3.3 廣義衰落信道

3.3.1 Nakagami-m衰落信道

Nakagami-m分布在20世紀40年代由Nakagami提出[4]。在Nakagami-m衰落模型中，將接收到的信號建模為簇群，每個簇群都有一些分散的多徑成分，不同簇的延遲擴展要比單個簇內多徑成分的延遲擴展大。假設每個簇都有相同的功率，在該模型中，衰落信號的包絡X可以表示為

式中，n是接收信號中簇的個數；I_i和Q_i分別表示第i個簇的同相和正交相分量。另外，I_i分量和Q_i分量是相互獨立的隨機變量，其均值為0，方差為。

因此，衰落幅度可以表示為且。由于I_i分量和Q_i分量均為高斯分布，所以每個也都服從指數分布。就SNR的分布而言，它等于幅度分布的平方。在這種情況下，SNR是相互獨立的伽馬分布變量之和，所以SNR的PDF服從伽馬分布，可表示為

式中，Γ（·）為伽馬函數；為信號的平均功率，參數m是Nakagami-m衰落參數，表示信道受到多徑衰落影響的程度，其范圍為1/2到無窮。

Nakagami-m分布包含兩種衰落信道，當m=1/2時，該分布表示單邊帶高斯分布；當m=1時，表示瑞利分布。

3.3.2 α-μ衰落信道

最初為了解決統計問題，提出了Stacy分布，后來，M.D.Yacoub將其應用到無線通信中，重命名為α-μ分布。α-μ分布也可用于在非均勻障礙物組成的環境中衰落信道的建模，這些障礙物在本質上是非線性的。

正如Nakagami-m衰落模型，α-μ衰落也將接收到的信號視為多徑成分的簇的集合。假設簇不是確定分量，不同簇的延遲擴展要比簇內多徑成分的延遲擴展更大，假設每個簇的平均功率相同，該模型與其他模型的不同之處在于對功率的定義。在α-μ分布中，衰落幅度被定義為在衰落信號中接收功率的第α根。在所有其他的衰落模型中，衰落幅度被定義為在衰落信號中接收功率的平方根。接收到的多路徑簇和衰落幅度之間的服務關系為[5]

式中，n表示簇的數量；I_i和Q_i分別表示第i個簇的合成信號的同相和正交相分量。另外I_i和Q_i是相互獨立的隨機變量，其均值為零，方差為。其實α-μ分布與Nakagami-m分布是一樣的，參數α在一定的衰落條件下引入了非線性函數。這種情況下，Xα服從Gamma分布，表示為平方Gamma隨機分布的和。可以通過隨機變換得到接收衰落信號幅度X的PDF為

式中，Ω_α是衰落幅度X的α根平均值，其被定義為。定義衰落參數μ＞0為簇的數量，其本質上是離散的。為了使μ的值連續，定義μ為[6]

在α-μ分布中，接收SNR的PDF為

3.3.3 η-μ衰落信道

η-μ衰落是由M.D.Yacoub提出作為一種建模不同衰落環境的廣義分布[7]。η-μ分布也適用于建模非視距環境。作為一個廣義衰落分布，許多研究人員普遍使用η-μ衰落分布來進行無線通信系統的分析。像Nakagami-m衰落，η-μ分布也建模一種廣義衰落場景，包含由反射不同物理性質的障礙物、散射元件等組成的不均勻環境。

類似于Nakagami-m衰落模型，在η-μ衰落中，假設接收信號中的多路徑成分是簇群的形式，并且簇群沒有任何主導或者視距傳輸成分。每個簇群都有一些分散的多路徑成分。不同簇群的延遲擴展相對大于簇群內多路徑成分的延遲擴展。假設每個簇群具有相同的平均功率。然而，參數η使它不同于Nakagami-m衰落。定義η為同相分量的功率與接收到的信號的正交相位分量的功率之比。在這樣的模型中，衰落信號的包絡線X可以用不同統計參數的Nakagami-m衰落信號的包絡線X表示，如式（3-15）所示。

