知道和是什么，其他未知。

圖4-38　當(dāng)線性變換作用于兩個(gè)二維標(biāo)準(zhǔn)基向量時(shí)，會(huì)得到兩個(gè)新的向量作為結(jié)果

對(duì)于其他任意向量，我們都會(huì)自動(dòng)知道的終點(diǎn)。假如，那么可以做如下斷言。

如圖4-39所示，因?yàn)?img alt="" class="h-pic-x" src="https://epubservercos.yuewen.com/8EA7F4/22124474309908206/epubprivate/OEBPS/Images/496.gif?sign=1755126986-xyTxrr5D5UEnGmwpP1Rr7Uo6XDFADFrN-0-403d9bb28ba1b63a4259c987fcdfb1d0">和的位置已知，所以可以找到。

圖4-39　對(duì)于任意向量，可以將計(jì)算為和的線性組合

為了更具體地說明這個(gè)問題，我們來完成一個(gè)完整的三維示例。假設(shè)是一個(gè)線性變換，我們只知道， ，。如果，那么是什么？首先，可以把展開為三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)基向量的線性組合。因?yàn)?img alt="" class="h-pic-x" src="https://epubservercos.yuewen.com/8EA7F4/22124474309908206/epubprivate/OEBPS/Images/507.gif?sign=1755126986-yFbFtElOGU6pgdQrbg1rA1H9uVLdl0NI-0-fcad60aa431ea808b2fd4493ab5d10fb">，可以代入得到：

接下來，利用是線性的并且保持線性組合的事實(shí)：

最后，將已知的、和的值代入，化簡(jiǎn)得到：

為了證明我們真的知道如何運(yùn)作，把它應(yīng)用到茶壺上。

Ae1 = (1,1,1)      ←---- 將A應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)基向量的結(jié)果已知
Ae2 = (1,0,-1)
Ae3 = (0,1,1)

def apply_A(v):      ←---- 構(gòu)建函數(shù)apply_A(v)，返回將A作用于輸入向量v的結(jié)果
    return add(      ←---- 結(jié)果應(yīng)該是這些向量的線性組合，其中標(biāo)量是目標(biāo)向量v的坐標(biāo)
        scale(v[0], Ae1),
        scale(v[1], Ae2),
        scale(v[2], Ae3)
    )

draw_model(polygon_map(apply_A, load_triangles()))      ←---- 使用polygon_map將A應(yīng)用到茶壺中每個(gè)三角形的每個(gè)向量上

圖4-40顯示了轉(zhuǎn)換的結(jié)果。

圖4-40　在旋轉(zhuǎn)、扭曲下，可以看到茶壺是沒有底的

這里的啟示是，二維線性變換完全由和的值來定義，也就是總共2個(gè)向量或4個(gè)數(shù)。同樣，三維線性變換完全由、和的值來定義，也就是總共3個(gè)向量或9個(gè)數(shù)。在任意維中，線性變換的行為由一個(gè)向量列表或數(shù)組陣列來規(guī)定。這類包含數(shù)組的陣列稱為矩陣，我們將在下一章中看到如何使用矩陣。

4.2.5　練習(xí)

練習(xí)4.10：再考慮對(duì)所有坐標(biāo)執(zhí)行二次方運(yùn)算的向量變換，用代數(shù)方法證明并不是對(duì)所有標(biāo)量和二維向量都成立。

解：令，則，。對(duì)于大多數(shù)和向量來說， ，并不等于。一個(gè)具體的反例是和，其中，但是。這個(gè)反例證明不是線性變換。

 

練習(xí)4.11：假設(shè)是一個(gè)向量變換，且，其中代表所有坐標(biāo)都等于零的向量。根據(jù)定義，為什么是非線性的？

解：對(duì)于任意向量，。保持向量加法，應(yīng)滿足。因?yàn)?img alt="" class="h-pic-x" src="https://epubservercos.yuewen.com/8EA7F4/22124474309908206/epubprivate/OEBPS/Images/529.gif?sign=1755126986-iVtU4hJvfAJaNKspKxL7mW0dRN8JC3mk-0-23362eb07224716184ed9bd46f3e215b">，這就要求或。鑒于情況并非如此，不可能是線性的。

 

練習(xí)4.12：恒等變換是返回向量與接收向量相同的向量變換，用大寫的表示。因此，對(duì)于所有向量，其定義寫成。為什么是一個(gè)線性變換？

解：對(duì)于任意向量和，；對(duì)于任意標(biāo)量，。這些等價(jià)性表明，恒等變換保持了向量和與標(biāo)量乘積。

 

