第 4 章　變換向量和圖形

本章內容

• 運用數學函數變換和繪制三維對象
• 變換向量圖形來創建計算機動畫
• 識別不改變直線和多邊形形狀的線性變換
• 計算線性變換對向量和三維模型的影響

有了前兩章的技術再加上一點兒創造力，你就可以渲染你能想到的任何二維或三維圖形。所有物體、角色乃至整個世界都可以通過由向量定義的線段和多邊形來構建。但是，要基于此做一部長篇計算機動畫電影或生動的動作視頻游戲，還需要能夠繪制隨時間變化的對象。

動畫在計算機圖形學中的工作方式和在電影中一樣：每秒顯示幾十幅靜態渲染的圖像。顯示移動對象的大量快照會使圖像看起來是連續不斷地變化的。第2章和第3章涉及的一些數學運算可以接收現有向量，對其進行幾何變換，并輸出新的向量。將連續的小變換鏈接在一起，就可以創造出連續運動的假象。

可以將旋轉二維向量的示例記在心里，作為一個心智模型。你可以寫一個Python函數rotate，它接收一個二維向量并將其逆時針旋轉45°。如圖4-1所示，rotate函數可被看作一臺接收向量并對其變換后輸出新向量的機器。

圖4-1　把向量函數想象成一臺有輸入槽和輸出槽的機器

如果將這個函數類推至三維，應用到定義了一個三維形狀的每個多邊形中的每個向量上，就可以得到整個形狀旋轉后的結果。這個三維形狀可以是上一章中的八面體，甚至可以是一個茶壺。在圖4-2中，旋轉機器將茶壺作為輸入，并輸出旋轉后的副本。

圖4-2　可以將同一個變換應用于構成三維模型的每一個向量，從而以相同的幾何變換方法變換整個模型

如果不是一次旋轉45°，而是旋轉45次1°，可以生成顯示旋轉茶壺的電影幀（見圖4-3）。

圖4-3　從左上角開始，茶壺每次旋轉1°，連續旋轉45次

旋轉是一個很好的示例，因為將線段上的每一個點都相對于原點旋轉相同的角度，仍然會得到相同長度的線段。這使得旋轉構成二維或三維對象輪廓的所有向量后，仍可識別該對象。

本書將介紹一類通用的向量變換，稱為線性變換。與旋轉一樣，線性變換將位于直線上的向量轉換為同樣位于直線上的新向量。線性變換在數學、物理學和數據分析中有眾多應用。在這些應用場景中再次遇到它時，知道如何用幾何圖形來描述是很有幫助的。

為了實現旋轉、線性變換以及其他向量變換的可視化，本章將使用更強大的繪圖工具。我們將把Matplotlib換成用于高性能圖形繪制的行業標準庫OpenGL。大多數OpenGL編程使用C或C++完成，但本章將使用更加易用的Python庫PyOpenGL。除此之外，我們還將使用Python的PyGame視頻游戲開發庫。具體地說，是使用PyGame中將連續圖像渲染成動畫的功能。附錄C包含所有新工具的配置方式，這樣我們可以快速上手并專注于數學向量變換。如果你想跟著本章的代碼一起學習（強烈推薦！），那么應該跳到附錄C，讓代碼能夠運行后再返回這里閱讀。