式中，n表示接收信號中簇的數量；I_i和Q_i分別表示由此產生的信號中第i簇同相和正交相位成分。I_i和Q_i是由簇群的多路徑成分組成，可以假設為均值為零的高斯分布，也就是E（I_i）=E（Q_i）=0。在η-μ衰落中，來自Nakagami-m衰落的變化表示方差，這與I_i和Q_i的功率是相同，I_i和Q_i的功率分別為和。

在Nakagami-m衰落模型中，衰落幅度可以表示為，其中。由于I_i和Q_i服從方差不同的高斯分布，可知不再服從指數分布。這種情況下，η-μ衰落幅度的PDF可以表示為[7，8]

式中，μ＞0是直接與簇的數量n相關的衰落參數；Γ（·）是伽馬函數；I_v（·）是修正的第一類貝塞爾函數，階數為v。，為了使μ的值變為連續的值，定義，V（·）表示方差，H和h是衰落參數η的函數，由于存在兩種方式定義衰落參數η，所以存在兩種形式的η-μ衰落信道。

（1）η-μ衰落：形式1

在這種形式下，假設每個簇內復合信號的同相和正交相位相互獨立，其功率不同。η被定義為同相功率與正交相位功率之比，也就是。假設接收信號中所有簇的η是固定的。在這種情況下，η的取值范圍是[0，∞]，H和h是η的函數，分別被定義為H=和。從定義式中可以觀察到，當η=1時，H和h的值是對稱的。也就是說，對于0＜η＜1和1≤η＜∞兩種取值范圍，H和h的值是相同的。這意味著對于這兩種取值范圍，接收信號的幅度的統計特性保持不變。

（2）η-μ衰落：形式2

在這種形式下，假設每個簇內復合信號包絡的同相和正交相位是相關的，其功率相同。在這種形式下，η被定義為同相成分與正交成分的相關函數，也就是說，η=或者。假設接收信號中所有簇內同相和正交相位之間的相關參數是相同的。在這種情況下，η的取值范圍為（-1，1），H和h是η的函數，分別被定義為和。從定義式中可以觀察到，當η=0時，H和h的值是對稱的。因此，考慮0≤η＜1或者-1＜η≤0兩種取值范圍，H和h的值是一樣的。在這種形式下，比值簡化為η。

以上兩種形式是不同的，但是對于某些衰落參數值，形式1和形式2的分布是相互匹配的。參數μ是以相同的方式定義的。因此，為了關聯形式1和形式2，需要建立形式1和形式2的參數η之間的關系（雖然以不同的方式定義）。這個關系可以通過前面討論的兩種格式的比值來給出：[9]

就分布而言，信噪比等于振幅分布的平方。所以，可以說X2的PDF等于信噪比。η-μ分布的瞬時SNR的PDF表示為[7，8]

式中，μ＞0表示衰落參數，定義為。

3.3.4 κ-μ衰落信道

κ-μ衰落是由M.D.Yacoub提出作為一種建模不同衰落環境的廣義分布[10]。不像Nakagami-m和η-μ衰落模型，κ-μ分布適用于建模視距環境。作為一個廣義衰落分布，許多研究人員普遍使用κ-μ衰落分布來進行無線通信系統的分析。像Nakagami-m和η-μ分布，κ-μ分布也可以建模一種廣義衰落場景，包含由反射不同物理性質的障礙物、散射元件等組成的不均勻環境。

類似于Nakagami-m和η-μ衰落模型，在κ-μ分布中，假設接收信號中的多路徑成分是簇群的形式。每個簇都有一些分散的多路徑成分。不同簇群的延遲擴展相對大于簇群內多路徑成分的延遲擴展。假設每個簇群具有相同的平均功率。不像η-μ衰落，與Nakagami-m衰落類似的是，在κ-μ衰落中，同相和正交分量是獨立的，并且具有相同的功率。然而，假設每個簇具有相同的視距成分的主導成分。在這個模型中，不同于Nakagami-m和η-μ衰落，衰落信號的包絡X表示為