練習(xí)4.13：(5, 3)和(-2, 1)之間的中點(diǎn)是什么？把這三個(gè)點(diǎn)都畫出來，看看你的做法是否正確。

解：中點(diǎn)是1/2(5, 3) + 1/2(-2, 1)或(5/2, 3/2) + (-1, 1/2)，等于(3/2, 2)。可以按比例畫出來看看正確性，如圖4-41所示。

圖4-41　連接(5, 3)和(?2, 1)的線段的中點(diǎn)是(3/2, 2)

 

練習(xí)4.14：再考慮把轉(zhuǎn)移到的非線性變換。用第2章的繪圖代碼將整數(shù)坐標(biāo)為0～5的36個(gè)向量全部繪制成點(diǎn)，然后分別繪制它們的。在的作用下，向量在幾何上會(huì)發(fā)生什么？

解：開始時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的空間是均勻的，但在變換后的圖片中，隨著坐標(biāo)和坐標(biāo)的增大，點(diǎn)與點(diǎn)之間在水平和垂直方向上的間距也分別增大了（見圖4-42）。

圖4-42　網(wǎng)格中的點(diǎn)間距最初是均勻的，但在應(yīng)用變換后，點(diǎn)與點(diǎn)之間的間距是不同的，甚至同一條直線上的點(diǎn)間距也不同

 

練習(xí)4.15（小項(xiàng)目）：基于屬性的測(cè)試是一種單元測(cè)試，涉及為程序創(chuàng)造任意輸入數(shù)據(jù)，然后檢查輸出是否滿足所需條件。一些流行的Python庫(kù)，如Hypothesis（可通過pip獲得），可以很容易地配置它。使用你選擇的庫(kù)，實(shí)現(xiàn)基于屬性的測(cè)試來檢查向量變換是否是線性的。

具體來說，給定一個(gè)以Python函數(shù)形式實(shí)現(xiàn)的向量變換，生成大量隨機(jī)向量對(duì)，并對(duì)所有這些向量斷言，會(huì)保持它們的和。然后，對(duì)每組標(biāo)量和向量做同樣的事情，來確定保持了標(biāo)量乘積。應(yīng)該可以發(fā)現(xiàn)，像rotate_x_by(pi/2)這樣的線性變換可以通過測(cè)試，但是像坐標(biāo)-平方變換這樣的非線性變換不能通過。

 

練習(xí)4.16：二維向量變換是相對(duì)于軸的鏡像，這種變換接收一個(gè)向量并返回其相對(duì)于軸的鏡像向量。它應(yīng)該保持坐標(biāo)不變，改變坐標(biāo)符號(hào)。將這種變換稱為，圖4-43展示了向量和變換后的向量。

圖4-43　向量及其相對(duì)于軸的鏡像(3, -2)

畫出這兩個(gè)向量、它們的和，以及這三個(gè)向量的鏡像，來證明這種變換保持了向量和。再畫出另一張圖，同樣證明這種變換保持了標(biāo)量乘積，從而證明線性的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。

解：圖4-44是一個(gè)相對(duì)于軸鏡像的示例，它保持了向量和。

圖4-44　對(duì)于如圖所示的，在軸上的鏡像保持了向量和

圖4-45中的示例顯示鏡像保持了標(biāo)量乘積：位于的預(yù)期位置。

圖4-45　相對(duì)于軸的鏡像保持了標(biāo)量乘積

要證明是線性的，需要證明可以為每一個(gè)向量和與標(biāo)量乘積畫出類似的圖像。這些圖像有無限多，所以最好用代數(shù)方法證明。（你能想出如何用代數(shù)方法證明這兩個(gè)事實(shí)嗎？）

 

練習(xí)4.17（小項(xiàng)目）：假設(shè)和都是線性變換。解釋為什么和的組合也是線性的。

解：如果對(duì)于任意向量和，有，而且對(duì)于任意標(biāo)量乘積，有，則組合是線性的。這只是一個(gè)必須被滿足的定義聲明。

現(xiàn)在來看它為什么為真。首先，假設(shè)對(duì)于任意給定輸入向量和，有。那么由于是線性的，亦知。因?yàn)榇讼蛄亢褪浅闪⒌模?img alt="" class="h-pic-x" src="https://epubservercos.yuewen.com/8EA7F4/22124474309908206/epubprivate/OEBPS/Images/434.gif?sign=1755126986-oO1G723vEbS93gULb3sgwv3wgCLX9Nmj-0-5f8170dd5a60322f72ace3d094e5f419">的線性告訴我們，它在下被保持了：。這意味著保持了向量和。

同樣，對(duì)于任意標(biāo)量乘積，的線性告訴我們。根據(jù)的線性，也是如此。這意味著保持了標(biāo)量乘積，因此滿足前面所說的線性的全部定義。可以得出結(jié)論，兩個(gè)線性變換的組合是線性的。

 

練習(xí)4.18：設(shè)是Python函數(shù)rotate_x_by(pi/2)所做的線性變換，那么、和分別是什么？

解：相對(duì)于坐標(biāo)軸的任意旋轉(zhuǎn)都不會(huì)使軸上的點(diǎn)受到影響，所以由于在軸上，。在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，把此向量從軸正方向上1個(gè)單位處移到軸正方向上1個(gè)單位處，所以。同樣，從軸正方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到軸負(fù)方向上。在這個(gè)方向上的長(zhǎng)度仍為1，所以它是或(0, -1, 0)。

圖4-46　在平面內(nèi)沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)1/4圈，將轉(zhuǎn)移到，將轉(zhuǎn)移到

 

練習(xí)4.19：實(shí)現(xiàn)函數(shù)linear_combination(scalars, *vectors)，接收一個(gè)標(biāo)量列表和相同數(shù)量的向量，并返回一個(gè)向量。例如，linear_combination([1,2,3], (1,0,0), (0,1,0), (0,0, 1))應(yīng)該返回，即(1, 2, 3)。

解：

from vectors import *
def linear_combination(scalars,*vectors):
    scaled = [scale(s,v) for s,v in zip(scalars,vectors)]
    return add(*scaled)

可以確認(rèn)，這樣做能得到如前所述的預(yù)期結(jié)果。

>>> linear_combination([1,2,3], (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1))
(1, 2, 3)

 

練習(xí)4.20：編寫函數(shù)transform_standard_basis(transform)，將一個(gè)三維向量變換作為輸入，并輸出它對(duì)標(biāo)準(zhǔn)基的影響。它應(yīng)該輸出一個(gè)由3個(gè)向量組成的元組，這些向量是transform分別作用于、和的結(jié)果。

解：按照建議，我們只需要對(duì)每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)基向量應(yīng)用transform。

def transform_standard_basis(transform):
    return transform((1,0,0)), transform((0,1,0)), transform((0,0,1))

打印rotate_x_by(pi/2)輸出的地方（在浮點(diǎn)誤差范圍內(nèi)）證實(shí)了我們關(guān)于前一個(gè)練習(xí)的解決方法。

>>> from math import *
>>> transform_standard_basis(rotate_x_by(pi/2))
((1, 0.0, 0.0), (0, 6.123233995736766e-17, 1.0), (0, -1.0,
    1.2246467991473532e-16))

這些向量大概是(1, 0, 0)、(0, 0, 1)和(0, -1, 0)。

 

練習(xí)4.21：假設(shè)是一個(gè)線性變換，滿足、、和。是什么？

解：因?yàn)?img alt="" class="h-pic-x" src="https://epubservercos.yuewen.com/8EA7F4/22124474309908206/epubprivate/OEBPS/Images/562.gif?sign=1755126986-1UZp5ukBAl0hh5cqpaXiLYiKxObW8R9W-0-8c0a9c0d862e02449d4d7e344e4e0f7a">，所以。因?yàn)?img alt="" class="h-pic-1" src="https://epubservercos.yuewen.com/8EA7F4/22124474309908206/epubprivate/OEBPS/Images/45.gif?sign=1755126986-rt7Ct5Cl3J6ZvQgGEdCaDuiJ3wXEmNty-0-72adcd6721e194beeacd794ea7ab0d1a">是線性的，所以它保持了這種線性組合：。現(xiàn)在有了所有需要的信息：。

 

練習(xí)4.22：假設(shè)和都是線性變換，而且、、、、、。那么、和是什么？

解：是將應(yīng)用于。已知，所以。是將應(yīng)用于。這是、、的線性組合，標(biāo)量為(2, 1, 0)：。

最后，是將應(yīng)用于。這就是線性組合。

請(qǐng)注意，現(xiàn)在知道了和對(duì)于所有標(biāo)準(zhǔn)基向量的組合結(jié)果，所以可以計(jì)算關(guān)于任意向量的了。

線性變換是良態(tài)的且容易計(jì)算，因?yàn)榭梢杂煤苌俚臄?shù)據(jù)來指定它。下一章在用矩陣符號(hào)計(jì)算線性變換時(shí)將進(jìn)一步探討這個(gè)問題。