式中，n表示接收信號中簇的數量；（I_i+p_i）和（Q_i+q_i）分別表示由此產生的信號中第i個簇同相和正交相位成分；相互獨立分量I_i和Q_i服從均值為零，方差相同的高斯分布，也就是E（I_i）=E（Q_i）=0；p_i和q_i分別是接收信號中第i個簇的同相分量和正交分量的均值。同相分量和正交分量的非零均值表明在接收到的信號簇中存在一個主導分量。

正如Nakagami-m和η-μ衰落模型，衰落幅度表示為，其中。由于I_i和Q_i服從高斯分布，所以服從非中心卡方分布。在這種情況下，κ-μ衰落幅度的PDF表示為[8，10]

式中，κ是主導（視距）成分與分散成分的總功率的比值；μ＞0是一個衰減參數，其值與接收信號中簇群的數量n直接相關。由于n的值是離散的，所以μ的值也是離散的。為了使參數μ變為連續的值，定義。

衰落信道下的信噪比隨接收信號振幅的平方而變化。因此，就分布而言，信噪比的PDF等于振幅分布的平方。利用隨機變量轉換技術，由式（3-18）中振幅的PDF可得信噪比的PDF。κ-μ分布的瞬時SNR的PDF表示為

式中，。

3.3.5 κ-μ陰影衰落信道

κ-μ陰影分布的衰落模型是對κ-μ分布的物理模型的推廣。一個由波簇構成的信號在非均勻環境中傳播，在每個簇內，假設多徑波具有相同功率的散射波和任意功率的確定分量。即使散射波具有隨機相位和相似的延遲時間，但是簇間的延遲時間傳播是相對較大的。κ-μ模型中假定每個集群中有一個確定分量，而在κ-μ陰影模型中，由于陰影的存在，假設所有簇的確定分量是隨機波動的。

從κ-μ陰影分布的物理模型來看，衰落信號包含同相分量和正交分量，其功率W可以表示為

式中，n是自然數；X_i和Y_i是相互獨立的高斯變量，其均值為零、方差為σ2；p_i和q_i是實數；ξ是一個Nakagami-m隨機變量，E（ξ2）=1。

簡而言之，信號包絡的分布和信號功率的分布命名為κ-μ陰影。式（3-21）的模型表明在陰影放大系數ξ服從κ-μ分布的條件下，信號功率W的條件概率PDF表示為[8，11，12]

式中，是確定分量的平均功率；I_v（·）是第一類貝塞爾函數[12]。正如文獻[8]中所述，式（3-22）中的自然數n可以用非負數μ代替，這樣分布函數更普遍和靈活。定義κ=d2/（2σ2μ），當μ是一個自然數時，參數κ為確定分量的總功率和散射波的總功率之比。在許多實際分析中，任意變量γ代表瞬時SNR。因此，考慮，其中E（γ），W=E（W）=d2+2σ2μ。

就隨機變量γ而言，式（3-20）可以重寫為

令表示κ-μ陰影隨機變量，均值為，κ、μ和m為非負整數形狀參數。根據式（3-21），κ-μ陰影分布的PDF表示為

其中，₁F₁（·）為合流超幾何函數[12]。

κ-μ陰影模型是一個通用的衰落模型，可用于建模多種類型的無線衰落信道，例如單邊帶高斯衰落（μ=0.5，κ→0，m→∞）、瑞利衰落（μ=1，κ→0，m→∞）、Nakagami-m衰落（μ=m，κ→0，m→∞）、萊斯衰落（μ=1，κ=K，m→∞，K為萊斯因子）、κ-μ衰落（m→∞）和萊斯陰影衰落（μ=1，κ=K）[13]。